资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题（每题4分，共48分）
1．在Rt△ABC中，∠C =90°，sinA=，则cosB的值等于( )
A． B． C． D．
2．已知，则下列比例式成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．任意一个五边形的外角和等于540°
B．通常情况下，将油滴入水中，油会浮在水面上
C．随意翻一本120页的书，翻到的页码是150
D．经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯
4．能判断一个平行四边形是矩形的条件是（ ）
A．两条对角线互相平分 B．一组邻边相等
C．两条对角线互相垂直 D．两条对角线相等
5．抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图所示，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a =2；④方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．某中学组织初三学生足球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排场比赛，则参加比赛的班级有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
7．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将直角边AC绕A点逆时针旋转至AC′，连接BC′，E为BC′的中点，连接CE,则CE的最大值为( ).
A． B． C． D．
8．用小立方块搭成的几何体，从正面看和从上面看的形状图如下，则组成这样的几何体需要的立方块个数为( )
A．最多需要8块，最少需要6块 B．最多需要9块，最少需要6块
C．最多需要8块，最少需要7块 D．最多需要9块，最少需要7块
9．如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上的一个动点，过点P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点．设AC＝2，BD＝1，AP＝x，△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象大致形状是( )
A． B． C． D．
10．同桌读了：“子非鱼焉知鱼之乐乎？”后，兴高采烈地利用电脑画出了几幅鱼的图案，请问：由左图中所示的图案平移后得到的图案是（ ）
A． B． C． D．
11．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．明天的最高气温将达35℃
B．任意购买一张动车票，座位刚好挨着窗口
C．掷两次质地均匀的骰子，其中有一次正面朝上
D．对顶角相等
12．如图，在边长为1的小正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，若向正方形网格中投针，落在△ABC内部的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如果两个相似三角形的面积的比是4：9，那么它们对应的角平分线的比是_____．
14．将二次函数化成的形式为__________．
15．已知一条抛物线，以下说法：①对称轴为，当时，随的增大而增大；②；③顶点坐标为；④开口向上.其中正确的是______.（只填序号）
16．小王存银行5000元，定期一年后取出3000元，剩下的钱继续定期一年存入，如果每年 的年利率不变，到期后取出2750元，则年利率为__________．
17．如图，⊙O的半径OA长为6，BA与⊙O相切于点A，交半径OC的延长线于点B，BA长为，AH⊥OC，垂足为H，则图中阴影部分面积为_____．（结果保留根号）
18．如图，某水坝的坡比为,坡长为米，则该水坝的高度为__________米．
三、解答题（共78分）
19．（8分）已知抛物线的顶点为，且过点.直线与轴相交于点.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）以线段为直径的圆与射线相交于点，求点的坐标.
20．（8分）如图，一天，我国一渔政船航行到A处时，发现正东方向的我领海区域B处有一可疑渔船，正在以12海里∕小时的速度向西北方向航行，我渔政船立即沿北偏东60º方向航行，1.5小时后，在我领海区域的C处截获可疑渔船．问我渔政船的航行路程是多少海里？(结果保留根号)
21．（8分）现有甲、乙、丙三名学生参加学校演讲比赛，并通过抽签确定三人演讲的先后顺序．
（1）求甲第一个演讲的概率；
（2）画树状图或表格，求丙比甲先演讲的概率．
22．（10分）如图，已知△ABC，∠A＝60°，AB＝6，AC＝1．
（1）用尺规作△ABC的外接圆O；
（2）求△ABC的外接圆O的半径；
（3）求扇形BOC的面积．
23．（10分）如果一个直角三角形的两条直角边的长相差2cm，面积是24，那么这个三角形的两条直角边分别是多少？
24．（10分）如图，已知，是一次函数与反比例函数图象的两个交点，轴于点，轴于点．
（1）求一次函数的解析式及的值；
（2）是线段上的一点，连结，若和的面积相等，求点的坐标．
25．（12分）已知：如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3交x轴于点A、B，其中点A在点B的左边，交y轴于点C，点P为抛物线上位于x轴上方的一点．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）若△PAB的面积为4，求点P的坐标．
26．如图，抛物线的图象经过点，顶点的纵坐标为，与轴交于两点.
