复数概念与运算-理科.doc

第二节 复数的概念与运算
一、课标考纲要求
1.复数的概念
（1）理解复数的基本概念
（2）理解复数相等的充要条件
（3）了解复数的代数表示法及其几何意义
2.复数的四则运算
（1）会进行复数代数形式的四则运算
（2）了解复数代数形式的加、减运算的几何意义
二、基础知识梳理
1．复数的基本概念
(1).概念：形如（）的数，称为复数.所有复数构成的集合称复数集.通常用C表示.
(2).虚数单位为：①.②和实数在一起，服从实数的运算律
(3)复平面: 建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面,轴称为实轴，轴称为虚轴，实轴上的点都表示实数,除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数;各象限内的点都表示虚数.
(4).复数的几种形式：
①.代数形式：（），其中叫实部记作Re(z)，叫虚部记作Im(z)；
②几何形式: 将作为复平面内点的坐标，那么z与复平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与复平面内所有的点构成的集合之间的一一映射;因此复数可以用点来表示, 点称为复数的几何形式.即
③将(a,b)作为向量的坐标，复数z又对应唯一一个向量,因此复平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式.即
(5).复数的分类：
①.实数b = 0,即
②.虚数
③.纯虚数a = 0且,即
(6).共轭复数: 若两个复数的实部相等,虚部互为相反数,则称这两个复数叫做互为共轭复数,复数的共轭复数用表示,即（）,则（）
(7).两个复数相等的定义：
且其中;特别地
2.复数的基本运算
(1).复数的运算法则：
①代数形式:运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，特别注意:复数的除法运算,运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分化为实数；
即:;

②向量形式:加、减法满足平行四边形和三角形法则,若为坐标满足向量的坐标运算.
(2).运算定律:
①复数的加法满足交换律、结合律;
即都有
②复数的乘法满足交换律、结合律、分配律;
即
(3)距离:①模:; ②复平面内的两点间距离公式：.
3、复数的性质
(1). 共轭复数的性质：

，（a + bi）

（）
特别地:; 非零复数是纯虚数
注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]
(2).模运算的性质
;
特别地:
(3).复数的乘方：①;
②对任何，及有
注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如若由就会得到的错误结论.
(4).绝对值不等式： 设是不等于零的复数，则
①.
左边取等号的条件是，右边取等号的条件是.
②.
左边取等号的条件是，右边取等号的条件是.
注：.
4.复数常用的结论：
(1).周期为4; 即 ;
(2).
(3).若是1的立方虚数根，即，则
5.易错点
(1).两个复数不能比较大小;当且仅当两个复数全为实数时,才能比较大小.
注：①若为复数，则若，则.（×）[为复数，而不是实数]
若，则.（√）
②若，则是的必要不充分条件.
（当，时，上式成立）
(2).在实数集成立的.当为虚数时，，所以复数集内解方程不能采用两边平方法. 即在复数集中解一元二次方程：
在复数集内解关于的一元二次方程时，应注意下述问题：
①当时，若＞0，则有二不等实数根；若=0，则有二相等实数根；若＜0，则有二相等复数根（为共轭复数）.
②当不全为实数时，不能用方程根的情况.
③不论为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.

