几何中最值定值问题教师新版.doc

【2013年中考攻略】专题8：几何最值问题解法探讨
在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。
解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其解法。
一、 应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值：
典型例题：例1. 如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为【 】

A．　　　B．　　　C．5　　　D．
【答案】A。
【考点】矩形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形三边关系，勾股定理。
【分析】如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，
∵OD≤OE+DE，
∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，
此时，∵AB=2，BC=1，∴OE=AE=AB=1。
DE=，
∴OD的最大值为：。故选A。
例2.在锐角三角形ABC中，BC=，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是 。

【答案】4。
【考点】最短路线问题，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】如图，在BA上截取BE=BN，连接EM。
∵∠ABC的平分线交AC于点D，∴∠EBM=∠NBM。
在△AME与△AMN中，∵BE=BN ，∠EBM=∠NBM，BM=BM，
∴△BME≌△BMN（SAS）。∴ME=MN。∴CM+MN=CM+ME≥CE。
又∵CM+MN有最小值，∴当CE是点C到直线AB的距离时，CE取最小值。
∵BC=，∠ABC=45°，∴CE的最小值为sin450=4。
∴CM+MN的最小值是4。
二、 应用垂线段最短的性质求最值：
典型例题：例1. 在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．若点P在边AC上移动，则BP的最小值是 ．

【答案】。
【考点】动点问题，垂直线段的性质，勾股定理。
【分析】如图，根据垂直线段最短的性质，当BP′⊥AC时，BP取得最小值。
设AP′=x，则由AB＝AC＝5得CP′=5－x，
又∵BC＝6，∴在Rt△AB P′和Rt△CBP′中应用勾股定理，得
。
∴，即，解得。
∴，即BP的最小值是。
例2.如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为【 】

　 A． 1 B． C． 2 D．＋1
【答案】B。
【考点】菱形的性质，线段中垂线的性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】分两步分析：
（1）若点P，Q固定，此时点K的位置：如图，作点P关于BD的对称点P1，连接P1Q，交BD于点K1。
由线段中垂线上的点到线段两端距离相等的性质，得
P1K1 = P K1，P1K=PK。
由三角形两边之和大于第三边的性质，得P1K＋QK＞P1Q= P1K1＋Q K1= P K1＋Q K1。
∴此时的K1就是使PK+QK最小的位置。
（2）点P，Q变动，根据菱形的性质，点P关于BD的对称点P1在AB上，即不论点P在BC上任一点，点P1总在AB上。
因此，根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质，得，当P1Q⊥AB时P1Q最短。
过点A作AQ1⊥DC于点Q1。 ∵∠A=120°，∴∠DA Q1=30°。
又∵AD=AB=2，∴P1Q=AQ1=AD·cos300=。
综上所述，PK+QK的最小值为。故选B。
例3.已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3，

