平面向量的几何运算.doc

(完整版)平面向量的几何运算
选择题

已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c满足(a－c）·（b－c）＝0，则|c｜的最大值是（    )．

A．1   
B．2   
C．   
D．

C

又∵，，，∴

∴，∴的最大值为

选择题

记，设为平面向量，则(    ）

A.      
B.
C。       
D。

D

本题考查平面向量的模、数量积以及分段函数、函数最值，考查向量的加法和减法的几何意义．中档题．
和是以为邻边的平行四边形的两条对角线对应的向量，所以

选择题

平面向量，，（），且与的夹角等于与的夹角，则(  ）

A．   
B．   
C．   
D．

D

本题考查平面向量中的有关知识：平面向量基本定理、向量加法的几何含义、向量数量积的定义以及利用数量积求夹角等基础知识．单选不同的方法难易度不一样,中档题．
方法一）
因为，，所以，又，所以即．
方法二)由几何意义知为以，为邻边的菱形的对角线向量，又，故．

选择题

设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不向的四点,若,，且，则称A3，A4调和分割A1，A2．已知点C（c，0)，D（d�。0)，(c，d∈R)调和分割点A(0，0)，B(1,0),则下面说法正确的是(    )．

A．C可能是线段AB的中点   
B．D可能是线段AB的中点
C．C，D可能同时在线段AB上   
D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上

D

由题意得，，且，
若C，D都在AB的延长线上，则λ＞1,μ＞1，，这与矛盾，故选D．

选择题

已知向量a,b满足|a｜=|b|=2，a∙b=0，若向量c与a—b共线，则｜a+c｜的最小值为（    )

A．1     
B．     
C．     
D．2

B

如图，设=b， =a,则=a—b
作CD⊥AB于D
∵向量c与a—b共线
|a+c｜的最小值即为||=

选择题

在平面直角坐标系中，O（0，0)，P(6，8),将向量按逆时针旋转后，得向量,则点的坐标是（    ）

A．
B． 
C． 
D．

A

方法一：设，
则．
方法二：将向量按逆时针旋转后得，
        设=+,则=（14，2）
        因为|｜=||，所以四边形OMQ′P为正方形,所以向量在正方形之对角线上。
        因为是的一半，所以向量与反向且||=||=|｜=10
所以=－λ(λ>0）
由|－λ｜=10得，λ=，
所以．

选择题

已知△ABC为等边三角形，AB=2，设点P，Q满足=，=(1－λ）,λ∈R,若·=－，则=(    ）

A．
B．
C．
D．

A

如图， 设,则，
又，，
由·=－得
即
也即,整理得，
解得λ=．

选择题

如图所示，、、是圆上的三点，的延长线与线段交于圆内一点,若
,则 （    )

A．
B．
C．
D．

【答案】C

【解析】
试题分析：由于、、三点共线，设，则
，由于、、三点共线，且点在圆内，点在圆上,与方向相反,则存在，使得，因此
，,所以，选C.
考点：1.共线的平面向量;2.平面向量的线性表示

选择题

在平面直角坐标中，的三个顶点A、B、C，下列命题正确的个数是（  ）
(1）平面内点G满足，则G是的重心；（2）平面内点M满足，点M是的内心；(3）平面内点P满足,则点P在边BC的垂线上;

A.0            
B.1              
C.2             
D。3

【答案】B

【解析】
试题分析：对（2），M为的外心，故（2)错。
对（3），,所以点P在的平分线上，故(3)错。易得(1）正确，故选B。
考点：三角形与向量。

选择题

已知与是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点,则关于x和y的方程组的解的情况是（   ）

A．无论k，如何,总是无解
B．无论k,如何，总有唯一解
C．存在k，,使之恰有两解
D．存在k，,使之有无穷多解

【答案】B

【解析】由题意,直线一定不过原点，是直线上不同的两点，则与不平行，因此，所以二元一次方程组一定有唯一解．
【考点】向量的平行与二元一次方程组的解．

选择题

如图，空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c。点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点,则等于（　　）