三、高考真题在线
题型一、复数的概念
例1． (2009·福建理13) 复数的实部是 .
【解析】,所以实部是-1
【答案】-1
例2．(2007·广东) ．若复数是纯虚数（是虚数单位，为实数），则=
A. 2 B. C. - D. -2
【解析】，而复数是纯虚数，那么由
且得b=2，故选A。
【答案】A
方法总结：求解复数概念方面的题目，关键在于将复数化为代数形式后，利用相关概念，找到充要条件进行求解.
过关测试
1. （2006年福建卷）设，则复数为实数的充要条件是
A. B. C. D.
2.（2005年北京卷）若 , ，且为纯虚数，则实数的值为 ．
题型二、复数相等
例3.（2012高考江苏3）设，（i为虚数单位），则的值为 ．
【解析】由得所以
【答案】8
例4（2010辽宁理数）(2)设为实数，若复数，则
A． B. C. D.
【解析】由得所以，解得，故选A
【答案】A
方法总结：复数相等问题关键抓住定义，利用实部与实部相等，虚部与虚部相等，建立方程求得相关参数.复数不能比较大小，当且仅当复数为实数的时候，才能比较大小.
过关测试
3.（2010江西理数）1.已知，则实数分别为
A. B. C. D.
4.（2006年浙江卷）已知
A. B. C. D.
题型三、复数的几何意义
例5(2011年高考山东卷理科2)复数(为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解析】故坐标为，第四象限.
【答案】D
例6（2010北京理数）在复平面内，复数对应的点的坐标为 .
【解析】故坐标为（-1,1）
【答案】（-1,1）
方法总结：复数的三种形式间的转化，代数形式复平面内的点复平面内的向量
过关测试
5.（2006年北京卷）在复平面内，复数对应的点位于
A．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
6. （2010·北京文数）在复平面内，复数对应的点分别为若为线段的中点，则点对应的复数是
A. B. C. D.
题型四、复数的模
例7(2011年高考辽宁卷理科1) 为正实数，为虚数单位，，则=
A．2 B. C. D.1
【解析】,，故.
【答案】： B
例8（2010江苏卷）设复数满足（其中为虚数单位），则的模为_________.
【解析】考查复数运算、模的性质；法1：先求，故法2:由复数模的性质由, 与的模相等，得.
【答案】：2
方法总结：复数的模，常伴随着复数的运算，即常规方法是先求出所求复数的代数形式，然后利用复数模计算公式求解.也可以利用复数模的性质，抓不变量，找等量关系进行求解.
过关测试
7．（2008·广东）已知，复数的实部为，虚部为1，则的取值范围是
A． B． C． D．
8.（2010山东质检）设复数满足关系式，则等于
A. B. C. D.
题型五、复数的运算
例9（2012高考真题四川理2）复数
A． B. C. D.
【解析】直接化简为代数形式：.
【答案】B
例10（2012高考真题山东理1）若复数满足（为虚数单位），则为
A. B. C. D.
【解析】.故选A.
【答案】A
例11(2011年高考湖北卷理科1)为虚数单位，则=
A. B. C. D.
【解析】因为,法1：利用，即；
法2：利用是以4为周期的，则有所以选A.
【答案】A
方法总结: 复数的代数运算是重点，是每年必考内容之一，复数代数形式的运算：①加减法按合并同类项法则进行；②乘法展开、除法须分母实数化.③乘方运算时，若次数较低可以直接计算，若次数较高时常常隐含着周期，利用周期进行转化.如：的周期为4.运算结果都必须为复数的代数形式，因此，一些复数问题只需设（）代入原式后，就可以将复数问题化归为实数问题来解决.
过关测试
9.(2012高考真题安徽理1)复数满足：；则
A. B. C. D.
10.（2010天津理数）是虚数单位，复数
A. B. C. D.
11.(2009·广东理2) 设是复数，表示满足的最小正整数，则对虚数单位，
A．8 B．6 C．4 D.2
题型六：共轭复数
例12(2011浙江卷理科2)把复数的共轭复数记作，若，为虚数单位，则=
A. B. C. D.
【解析】 故选A
【答案】 A
例13（2008山东）设z的共轭复数是，且z+=4,z·＝8，则等于
A．1 B. C. D
【解析】本题考查共轭复数的概念、复数的运算，可设出复数的代数形式，由z+=4
则，由得，则，
【答案】D
方法总结：法1：利用共轭复数的定义，常先计算出的形式，再用定义得到，最后直接计算相关问题，法2：共轭复数的性质解题
过关测试
12.(2011年高考全国新课标卷理科1)复数的共轭复数是
A. B. C. D.
13.(2011年高考江西卷理科1)若，则复数
A. B. C. D.
题型七、复数与其它知识的综合
例14(2012高考真题新课标理3)下面是关于复数的四个命题：其中的真命题为
的共轭复数为 的虚部为
A. B. C. D.
【解析】因为，所以，，共轭复数为的虚部为，所以证明题为，故选C.
【答案】C
例15(2012高考真题陕西理3)设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的
A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】或，而复数是纯虚数，是纯虚数，故选B.
【答案】B
方法总结：复数与其它知识的综合问题在于抓住复数为背景，利用其它章节的知识来来解决.关键在于知识的综合性和关联性.
过关测试
14.(2007年山东)若（为虚数单位），则使的值可能是
A. B. C. D.
15.(2009湖北理)投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为和,则复数为实数的概率为
A. B. C. D.
四、重庆9年高考
1.（2012重庆理11）若，其中为虚数单位，则 ；
2.（2011重庆理1）复数
A． B. C. D.
3.（2010重庆理数11）已知复数，则=____________.
4.（2009重庆理数2）已知复数的实部为，虚部为2，则=
A． B． C． D．
5.（2008重庆理数1） 复数1+=
A. B. C. D.
6.（2007重庆理数11）复数的虚部为________.
7. (2006重庆11)复数的值是___________.
8.(2005重庆卷1)
A． B．－ C． D.－
9.(2004重庆卷)设复数, 则 ( )
A. B. C. D.
五、2014权威预测
复数的重点是复数的概念及代数形式的运算.难点是复数的复数的四则运算，复数的概念及其运算是高考命题热点；复数的概念，要搞清楚实部与虚部，，共轭复数等概念，及复数的运算.从近几年高考试题来看，主要考查复数的概念及其运算，难度不大，常以选择、填空题出现，分值为5分，在高考试卷中属于必考题，应引起注意.
六、挑战高考满分
1．（2008辽宁理）复数的虚部是
A． B． C． D．
2．（2006全国卷I）如果复数是实数，则实数
A． B． C． D.
3．（2012四川理）复数
A. B. C. D.
4．（2011安徽理）设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为
A． 2 B. -2 C. - D.
5．（2010山东理）已知，则
A. B. C. D.
6．（2012海南文）复数的共轭复数是
A. B. C. D.
7.（2005浙江卷）在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限
8.（2012北京理3）设,“”是“复数是纯虚数”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
9.（2010浙江理数）对任意复数，为虚数单位，则下列结论正确的是
A. B. C. D.
10．(2006上海卷)若复数同时满足－＝2，＝（为虚数单位），则＝ ．
11.（2010江苏卷）设复数满足（其中为虚数单位），则的模为___________.
12.（2009年上海卷理）若复数满足 (是虚数单位)，则其共轭复数=__________________ .
13.（2006年湖北）设为实数，且，则________________.
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