问题1：如图1，P为AB边上的一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ，DC的长能否相等，为什么？
问题2：如图2，若P为AB边上一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．
问题3：若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE＝PD，再以PE，PC为边作平行四边形PCQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．
问题4：如图3，若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE＝nPA(n为常数)，以PE、PB为边作平行四边形PBQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．
【答案】解：问题1：对角线PQ与DC不可能相等。理由如下：
∵四边形PCQD是平行四边形，若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形，
∴∠DPC＝90°。
∵AD＝1，AB＝2，BC＝3，∴DC＝2。
设PB＝x，则AP＝2－x，
在Rt△DPC中，PD2＋PC2＝DC2，即x2＋32＋(2－x)2＋12＝8，化简得x2－2x＋3＝0，
∵△＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，∴方程无解。
∴不存在PB＝x，使∠DPC＝90°。∴对角线PQ与DC不可能相等。
问题2：存在。理由如下：
如图2，在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点G，
则G是DC的中点。
过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H。
∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠DCH，即∠ADP＋∠PDG＝∠DCQ＋∠QCH。
∵PD∥CQ，∴∠PDC＝∠DCQ。∴∠ADP＝∠QCH。
又∵PD＝CQ，∴Rt△ADP≌Rt△HCQ（AAS）。∴AD＝HC。
∵AD＝1，BC＝3，∴BH＝4，
∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4。
问题3：存在。理由如下：
如图3，设PQ与DC相交于点G，
∵PE∥CQ，PD＝DE，∴。
∴G是DC上一定点。
作QH⊥BC，交BC的延长线于H，
同理可证∠ADP＝∠QCH，∴Rt△ADP∽Rt△HCQ。∴。
∵AD＝1，∴CH＝2。∴BH＝BG＋CH＝3＋2＝5。
∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为5。
问题4：如图3，设PQ与AB相交于点G，
∵PE∥BQ，AE＝nPA，∴。
∴G是DC上一定点。
作QH∥PE，交CB的延长线于H，过点C作CK⊥CD，交QH的延长线于K。
∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴∠D＝∠QHC，∠DAP＋∠PAG＝∠QBH＋∠QBG＝90°
∠PAG＝∠QBG，
∴∠QBH＝∠PAD。∴△ADP∽△BHQ，∴，
∵AD＝1，∴BH＝n＋1。∴CH＝BH＋BC＝3＋n＋1＝n＋4。
过点D作DM⊥BC于M，则四边形ABND是矩形。
∴BM＝AD＝1，DM＝AB＝2。∴CM＝BC－BM＝3－1＝2＝DM。
∴∠DCM＝45°。∴∠KCH＝45°。
∴CK＝CH•cos45°＝ (n＋4)，
∴当PQ⊥CD时，PQ的长最小，最小值为 (n＋4)。
【考点】反证法，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形、矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质。
【分析】问题1：四边形PCQD是平行四边形，若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形，然后利用矩形的性质，设PB＝x，可得方程x2＋32＋(2－x)2＋1＝8，由判别式△＜0，可知此方程无实数根，即对角线PQ，DC的长不可能相等。
问题2：在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点G，可得G是DC的中点，过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H，易证得Rt△ADP≌Rt△HCQ，即可求得BH＝4，则可得当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4。
问题3：设PQ与DC相交于点G，PE∥CQ，PD＝DE，可得，易证得Rt△ADP∽Rt△HCQ，继而求得BH的长，即可求得答案。
问题4：作QH∥PE，交CB的延长线于H，过点C作CK⊥CD，交QH的延长线于K，易证得与△ADP∽△BHQ，又由∠DCB＝45°，可得△CKH是等腰直角三角形，继而可求得CK的值，即可求得答案。
例4. 如图，点A的坐标为（-1，0），点B在直线上运动，当线段AB最短
时，点B的坐标为【 】

A.（0，0） B.（，） C.（，） D.（，）
例5.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：
①△DFE是等腰直角三角形；
②四边形CEDF不可能为正方形；
③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；
④点C到线段EF的最大距离为．
其中正确结论的个数是【 】

　　A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个
【答案】B。
【考点】全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，三角形中位线定理，勾股定理。
【分析】①连接CD（如图1）。
∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB。
∵AE=CF，∴△ADE≌△CDF（SAS）。
∴ED=DF，∠CDF=∠EDA。
∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°。
∴△DFE是等腰直角三角形。
故此结论正确。
②当E、F分别为AC、BC中点时，∵由三角形中位线定理，DE平行且等于BC。
∴四边形CEDF是平行四边形。
又∵E、F分别为AC、BC中点，AC=BC，∴四边形CEDF是菱形。
又∵∠C=90°，∴四边形CEDF是正方形。
故此结论错误。
③如图2，分别过点D，作DM⊥AC，DN⊥BC，于点M，N，
由②，知四边形CMDN是正方形，∴DM=DN。
由①，知△DFE是等腰直角三角形，∴DE=DF。
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）。
∴由割补法可知四边形CEDF的面积等于正方形CMDN面积。
∴四边形CEDF的面积不随点E位置的改变而发生变化。
故此结论错误。
④由①，△DEF是等腰直角三角形，∴DE=EF。
当DF与BC垂直，即DF最小时， EF取最小值2。此时点C到线段EF的最大距离为。
故此结论正确。
故正确的有2个：①④。故选B。
例6.如图，长方形纸片ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，按下列步骤进行裁剪和拼图：