A．a－b＋c
B．－a＋b＋c
C．a＋b－c
D．a＋b－c

【答案】B

【解析】＝－＝ (＋)－＝ （b＋c）－a＝－a＋b＋c。

选择题

在四边形 ABCD 中，=,且，则四边形ABCD 是(  )

A．矩形
B．菱形
C．直角梯形
D．等腰梯形

【答案】B

【解析】
试题分析：∵，∴,∴四边形ABCD是平行四边形，又∵,∴，∴四边形ABCD是菱形.
考点:平行四边形与菱形的判定，平面向量的数量积。

选择题

在平行四边形中，等于    （    ）

A．
B．
C．
D．

【答案】A

【解析】
试题分析：如图，在平行四边形ABCD中，，∴。

考点：平面向量的加法与减法运算。

选择题

已知为平行四边形,若向量，，则向量为（   )

A．
B．
C．
D．

【答案】C

【解析】
试题分析：
考点：向量的减法

选择题

在△ABC所在的平面内有一点P,如果2＋＝－， 那么△PBC的面积与△ABC的面积之比是（　　）

A．
B．
C．
D．

【答案】A

【解析】欲求两三角形面积之比只需求出高的比，变换已知的向量等式即可得出两三角形面积之比等于高的比值。2＋＝－，即2＋＝＋＝，即＝3,即点P在边AC上，且PC＝AC，即△PBC与△ABC高的比是，两三角形具有相同的底BC，故面积之比为。

选择题

如图,已知＝，用，表示，则等于(　　）

A．－
B．＋
C．－＋
D．－－

【答案】C

【解析】＝＋＝＋＝＋ （－）＝－＋，选C。

选择题

设e1,e2是两个不共线的向量，且a＝e1＋λe2与b＝－e2－e1共线，则实数λ＝(　　)

A．－1
B．3
C．－
D．

【答案】D

【解析】∵a＝e1＋λe2与b＝－e2－e1共线,∴存在实数t，使得b＝ta，即－e2－e1＝t(e1＋λe2)，－ e2－e1＝te1＋tλe2，由题意，e1，e2不共线，∴t＝－1，tλ＝－,即λ＝，故选D.

选择题

四边形OABC中，，若，,则（  ）

A．
B．
C．
D．

【答案】D

【解析】
试题分析:，所以。
考点：向量的加减.

选择题

在中，D为AB边上一点，，，则=（  ）

A．
B．
C．
D．

【答案】B

【解析】
试题分析：由已知得，，故，故．
考点：1、平面向量基本定理；2、向量加法的三角形法则.

选择题

设是两个非零向量,则下列命题为真命题的是

A．若
B．若
C．若，则存在实数，使得
D．若存在实数，使得，则

【答案】C

【解析】
试题分析：根据向量加法的几何意义，其中等号当且仅当向量共线时成立，由可得，其中，由此可知,只有C项是正确的，故选C.
考点：1、向量加法的几何意义；2、数乘向量与共线向量.

选择题

平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0），｜b|＝1，则|a＋2b|的值为（　　）

A．
B．2
C．4
D．12

【答案】B

【解析】由已知｜a｜＝2,｜a＋2b｜2＝a2＋4a·b＋4b2
＝4＋4×2×1×cos 60°＋4＝12，
所以｜a＋2b｜＝2．

选择题

空间任意四个点A、B、C、D，则等于 (   )

A．         
B．      
C．        
D．

【答案】C

【解析】
试题分析：如图，

，故选：B．
考点:向量加减混合运算及其几何意义．

选择题

在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点．若,，则（  ）

A．
B．
C．
D．

【答案】C

【解析】
试题分析：,
因为是的中点,,所以，
== ,
＝,故选C.

考点：1、向量的加法,减法几何运算；2、向量共线.