（1）求抛物线的解析式.
（2）连接为线段上一点，当时，求点的坐标.
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【解析】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A+∠B=90°，则cosB=sinA=．故选B．
点睛：本题考查了互余两角三角函数的关系．在直角三角形中，互为余角的两角的互余函数相等．
2、C
【分析】依据比例的性质，将各选项变形即可得到正确结论．
【详解】解：A．由可得，2y=3x，不合题意；
B．由可得，2y=3x，不合题意；
C．由可得，3y=2x，符合题意；
D．由可得，3x=2y，不合题意；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了比例的性质，解决问题的关键是掌握：内项之积等于外项之积．
3、D
【分析】根据随机事件的定义，逐一判断选项，即可得到答案．
【详解】∵任意一个五边形的外角和等于540°，是必然事件，
∴A不符合题意，
∵通常情况下，将油滴入水中，油会浮在水面上，是必然事件，
∴B不符合题意，
∵随意翻一本120页的书，翻到的页码是150，是不等能事件，
∴C不符合题意，
∵经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯，是随机事件，
∴D符合题意，
故选D．
【点睛】
本题主要考查随机事件的定义，掌握必然事件，随机事件，不可能事件的定义，是解题的关键．
4、D
【分析】根据矩形的判定进行分析即可；
【详解】选项A中，两条对角线互相平分是平行四边形，故选项A错误；
选项B中，一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项B错误；
选项C中，两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项C错误；
选项D中，两条对角线相等的平行四边形是矩形，故选项D正确；
故选D.
【点睛】
本题主要考查了矩形的判定，掌握矩形的判定是解题的关键.
5、B
【分析】先从二次函数图像获取信息，运用二次函数的性质一—判断即可．
【详解】解：∵二次函数与x轴有两个交点，∴b2-4ac>0，故①错误；
∵抛物线与x轴的另一个交点为在（0，0）和（1，0）之间，且抛物线开口向下，
∴当x=1时,有y=a+b+c＜0，故②正确;
∵函数图像的顶点为（-1，2）
∴a-b+c=2，
又∵由函数的对称轴为x=-1，
∴=-1,即b=2a
∴a-b+c =a-2a+c=c-a=2，故③正确；
由①得b2-4ac>0，则ax2+bx+c =0有两个不等的实数根，故④错误；
综上，正确的有两个．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的图像与系数的关系，从二次函数图像上获取有用信息和灵活运用数形结合思想是解答本题的关键．
6、C
【分析】设共有x个班级参赛，根据每两班之间都比赛一场可知每个班要进行(x-1)场比赛，根据计划安排场比赛列方程求出x的值即可得答案．
【详解】设共有x个班级参赛，
∵每两班之间都比赛一场，
∴每个班要进行(x-1)场比赛，
∵计划安排场比赛，
∴，
解得：x1=5，x2=-4(不合题意，舍去)，
∴参加比赛的班级有5个，
故选：C．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的应用，关键是准确找到描述语，根据等量关系准确的列出方程．此题还要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
7、B
【分析】取AB的中点M，连接CM，EM，当CE＝CM+EM时，CE的值最大，根据旋转的性质得到AC′＝AC＝2，由三角形的中位线的性质得到EMAC′＝2，根据勾股定理得到AB＝2，即可得到结论．
【详解】取AB的中点M，连接CM，EM，∴当CE＝CM+EM时，CE的值最大．
∵将直角边AC绕A点逆时针旋转至AC′，∴AC′＝AC＝2．
∵E为BC′的中点，∴EMAC′＝2．
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，∴AB＝2，∴CMAB，∴CE＝CM+EM．
故选B．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
8、C
【分析】易得这个几何体共有3层，由俯视图可知第一层正方体的个数为4，由主视图可知第二层最少为2块，最多的正方体的个数为3块，第三层只有一块，相加即可.