第一步：如图①，在线段AD上任意取一点E，沿EB，EC剪下一个三角形纸片EBC(余下部分不再使用)；
第二步：如图②，沿三角形EBC的中位线GH将纸片剪成两部分，并在线段GH上任意取一点M，线段BC上任意取一点N，沿MN将梯形纸片GBCH剪成两部分；
第三步：如图③，将MN左侧纸片绕G点按顺时针方向旋转180°，使线段GB与GE重合，将MN右侧纸片绕H点按逆时针方向旋转180°，使线段HC与HE重合，拼成一个与三角形纸片EBC面积相等的四边形纸片．
(注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠)
则拼成的这个四边形纸片的周长的最小值为 cm，最大值为 cm．
【答案】20；12+。
【考点】图形的剪拼，矩形的性质，旋转的性质，三角形中位线定理。
【分析】画出第三步剪拼之后的四边形M1N1N2M2的示意图，如答图1所示。
图中，N1N2=EN1+EN2=NB+NC=BC，
M1M2=M1G+GM+MH+M2H=2（GM+MH）=2GH=BC（三角形中位线定理）。
又∵M1M2∥N1N2，∴四边形M1N1N2M2是一个平行四边形，
其周长为2N1N2+2M1N1=2BC+2MN。
∵BC=6为定值，∴四边形的周长取决于MN的大小。
如答图2所示，是剪拼之前的完整示意图。
过G、H点作BC边的平行线，分别交AB、CD于P点、Q点，则四边形PBCQ是一个矩形，这个矩形是矩形ABCD的一半。
∵M是线段PQ上的任意一点，N是线段BC上的任意一点，
∴根据垂线段最短，得到MN的最小值为PQ与BC平行线之间的距离，即MN最小值为4；
而MN的最大值等于矩形对角线的长度，即。
∵四边形M1N1N2M2的周长=2BC+2MN=12+2MN，
∴四边形M1N1N2M2周长的最小值为12+2×4=20；最大值为12+2×=12+。
例7.如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 ．

【答案】。
【考点】垂线段的性质，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF=2EH=20E•sin∠EOH=20E•sin60°，当半径OE最短时，EF最短。如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H。
∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=2，
∴AD=BD=2，即此时圆的直径为2。
由圆周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°，
∴在Rt△EOH中，EH=OE•sin∠EOH=1×。
由垂径定理可知EF=2EH=。
例8.如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动，且E、F不与B．C．D重合．
（1）证明不论E、F在BC．CD上如何滑动，总有BE=CF；
（2）当点E、F在BC．CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．

【答案】解：（1）证明：如图，连接AC
∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，
∠BAE+∠EAC=60°，∠FAC+∠EAC=60°，
∴∠BAE=∠FAC。
∵∠BAD=120°，∴∠ABF=60°。
∴△ABC和△ACD为等边三角形。
∴∠ACF=60°，AC=AB。∴∠ABE=∠AFC。
∴在△ABE和△ACF中，∵∠BAE=∠FAC，AB=AC，∠ABE=∠AFC，
∴△ABE≌△ACF（ASA）。∴BE=CF。
（2）四边形AECF的面积不变，△CEF的面积发生变化。理由如下：
由（1）得△ABE≌△ACF，则S△ABE=S△ACF。
∴S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值。
作AH⊥BC于H点，则BH=2，
。
由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．
故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，
又S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF，则此时△CEF的面积就会最大．
∴S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF。
∴△CEF的面积的最大值是。
【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂直线段的性质。
【分析】（1）先求证AB=AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠ACF =60°，AC=AB，从而求证△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF。
（2）由△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF，故根据S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC即可得四边形AECF的面积是定值。当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，根据S△CEF=S四边形AECF－S△AEF，则△CEF的面积就会最大。
例9.在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．
（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；
（2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；
（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．

【答案】解：（1）∵由旋转的性质可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，
∴∠CC1B=∠C1CB=45°。
∴∠CC1A1=∠CC1B+∠A1C1B=45°+45°=90°。
（2）∵由旋转的性质可得：△ABC≌△A1BC1，
∴BA=BA1，BC=BC1，∠ABC=∠A1BC1。
∴，∠ABC+∠ABC1=∠A1BC1+∠ABC1。∴∠ABA1=∠CBC1。
∴△ABA1∽△CBC1。∴。
∵S△ABA1=4，∴S△CBC1=。
（3）过点B作BD⊥AC，D为垂足，
∵△ABC为锐角三角形，∴点D在线段AC上。
在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=。
①如图1，当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小。
最小值为：EP1=BP1﹣BE=BD﹣BE=﹣2。
②如图2，当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大。
最大值为：EP1=BC+BE=5+2=7。
【考点】旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）由旋转的性质可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，又由等腰三角形的性质，即可求得∠CC1A1的度数。
（2）由旋转的性质可得：△ABC≌△A1BC1，易证得△ABA1∽△CBC1，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△CBC1的面积。
（3）由①当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小；②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，即可求得线段EP1长度的最大值与最小值。
练习题：
1.如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，
PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为【 】

