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(完整版)导数期末复习题
导数期末复习题
一、选择题
1.已知函数,则函数在点处切线方程为 （ )
A． B．
C。 D．
2．设函数是Ｒ上可导的偶函数,,则的值为 （　 　)
A．　　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　D．
3．已知函数的导函数为，且满足，则( 　 ）
A． B． C． D．
4．设函数,则下列结论正确的是 （ ）
A．函数在上单调递增
B．函数的极小值是—12
C．函数的图象与直线只有一个公共点
D．函数的图象在点处的切线方程为
5．已知函数，（），那么下面结论正确
的是 （ ）
A．在上是减函数 B．在上是减函数
C．， D．，
6。已知函数在区间(，1）上有最小值,则函数在区间（1，上一定 ( ）
A．有最小值 B．有最大值 C．是减函数 D．是增函数

7．已知函数的图象如图所示，的导函数，则下列数值排序正确的是（ )
O
2
3
x
y
A．
B．
C．

D．
8．已知函数的图象如图所示，则等于
A． 　　　B．　　　 C．　　　 D．
9。在定义域内可导，其图象如图，其导函数为,则不等的解集是( ）
A。 B.
C. D。
10.下图是的图象，则正确的判断个数是（ ）
（1)在（-5,-3)上是减函数；（2）x=4是极大值点；
（3）x=2是极值点;（4）在（-2,2）上先减后增；
A 0 B 1 C 2 D 3
11. 命题“对,”的否定是（ )
A.对, B.,
C。， D。,
12．下列说法中,正确的是
A．命题“若，则”的逆命题是真命题
B．命题“,”的否定是：“，”
C．命题“或”为真命题,则命题“”和命题“”均为真命题
D．已知，则“"是“”的充分不必要条件
13．命题：“若x2＜1，则＜x＜1”的逆否命题是(　　）
A．若x2≥1,则x≥1，或x≤ B．若＜x＜1，则x2＜1
C．若x＞1，或x＜，则x2＞1 D．若x≥1，或x≤，则x2≥1
14. 下列说法错误的是
A.命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”
B。“”是“"的充分不必要条件
C。若为假命题，则均为假命题
D.对于命题：“,使得"，则：“，均有”

二、填空题:本题共25分，每小题5分，请将各题的正确答案直接写在题目的横线上.
1．已知a〉0，命题p：函数y＝ax在R上单调递减，q:设函数，函数y〉1恒成立，若p和q只有一个为真命题，则a的取值范围 。
［答案] 0<a≤或a≥1.
[解析］　若p为真命题，则0〈a〈1,若q为真命题，即ymin>1，
又ymin＝2a，∴2a>1，∴q为真命题时a〉，又∵p与q一真一假．
∴若p真q假，则0<a≤；若p假q真,则a≥1.故a的取值范围为0<a≤或a≥1.
2．制作容积为定值的无盖圆柱形金属容器时，为使材料最省，圆柱的高与底面半径之比应为 1 ．
3．已知命题，．若命题是假命题，则实数的取值范围是 ▲(0，1）．
4．函数的单调增区间为　（,+)。　
5．函数的单调递增区间是 ▲ ．
6.已知函数在上为减函数,则的取值范围为 。
7.已知对一切恒成立,则实数的取值范是

9。函数的图象与轴相切于点，极大值为，则极小值为 0
10。 已知函数的图象在点处的切线恰好与直线平行,若在区间上单调递减，则实数的取值范围是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1. 已知命题p：∃x∈R，(m＋1）（x2＋1)≤0,命题q:∀x∈R,x2＋mx＋1〉0恒成立．若p∧q为假命题，求实数m的取值范围．

2．（本小题满分12分）
已知p:方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负实根；q：不等式4x2＋4（m－2)x＋1＞0的解集为R，若p或q为真命题,p且q为假命题，求m的取值范围．

.解析:p为真命题⇔⇒m＞2 -———-——--—————4分
q为真命题⇔△＝［4(m－2)］2－4×4×1＜0⇒1＜m＜3。 —--—--——---—8分
∵p或q为真，p且q为假，∴p与q一真一假．
若p真q假，则m＞2,且m≤1或m≥3，所以m≥3。
若p假q真，则m≤2，且1＜m＜3，所以1＜m≤2.
综上所述，m的取值范围为{m|1＜m≤2，或m≥3}． —-—--———---12分
3．已知曲线
(1）求曲线在点处的切线方程　　
(2）求曲线过点处的切线方程
4. (1）求过原点且与相切的切线方程。
（2）若命题命题若为真命题时,求的范围。
5. 设函数．
(1）对于任意实数，恒成立,求的最大值；
(2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围
解：（1) ,
因为,, 即 恒成立，
所以 , 得，即的最大值为
（2) 因为 当时， ;当时, ；当时， ;
所以 当时，取极大值 ；
当时,取极小值 ;
故当 或时， 方程仅有一个实根。 解得 或。