选择题

在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点，若，，则(   ）

A．
B．
C．
D．

【答案】D

【解析】
试题分析：由题意可知，与相似，且相似比为，所以,由向量加减法的平行四边形法则可知，,解得，，由向量加法的三角形法则可知，，故D正确。
考点：平面向量的加减法

选择题

关于平面向量a,b，c,有下列三个命题:
①若a·b=a·c，则b=c；
②若a=(1，k）,b=（—2,6)，a∥b，则k=—3;
③非零向量a和b满足｜a｜=｜b|=|a－b｜，则a与a+b的夹角为30o．
(参若a—（1，k）,b=（—2，6）,a
其中真命题的序号为(    ）

A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③

【答案】C

【解析】
试题分析:①当时，不一定相等，故①不正确;②若a∥b，则有，解得，故②正确;③令，则，因为|a|=｜b|=｜a－b｜，所以为正三角形。设以为临边的平行四边形为，因为为正三角形，所以为菱形且。由向量加法的平行四边形法则可知。所以。故③正确.
考点:平面向量的加减法、平行及数量积的计算。

选择题

已知向量，若，则(    )

A．
B．
C．
D．

【答案】C

【解析】
试题分析:因为,所以，解得，即，所以，，所以
考点：向量共线数量积公式，向量加减法坐标公式

选择题

△ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆,且,则的值为（   ）

A．
B．1
C．
D．

【答案】D

【解析】
试题分析：∵,即，∴，为直径，
∴。
考点：1.向量的加减法运算；2。向量的数量积。

选择题

已知三个内角A，B，C所对的边,若且的面积，则三角形的形状是（    ）

A．等腰三角形
B．等边三角形
C．等腰直角三角形
D．有一个为的等腰三角形

【答案】C．

【解析】
试题分析:由知中的平分线垂直边BC，所以，再由，故是等腰直角三角形,故选C．
考点:1．向量垂直的充要条件；2．三角形形状的判断；3．求三角形面积公式．

选择题

如图，半圆的直径，为圆心，为半圆上不同于、的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值为（　　）

A．
B．9
C．
D．－9

【答案】C．

【解析】
试题分析：由题意设,则,所以
，当时有最小值。
考点：向量的运算．

选择题

已知不共线向量，，|｜＝2，｜｜＝3,·（－）＝1，则｜－|＝（  ）

A．
B．2
C．
D．

【答案】A

【解析】
试题分析:由已知，可得,又,故选A．
考点：向量的运算

选择题

在所在的平面内,点满足,，且对于任意实数，恒有，则（  )

A．
B．
C．
D．

【答案】C

【解析】
试题分析：
过点作，交于，是边上任意一点，设在的左侧，如图，

则是在上的投影,即，
即在上的投影，，
令，,
,
，
故需要，
，即，
为的中点，又是边上的高，
是等腰三角形，故有,选C。
考点：共线向量,向量的数量积.

填空题

已知两个非零向量a与b，定义|a×b|＝｜a|·|b|sin θ，其中θ为a与b的夹角．若a＝(－3,4)，b＝（0，2)，则|a×b|的值为________．

【答案】6

【解析】|a｜＝＝5，｜b｜＝＝2,a·b＝－3×0＋4×2＝8,所以cos θ＝＝＝,又因为θ∈［0,π]，所以sin θ＝＝＝.故根据定义可知｜a×b|＝|a｜·|b|sin θ＝5×2×＝6.

填空题

在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1。若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是________．

[1，4］

如图所示，则A(0,0）,B（2，0)，D（0，1），C（2，1)．

设，则，．
设M（2，t)，N（2－2t，1），故，因为f(t）递减，所以，．

填空题

在边长为1的正三角形中,设，则．

∵=+，=+
∴·=（+)·(+）=·+·+·+·
           =1×1×—1×-1×+××=

填空题

在直角三角形中，∠ACB=90°,AC=BC=2，点P是斜边AB上的一个三等分点，则·+·=         

4

由题意知三角形为等腰直角三角形（如图)．
因为P是斜边AB上的一个三等分点,所以=．

又=+=+，
所以·=2+·=4+×2×2cos1350=
·=·+·=×2×2cos450=
所以·+·=4

填空题

在平行四边形ABCD中，∠A=,边AB、AD的长分别为2、1，若N、N分别是边BC、CD上的点，且满足=，则的取值范围是          。

［2，5]