A． B． C．3 D．2
2.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为　 　．

三、 应用轴对称的性质求最值：
典型例题
例1. 如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点
C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm．

【答案】15。
【考点】圆柱的展开，矩形的性质，轴对称的性质，三角形三边关系，勾股定理。
【分析】如图，圆柱形玻璃杯展开（沿点A竖直剖开）后侧面是一个长18宽12的矩形，作点A关于杯上沿MN的对称点B，连接BC交MN于点P，连接BM，过点C作AB的垂线交剖开线MA于点D。
由轴对称的性质和三角形三边关系知AP＋PC为蚂蚁到达蜂蜜
的最短距离，且AP=BP。
由已知和矩形的性质，得DC=9，BD=12。
在Rt△BCD中，由勾股定理得。
∴AP＋PC=BP＋PC=BC=15，即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm。
例2. 如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为【 】

A．130° B．120° C．110° D．100°
【答案】B。
【考点】轴对称（最短路线问题），三角形三边关系，三角形外角性质，等腰三角形的性质。
【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和ED的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°，进而得出∠AMN＋∠ANM＝2(∠AA′M＋∠A″)即可得出答案：
如图，作A关于BC和ED的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值。作DA延长线AH。
∵∠BAD＝120°，∴∠HAA′＝60°。
∴∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°。
∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，
且∠MA′A＋∠MAA′＝∠AMN，
∠NAD＋∠A″＝∠ANM，
∴∠AMN＋∠ANM＝∠MA′A＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2(∠AA′M＋∠A″)＝2×60°＝120°。
故选B。
例3. 点A、Ｂ均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示．若P是x轴上使得的值最大的点，Q是y轴上使得QA十QB的值最小的点，则＝　　　　．

【答案】5。
【考点】轴对称（最短路线问题），坐标与图形性质，三角形三边关系，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。
【分析】连接AB并延长交x轴于点P，作A点关于y轴的对称点A′连接A′B交y轴于点Q，求出点Q与y轴的交点坐标即可得出结论：
连接AB并延长交x轴于点P，
由三角形的三边关系可知，点P即为x轴上使得|PA－PB|的值最大的点。
∵点B是正方形ADPC的中点，
∴P（3，0）即OP=3。
作A点关于y轴的对称点A′连接A′B交y轴于点Q，则A′B即为QA+QB的最小值。
∵A′（-1，2），B（2，1），
设过A′B的直线为：y=kx+b，
则 ，解得 。∴Q（0， ），即OQ=。
∴OP•OQ=3×=5。
例4. 如图，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为 ．

【答案】。
【考点】轴对称（最短路线问题），正方形的性质，勾股定理。
【分析】连接DE，交BD于点P，连接BD。
∵点B与点D关于AC对称，∴DE的长即为PE+PB的最小值。
∵AB=4，E是BC的中点，∴CE=2。
在Rt△CDE中，。
例5. 如图，MN为⊙O的直径，A、B是O上的两点，过A作AC⊥MN于点C，过B作BD⊥MN于点D，P为DC上的任意一点，若MN＝20，AC＝8，BD＝6，则PA＋PB的最小值是　　　　。

【答案】14。
【考点】轴对称（最短路线问题），勾股定理，垂径定理。
【分析】∵MN＝20，∴⊙O的半径＝10。
连接OA、OB，
在Rt△OBD中，OB＝10，BD＝6，
∴OD＝＝＝8。
同理，在Rt△AOC中，OA＝10，AC＝8，
∴OC＝＝＝6。
∴CD＝8＋6＝14。
作点B关于MN的对称点B′，连接AB′，则AB′即为PA＋PB的最小值，B′D＝BD＝6，过点B′
作AC的垂线，交AC的延长线于点E。
在Rt△AB′E中，∵AE＝AC＋CE＝8＋6＝14，B′E＝CD＝14，
∴AB′＝＝＝14。
例6. 阅读材料：
例：说明代数式 的几何意义，并求它的最小值．
解： ，如图，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，则可以看成点P与点A（0，1）的距离，可以看成点P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA＋PB的最小值．
设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，因此，求PA＋PB的最小值，只需求PA′＋PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以PA′＋PB的最小值为线段A′B的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C=3，CB=3，所以A′B=3，即原式的最小值为3。