6．（本小题15分)已知函数.
(I）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当函数在区间上的最小值为时，求实数的值；
（Ⅲ)若函数与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围。
(I)因为,由题意 （2分）
即过点的切线斜率为3，又点
则过点的切线方程为： （5分）
（Ⅱ）右题意令得或 （6分）
由，要使函数在区间上的最小值为，则
（i）当时，
当时，，当时，,
所以函数在区间[0,1］上，
即:，舍去 （8分）
（ii）当时，
当时，，则使函数在区间上单调递减,

综上所述: （10分)
（Ⅲ)设

令得或 （11分）
（i）当时,函数单调递增，函数与的图象不可能有三个不同的交点
(ii）当时,随的变化情况如下表：

1

+
0
一
0
+

极大

极小

欲使与图象有三个不同的交点,
方程，也即有三个不同的实根
，所以 (13分)
（iii）当时,随的变化情况如下表：

1

+
0
一
0
+

极大

极小

由于极大值恒成立,故此时不能有三个解
综上所述 (15分)

7.已知函数在处取得极值，且在处的切线的斜率为．
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．
解：(Ⅰ）
依题意，∴
（Ⅱ）设切点为,，切线斜率
切线方程为
又切线过点，
令，则,
由得或．列表分析：

0

2

↘
极小值
↗
极大值
↘

[来源:学§科§网Z§X§X§K］
，
画出草图知,当时，有三解，

所以的取值范围是．

8。 设函数．
⑴求：的单调区间．
⑵设，函数．若对于任意,总存在，使得成立,求的取值范围．
解：⑴，令,即，解得：,
的单增区间为：;单减区间为:和
⑵由⑴可知：当时，单调递增,
当时，，即；
又，且，当时，，单调递减，
当时,，即
又对于任意，总存在，使得成立
，
即，解得：

9．已知函数
（1）当时，求的单调递增区间;
(2）若在上是增函数，求的取值范围;
（3）是否存在实数使得方程在区间上有解，若存在，
试求出的取值范围，若不存在,请说明理由。

令解得：，又，单调增区间为,单调减区间 ，，在上为减区间，而，
X
O
B
Y
A
故在上不存在零
、、
、

10.（2011年高考浙江卷文科21）（本题满分15分）设函数（Ⅰ）求单调区间（Ⅱ）求所有实数，使对恒成立
注:为自然对数的底数

11。 已知．
(Ⅰ）若在上为增函数，求实数a的取值范围；
(Ⅱ)当常数时,设,求在上的最大值和最小值。
解:(Ⅰ）∵在上为增函数,
∴对恒成立.
令,则对恒成立,
∴，解得，
∴实数的取值范围是.
（Ⅱ）当时，，∴，
记,则对恒成立，
∴在上是减函数，∴，即，
∴当时，在上是减函数，
得在上为减函数.
∴当时，取得最大值；
当时，取得最小值。
12。已知函数
(1） 求函数的单调区间
(2）在区间内,使成立，求的范围.
解(Ⅰ)函数的定义域为，
当,即时，为单调递增函数;
当，即时，为单调递减函数；
所以,的单调递增区间是，的单调递减区间是
（Ⅱ）由不等式，得，令，则
由题意可转化为：在区间内，，
,令,得

-

0

+

递减
极小值
递增

由表可知：的极小值是且唯一，
所以。 因此,所求的取值范围是。

13某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形的高
科技工业园区．已知⊥,∥，且,，曲线
段是以点为顶点且开口向上的抛物线的一段．如果要使矩形的相邻两边分别落
在，上，且一个顶点落在曲线段上．问：应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积（精确到）．

14.某商场预计2011年1月份起前x个月，顾客对某商品的需求总量p（x）(单位：件）与x的关系近似地满足。该商品第x月的进货单价q（x)（单位：元）与x的近似关系是

(I）写出2010年第x月的需求量（单位：件）与x的函数关系式;
（II）该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，试问商场2010年第几月销售该商品的月利润最大，最大月利润为多少元?

解：（Ⅰ）当时，，
当，且时,

验证符合
（Ⅱ）该商场预计第月销售该商品的月利润为

即
当，且时，，令,
解得，（舍去）。 当时，，当时，，
当时，（元)。
当,且时,是减函数，当时，（元)， ……12分
综上,商场2010年第5月份的月利润最大，最大利润为3125元。
12