设==（0≤≤1），
则=,=，
则==
=+++，
又∵=2×1×=1，=4，=1，
∴=，
∵0≤≤1，∴2≤≤5，即的取值范围是［2，5］．

===============================================================================

填空题

在△ABC中，M是BC的中点，AM=3,BC=10,则=________．

－16

法一：此题最适合的方法是特例法．如图，假设△ABC是AB＝AC的等腰三角形．

∵AM＝3,BC＝10，∴AB＝AC＝．
cos∠BAC＝=－．＝cos∠BAC=－16
法二:=·=·
===－16

填空题

在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，+=λ，则λ=　　　　．

2

由平行四边行的性质知，AC与BD互相平分，
又+==2
所以λ=2

填空题

设是已知的平面向量，向量,,在同一平面内且两两不共线，有如下四个命题：
①给定向量,总存在向量,使；
②给定向量和,总存在实数和，使；
③给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数,使；
④若=2,存在单位向量、和正实数，,使，则
其中真命题是____________.

【答案】①②④

【解析】
试题分析：给定向量，总存在向量,使,即.显然存在.所以①正确。由平面向量的基本定理可得②正确．给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使，当分解到方向的向量长度大于时，向量没办法按分解,所以③不正确。存在单位向量、和正实数，，由于,向量、的模为1，由三角形的三边关系可得。。由.所以④成立。综上①②④.
考点:1。向量的运算.2平面向量的基本定理。3。基本不等式。

填空题

如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．

【答案】2

【解析】∵O是BC的中点,
∴＝（＋）．
又∵＝m，＝n，
∴＝＋。
∵M,O,N三点共线，
∴＋＝1,则m＋n＝2.

填空题

如图，在四边形中,，为的中点,且,则      。

【答案】1

【解析】
试题分析:因为为的中点，，又
，
,
考点：向量的线性运算性质及几何意义

填空题

已知，,，，且∥，则＝         ．

【答案】

【解析】
试题分析：由∥知,，那么原式．
考点：平行向量间的坐标关系．

填空题

已知平面向量，，且∥，则        ．

【答案】

【解析】
试题分析:∵∥,∴，∴，∴,∴。
考点：向量平行的充要条件、向量的模。

填空题

已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则的最小值为         ．

【答案】5

【解析】
试题分析：根据题意，利用解析法求解，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0），设P（0，b)（0≤b≤a）,求出，根据向量模的计算公式,即可求得，利用完全平方式非负，即可求得其最小值．
解：如图,以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，
则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D(0，0）
设P（0，b）(0≤b≤a)
则=（2,﹣b)，=（1,a﹣b），
∴=（5，3a﹣4b)
∴=≥5．
故答案为5．

点评：此题是个基础题．考查向量在几何中的应用，以及向量模的求法，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．

填空题

在平行四边形中，,,为中点，若，则的长为
       ．

【答案】6

【解析】
试题分析：根据题意可得:,则，化简得：，解得:．
考点：向量的运算

填空题

已知a、b为非零向量，，若，当且仅当时，取得最小值,则向量a、b的夹角为___________。

【答案】

【解析】
试题分析：设向量的夹角为，则，构造函数，因为当且仅当时，取得最小值，所以当时，函数有最小值，即时，函数有最小值，又，所以解得.
考点：1。向量；2。二次函数。