【详解】由主视图可得：这个几何体共有3层，
由俯视图可知第一层正方体的个数为4，
由主视图可知第二层最少为2块，最多的正方体的个数为3块，
第三层只有一块，
故：最多为3+4+1=8个
最少为2+4+1=7个
故选C
【点睛】
本题考查由三视图判断几何体，熟练掌握立体图形的三视图是解题关键.
9、C
【解析】△AMN的面积=AP×MN，通过题干已知条件，用x分别表示出AP、MN，根据所得的函数，利用其图象，可分两种情况解答：（1）0＜x≤1；（2）1＜x＜2；
解：（1）当0＜x≤1时，如图，
在菱形ABCD中，AC=2，BD=1，AO=1，且AC⊥BD；
∵MN⊥AC，
∴MN∥BD；
∴△AMN∽△ABD，
∴=，
即，=，MN=x；
∴y=AP×MN=x2（0＜x≤1），
∵＞0，
∴函数图象开口向上；
（2）当1＜x＜2，如图，
同理证得，△CDB∽△CNM，=，
即=，MN=2-x；
∴y=
AP×MN=x×（2-x），
y=-x2+x；
∵-＜0，
∴函数图象开口向下；
综上答案C的图象大致符合．
故选C．
本题考查了二次函数的图象，考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力，体现了分类讨论的思想．
10、B
【解析】根据平移的性质：“平移不改变图形的形状和大小”来判断即可.
【详解】解：根据 “平移不改变图形的形状和大小”知：左图中所示的图案平移后得到的图案是B项，故选B.
【点睛】
本题考查了平移的性质，平移的性质是“经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等；平移不改变图形的形状、大小和方向”.
11、D
【解析】A、明天最高气温是随机的，故A选项错误；
B、任意买一张动车票，座位刚好挨着窗口是随机的，故B选项错误；
C、掷骰子两面有一次正面朝上是随机的，故C选项错误；
D、对顶角一定相等，所以是真命题，故D选项正确.
【详解】解：“对顶角相等”是真命题，发生的可能性为100%，
故选：D．
【点睛】
本题的考点是随机事件.解决本题需要正确理解必然事件的概念：必然事件指在一定条件下一定发生的事件.
12、C
【分析】先分别求出正方形和三角形的面积，然后根据概率公式即可得出答案.
【详解】正方形的面积=1×4=4
三角形的面积=
∴落在△ABC内部的概率=
故答案选择C.
【点睛】
本题考查的是概率的求法，解题的关键是用面积之比来代表事件发生的概率.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、2:1
【解析】先根据相似三角形面积的比是4：9，求出其相似比是2：1，再根据其对应的角平分线的比等于相似比，可知它们对应的角平分线比是2：1．
故答案为2：1.