根据以上阅读材料，解答下列问题：
（1）代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1）、点B 的距离之和．（填写点B的坐标）
（2）代数式 的最小值为 ．
【答案】解：（1）（2，3）。
（2）10。
【考点】坐标与图形性质，轴对称（最短路线问题）。
【分析】（1）∵原式化为的形式，
∴代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A
（1，1）、点B（2，3）的距离之和。
（2）∵原式化为的形式，
∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（0，7）、点B（6，1）
的距离之和。
如图所示：设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，
∴求PA＋PB的最小值，只需求PA′＋PB的最小值，而点A′、B
间的直线段距离最短。
∴PA′＋PB的最小值为线段A′B的长度。
∵A（0，7），B（6，1），∴A′（0，－7），A′C=6，BC=8。
∴。
练习题：
1. 如图，已知点A(1，1)、B(3，2)，且P为x轴上一动点，则△ABP的周长的
最小值为 ．

2. 如图，在平面直角坐标系中，有A(1，2)，B(3，3)两点，现另取一点C(a，1)，当a＝ 时，AC＋BC的值最小．

3.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC中点，点F是边CD上的
任意一点，当△AEF的周长最小时，则DF的长为【 】

A．1 B．2 C．3 D．4
4.如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，点E、F分别是边AB、BC的
中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是 【 】

A．3 B．4 C．5 D．6
四、 应用二次函数求最值
典型例题：
例1. 正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC．CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM= cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为 cm2．

【答案】，。
【考点】正方形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值。
【分析】设BM=xcm，则MC=1﹣xcm，
∵∠AMN=90°，∠AMB+∠NMC=90°，∠NMC+∠MNC=90°，∴∠AMB=90°﹣∠NMC=∠MNC。
∴△ABM∽△MCN，∴，即，解得CN=x（1﹣x）。
∴。
∵＜0，∴当x=cm时，S四边形ABCN最大，最大值是cm2。
例2.如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是　　．

【答案】1。
【考点】动点问题，等腰直角三角形的性质，平角定义，勾股定理，二次函数的最值。
【分析】设AC＝x，则BC＝2－x，
∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，
∴∠DCA＝45°，∠ECB＝45°，DC＝，CE＝ 。
∴∠DCE＝90°。
∴DE2＝DC2＋CE2＝（）2＋[]2＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1。
∴当x＝1时，DE2取得最小值，DE也取得最小值，最小值为1。
例3.在矩形ABCD中，AB=2，AD=3,P是BC上的任意一点（P与B、C不重合），过点P作AP⊥PE，垂足为P，PE交CD于点E.
(1)连接AE，当△APE与△ADE全等时，求BP的长；
(2)若设BP为x，CE为y，试确定y与x的函数关系式。当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？
(3)若PE∥BD，试求出此时BP的长.

【答案】解：（1）∵△APE≌△ADE，∴AP=AD=3。
在Rt△ABP中，AB=2，∴BP=。
（2）∵AP⊥PE，∴Rt△ABP∽Rt△PCE。
∴ ，即。∴。
∵
∴当时，y的值最大，最大值是。
（2）设BP=x, 由（2）得。
∵PE∥BD，，∴△CPE∽△CBD。
∴， 即，
化简得。
解得或（不合题意，舍去）。
∴当BP= 时， PE∥BD。
【考点】矩形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，平行的性质，解一元二次方程。
【分析】（1）由△APE≌△ADE可得AP=AD=3，在Rt△ABP中，应用勾股定理即可求得BP的长。
（2）由AP⊥PE，得Rt△ABP∽Rt△PCE，根据相似三角形的对应边成比例可列式得y与x的函数关系式。化为顶点式即可求得当时，y的值最大，最大值是。
（3）由PE∥BD，得△CPE∽△CBD，根据相似三角形的对应边成比例可列式可求得BP的长。
例4.如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC=α（60°≤α＜90°）．
（1）当α=60°时，求CE的长；
（2）当60°＜α＜90°时，
①是否存在正整数k，使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
②连接CF，当CE2﹣CF2取最大值时，求tan∠DCF的值．