填空题

在▱ABCD中，=a,=b,=3,M为BC的中点,则=______（用a,b表示)。

【答案】-a+b

【解析】由=3得4=3=3(a+b），=a+b，所以=(a+b）-=—a+b。

填空题

如图，在△中,已知，,，，，则     ．

【答案】

【解析】
试题分析：因为，所以
因此
考点：向量表示

填空题

已知平行四边形，是的中点，若，则向量=            (用向量表示）．

【答案】

【解析】
试题分析：在三角形中,将所求向量表示成已知向量的和与差，利用平几性质将共线向量等价转化是解题关键。
考点:向量三角形法则,

填空题

在平面直角坐标系中，O是原点,是平面内的动点,若＝,则P点的轨迹方程是___________。

【答案】y2=2x－1

【解析】
试题分析：设P(x，y)，则，又因为||＝｜|，所以（x－1）2+y2=x2，整理得．
考点：向量的运算，求轨迹方程．

填空题

已知=（2，0），,的夹角为60°，则     ．

【答案】

【解析】
试题分析：.
考点：向量的基本运算。

填空题

半圆的直径AB＝2， O为圆心，C是半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值是 ________________；

【答案】

【解析】
试题分析:因为点O是线段AB的中点，所以向量=。所以=.又因为向量是互为相反向量.所以=-2=-2=.所以填.
考点：1。向量的求和运算。2。向量的数量积.3。最值问题。

填空题

已知，且与的夹角为，，则等于       .

【答案】

【解析】
试题分析：∵，∴,∴，
∴，∴，∴,
∴
∴。
考点：1。向量的运算；2.两向量的夹角公式.

填空题

已知,且与的夹角为，，则等于       。

【答案】

【解析】
试题分析：∵,∴，∴,
∴，∴,∴,
∴
∴。
考点:1。向量的运算;2。两向量的夹角公式。

填空题

已知，,则向量与的夹角为    。

【答案】

【解析】
试题分析：∵，，∴，即,
∴，
∴.
考点：1.向量的运算；2。向量的夹角。

填空题

已知向量满足，设，若不等式的解集为空集，则的取值范围是__________．

【答案】

【解析】
试题分析：由题意可得，,又不等式的解集为空,则，所以．
考点：1。解不等式；2.向量的运算

填空题

（1） 化简
（2）如图，平行四边形中,分别是的中点，为与的交点，若=，=，试以，为基底表示、、．

【答案】(1）;（2） ，,．

【解析】
试题分析：（1）根据向量加法的三角形法则，可得到
；
在中，可得，
在中,可得，
在中，由条件可得为其重心，因此．
(1）     3分；
（2）       6分
       9分
是的重心，       12分．
考点:1．向量加法的三角形法则；2．向量的减法运算．

填空题

已知向量，,设与的夹角为．
（Ⅰ）求;
（Ⅱ）若,求的值．

【答案】(Ⅰ）     （Ⅱ）

【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用向量数量积公式求，在代入公式求解.（Ⅱ）先求和的坐标，因为，所以，再利用数量积公式求。
试题解析：（Ⅰ)，
所以，

因此      
（Ⅱ）      

由得

解得：      
考点：向量的数量积公式,和两向量垂直则两向量数量积为0

填空题

已知．
（1）求及；
（2）若与垂直，求实数的值．

【答案】（1）、4；(2）3

【解析】
试题分析：（1）先求的坐标，横坐标与横坐标相减，纵坐标与纵坐标相减。再代入模长公式即可得（2）与垂直，则与数量积等于0。可先分别求与的坐标,代入数量积公式;与数量积也可先按分配率展开在用数量积公式计算
试题解析：（1）,
；
（2)，,
，，
解得:
考点：向量的加减法数量积运算，向量垂直

填空题

（1）求
（2）。

【答案】（1）；。 (2）。

【解析】
试题分析：（1)直接由向量的运算法则即可得.
(2)将（1）小题的结果代入得:。这是一个关于的二次式，所以通过配方利用二次函数的图象来求其最小值。
将配方得. ,所以.
令,作出抛物线，它的对称轴为，结合图象可知,需分
、、三种情况讨论.
试题解析：（1）。
。
，所以.
（2）.
，所以。
①当时，当且仅当时,取最小值 1，这与题设矛盾。
②当时，当且仅当时,取最小值.由得。
③当时，当且仅当时，取最小值。由得，故舍去..
综上得：。
考点：1、向量的模及数量积;2、三角恒等变换;3、函数的最值.

.