点睛：本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形对应边的比、对应高线的比、对应角平分线的比、周长的比都等于相似比；面积的比等于相似比的平方．
14、
【分析】利用配方法整理即可得解．
【详解】解：，
所以．
故答案为．
【点睛】
本题考查了二次函数的解析式有三种形式：
(1)一般式：为常数)；
(2)顶点式：；
(3)交点式(与轴)：．
15、①④
【分析】先确定顶点及对称轴，结合抛物线的开口方向逐一判断．
【详解】因为y=2(x﹣3)2+1是抛物线的顶点式，顶点坐标为(3，1)，
①对称轴为x=3，当x＞3时，y随x的增大而增大，故①正确；
②，故②错误；
③顶点坐标为(3，1)，故③错误；
④∵a=1＞0，
∴开口向上，故④正确．
故答案为：①④．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质以及函数的单调性和求抛物线的顶点坐标、对称轴及最值的方法．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
16、
【分析】设定期一年的利率是，则存入一年后的本息和是元，取3000元后余元，再存一年则有方程，解这个方程即可求解．
【详解】解：设定期一年的利率是，
根据题意得：一年时：，
取出3000后剩：，
同理两年后是，
即方程为，
解得：，（不符合题意，故舍去），即年利率是．
故答案为：10%．
【点睛】
此题考查了列代数式及一元二次方程的应用，是有关利率的问题，关键是掌握公式：本息和本金利率期数），难度一般．
17、
【分析】由已知条件易求直角三角形AOH的面积以及扇形AOC的面积，根据阴影部分的面积＝扇形AOC的面积﹣直角三角形AOH的面积，计算即可．
【详解】∵BA与⊙O相切于点A，
∴AB⊥OA，
∴∠OAB＝90°，
∵OA＝6，AB＝6，
∴tan∠B＝，
∴∠B＝30°，
∴∠O＝60°，
∴∠OAH＝30°，
∴OH＝OA＝3，
∴AH＝3，
∴阴影部分的面积＝扇形AOC的面积﹣直角三角形AOH的面积＝﹣×3×3＝；
故答案为：．
【点睛】
此题考查圆的性质，直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，扇形面积公式，三角函数.
18、
【分析】根据坡度的定义，可得，从而得∠A=30°，进而即可求解．
【详解】∵水坝的坡比为，∠C=90°，
∴，即：tan∠A=
∴∠A=30°，
∵为米，
∴为1米．
故答案是：1．
【点睛】
本题主要考查坡度的定义和三角函数的定义，掌握坡度的定义，是解题的关键．
三、解答题（共78分）
19、（1）；（2）或
【分析】（1）先设出抛物线的顶点式，再将点A的坐标代入可得出结果；
（2）先求出射线的解析式为，可设点P的坐标为(x,x)．圆与射线OA相交于两点，分两种情况：①如图1当时，构造和，再在直角三角形中利用勾股定理，列方程求解；②如图2，当时，构造和，再在直角三角形中利用勾股定理，列方程求解．
【详解】解：（1）根据顶点设抛物线的解析式为：，
代入点，得：，
抛物线的解析式为：．
设直线的解析式为：，
分别代入和，
得：，
直线的解析式为：；
（2）由（1）得：直线的解析式为，
令，得，
由题意可得射线的解析式为，
点在射线上，则可设点，
由图可知满足条件的点有两个：
①当时，构造和，
可得：如图1：
由图可得，，，
．
在Rt△PMD中，,
在Rt△PBG中，,
在Rt△BMH中，,
点在以线段为直径的圆上,，
可得：,
即：．
整理，得：
，解得：；
,．
;
②当时，如图2，构造和，可得：
同理，根据BM2=BP2+PM2，可得方程：
42+42=(6-x)2+x2+(x-2)2+(x-4)2,化简得，
，解得：，
∵．
．
综上所述，符合题目条件的点有两个，其坐标分别为：或．
【点睛】
本题主要考查二次函数解析式的求法，以及圆的相关性质，关键是构造直角三角形利用勾股定理列方程解决问题．
20、我渔政船的航行路程是海里．
【分析】过C点作AB的垂线，垂足为D，构建Rt△ACD，Rt△BCD，解这两个直角三角形即可．
【详解】解：如图：作CD⊥AB于点D，
∵在Rt△BCD中，BC=12×1.5=18海里，∠CBD=45°，
∴CD=BC•sin45°=（海里）．
∴在Rt△ACD中，AC=CD÷sin30°=（海里）．
答：我渔政船的航行路程是海里．
点睛：考查了解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值．
21、（1）；（2）画图见解析；
【分析】（1）从3个人中选一个，得甲第一个演讲的概率是
（2）列树状图即可求得答案.
【详解】（1）甲第一个演讲的概率是；
（2）树状图如下：
共有6种等可能情况，其中丙比甲先演讲的有3种，
∴P（丙比甲先演讲）=.
【点睛】
此题考查事件的概率，在确定事件的概率时通常选用树状图或列表法解答.