【答案】解：（1）∵α=60°，BC=10，∴sinα=，即sin60°=，解得CE=。
（2）①存在k=3，使得∠EFD=k∠AEF。理由如下：
连接CF并延长交BA的延长线于点G，
∵F为AD的中点，∴AF=FD。
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠G=∠DCF。
在△AFG和△CFD中，
∵∠G=∠DCF， ∠G=∠DCF，AF=FD，
∴△AFG≌△CFD（AAS）。∴CF=GF，AG=CD。
∵CE⊥AB，∴EF=GF。∴∠AEF=∠G。
∵AB=5，BC=10，点F是AD的中点，∴AG=5，AF=AD=BC=5。∴AG=AF。
∴∠AFG=∠G。
在△AFG中，∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF，
又∵∠CFD=∠AFG，∴∠CFD=∠AEF。
∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF，
因此，存在正整数k=3，使得∠EFD=3∠AEF。
②设BE=x，∵AG=CD=AB=5，∴EG=AE+AG=5﹣x+5=10﹣x，
在Rt△BCE中，CE2=BC2﹣BE2=100﹣x2。
在Rt△CEG中，CG2=EG2+CE2=（10﹣x）2+100﹣x2=200﹣20x。
∵CF=GF（①中已证），∴CF2=（CG）2=CG2=（200﹣20x）=50﹣5x。
∴CE2﹣CF2=100﹣x2﹣50+5x=﹣x2+5x+50=﹣（x﹣）2+50+。
∴当x=，即点E是AB的中点时，CE2﹣CF2取最大值。
此时，EG=10﹣x=10﹣，CE=，
∴。
【考点】锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，平行四边形的性质，对顶角的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的性质，二次函数的最值，勾股定理。
【分析】（1）利用60°角的正弦值列式计算即可得解。
（2）①连接CF并延长交BA的延长线于点G，利用“角边角”证明△AFG和△CFD全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=GF，AG=CD，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF=GF，再根据AB、BC的长度可得AG=AF，然后利用等边对等角的性质可得∠AEF=∠G=∠AFG，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠EFC=2∠G，然后推出∠EFD=3∠AEF，从而得解。
②设BE=x，在Rt△BCE中，利用勾股定理表示出CE2，表示出EG的长度，在Rt△CEG中，利用勾股定理表示出CG2，从而得到CF2，然后相减并整理，再根据二次函数的最值问题解答。
例6.如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．
（1）求证：∠APB=∠BPH；
（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；
（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

【答案】解：（1）如图1，∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB．
又∵∠EPH=∠EBC=90°，
∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP，即∠PBC=∠BPH。
又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC。∴∠APB=∠BPH。
（2）△PHD的周长不变为定值8。证明如下：
如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q。
由（1）知∠APB=∠BPH，
又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP，
∴△ABP≌△QBP（AAS）。∴AP=QP，AB=BQ。
又∵AB=BC，∴BC=BQ。
又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，∴△BCH≌△BQH（HL）。∴CH=QH。
∴△PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。
（3）如图3，过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM=BC=AB。
又∵EF为折痕，∴EF⊥BP。
∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°。∴∠EFM=∠ABP。
又∵∠A=∠EMF=90°，AB=ME，∴△EFM≌△BPA（ASA）。
∴EM=AP=x．
∴在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2，即。
∴。
又∵四边形PEFG与四边形BEFC全等，
∴。
∵，∴当x=2时，S有最小值6。
【考点】翻折变换（折叠问题），正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的最值。
【分析】（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH，进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC即可得出答案。
（2）先由AAS证明△ABP≌△QBP，从而由HL得出△BCH≌△BQH，即可得CH=QH。因此，△PDH的周长=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8为定值。
（3）利用已知得出△EFM≌△BPA，从而利用在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2，利用
6.（2011内蒙古巴彦淖尔、赤峰14分）如图（图1，图2），四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在线段BC上，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CP于点F，交BC的延长线于点N，FN⊥BC．
（1）若点E是BC的中点（如图1），AE与EF相等吗？
（2）点E在BC间运动时（如图2），设BE=x，△ECF的面积为y．
①求y与x的函数关系式；
②当x取何值时，y有最大值，并求出这个最大值．

图1 图2
五、应用其它知识求最值：典型例题：D。
例2.（2012广西来宾3分）如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB=AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是【 】