22、（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）分别作出线段BC，线段AC的垂直平分线EF，MN交于点O，以O为圆心，OB为半径作⊙O即可．
（2）连接OB，OC，作CH⊥AB于H．解直角三角形求出BC，即可解决问题．
（3）利用扇形的面积公式计算即可．
【详解】（1）如图⊙O即为所求．
（2）连接OB，OC，作CH⊥AB于H．
在Rt△ACH中，∵∠AHC=90°，AC=1，∠A=60°，
∴∠ACH=30°，
∴AHAC=2，CHAH=2，
∵AB=6，
∴BH=1，
∴BC2，
∵∠BOC=2∠A=120°，OB=OC，OF⊥BC，
∴BF=CF，∠COF∠BOC=60°，
∴OC．
（3）S扇形OBC．
【点睛】
本题考查了作图﹣复杂作图，勾股定理，解直角三角形，三角形的外接圆与外心等知识，解答本题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
23、一条直角边的长为 6cm，则另一条直角边的长为8cm．
【分析】可设较短的直角边为未知数x，表示出较长的边，根据直角三角形的面积为24列出方程求正数解即可．
【详解】解：设一条直角边的长为xcm，则另一条直角边的长为（x+2）cm．
根据题意列方程，得
．
解方程，得：x1=6，x2=（不合题意，舍去）．
∴一条直角边的长为 6cm，则另一条直角边的长为8cm．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用；用到的知识点为：直角三角形的面积等于两直角边积的一半．
24、（1），m的值为-2;（2）P点坐标为.
【分析】（1）由已知条件求出点A，及m的值，将点A，点B代入一次函数解析式即可求出一次函数解析式；
（2）设P点坐标为，根据“和的面积相等”，表达出两个三角形的面积，求出点P坐标．
【详解】（1）把B（-1，2）代入中得
在反比例函数图象上
都在一次函数图象上
解得
∴一次函数解析式为，m的值为-2
（2）设P点坐标为
则
∴P点坐标为
【点睛】
本题考查了反比例函数一次函数，反比例函数与几何的综合知识，解题的关键是灵活运用函数与几何的知识．
25、（1）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）；（2）P点坐标为（1﹣，2），（1+，2）
【分析】（1）当时，可求点A，点B坐标，当，可求点C坐标；
（2）设点P的纵坐标为，利用三角形面积公式可求得，代入y=﹣x2+2x+3即可求得点P的横坐标，从而求得答案.
【详解】（1）对于抛物线y=﹣x2+2x+3，
令y=0，得到﹣x2+2x+3=0，
解得：x1=﹣1，x2=3，
则A（﹣1，0），B（3，0），
令，得到y=﹣x2+2x+3=3，
则C点坐标为（0，3）；
故答案为：A（﹣1，0），B（3，0），（0，3）；
（2）设点P的纵坐标为，
∵点P为抛物线上位于x轴上方，
∴，
∵△PAB的面积为4，
∴，
解得：，
∵点P为抛物线上的点，
将代入y=﹣x2+2x+3得：﹣x2+2x+3=2，
整理得x2﹣2x﹣1=0，
解得：x1=1﹣，x2=1+，
∴P点坐标为：（1﹣，2），（1+，2）．
【点睛】
本题考查了二次函数的解析式的运用，利用二次函数的性质求解是关键．
26、（1） 或；（2）
【分析】（1）将点C、D的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）当△AOC∽△AEB时，===，求出yE=，即可求出点E坐标.
【详解】解：（1）由题可列方程组：，解得：，
∴抛物线解析式为： 或；
（2）由题，∠AOC=90°，AC=，AB=4，
设直线AC的解析式为：y=kx+b，则，解得，
∴直线AC的解析式为：y=-2x-2，
当△AOC∽△AEB时，
===，
∵S△AOC=1，∴S△AEB=，
∴AB×|yE|=，AB=4，则yE=，
则点E（，）.
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、点的对称性、三角形相似、图形的面积计算等．
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