第九章多元函数微分学(1-4).doc

习　题　9 － 1
　　1．指出下列平面点集中，那些是开集、闭集、有界集、连通集、开区域以及闭区域？并分别求其聚点和边界点：
　　（1）；
　　（2）；
　　（3）；
　　（4）．
　　解　（1）为有界开区域；聚点为集合，边界点为集合；
　　（2）为无界的开区域；聚点为集合，边界点为集合；
　　（3）为有界闭区域；聚点集合为该区域上所有点，边界点集合为三个直线段与及的并集；
　　（4）为有界连通集合；聚点为，边界点为圆弧及圆弧的并集．
　　2．证明：点为点集的聚点的充分必要条件是点的任意邻域内都至少含有一个点集中异于的点．
证明：“”由聚点的定义即可得；
“”取（其中表示点与点的距离），则，记，则，依此类推，由数学归纳法可知对于每个正整数，均可取到点，由此可得一个两两均不相同的点列，若，因，则使得，那么当时必有，即在中比含有集合的无穷多个点，因此点为点集的聚点．
　　3．求下列各函数值：
　　（1）设，求；
　　（2）设，求；
　　（3）设，求；
　　（4）设，求；
　　（5）设，求．
　　解　（1）；
　　（2）；
　　（3）；
　　（4）；
　　（5）设，
，．
　　4．设，若当时，，求函数及的表达式．
　　解　由题设有，令，则，所以有，相应的有．
　　5．求下列函数的定义域：
　　（1）；
　　（2）；
　　（3）；
　　（4）
　　解　（1）；
　　（2）；
　　（3）；
　　（4）．
习　题　9 － 2
　　1．证明：．
　　证明　，因为，取，当时，则有，因此有．
　　2．求下列极限：
　　（1）；　　　　　　　　　　（2）；
　　（3）；　　　　　　　　　（4）
　　解　 （1）原式；
　　（2）原式；
　　（3）原式；
　　（4）原式．
　　3．证明下列极限不存在：
　　（1）；　　　　　　　　　（2）．
　　解　（1）当取点沿曲线趋于点时则有
，取值不同，则该极限值不同，因此该极限不存在；
　　（2）当取点沿直线趋于点时则有
，而当取点沿直线趋于点时则有
，因沿不同方向取极限，则该极限值不同，故该极限不存在．
　　4．讨论下列函数的连续性：
　　（1）；
　　（2）
　　（3）
　　（4）．
　　解　（1）函数的定义域为，它在内处处连续，抛物线上的点均为它的间断点；
　　（2）函数在全平面内处处有定义，它在区域内处处连续，由于不存在，故是它的间断点；
　　（3）当时，函数显然是连续的，又，所以它在处也连续，因此该函数在全平面内处处连续；
　　（4）函数的定义域为，在定义域内处处连续，在球面及上函数间断．
　　5．设二元函数在有界闭区域上连续，点，证明至少存在一点，使得．
　　证明　令，则有
，由此可得，即．
　　（1）若，则，取即可；
　　（2）若，则有，由连续函数介值定理知至少存在一点，使得．
习　题　9 － 3
　　　1．求下列函数的一阶偏导数：
　　（1）；　　　　　　（2）；
　　（3）；　　　　　　　　（4）．
　　解　（1）,
由对称性可知；
　　（2）；
　　（3）；
　　（4）．
　　2．求下列函数在指定点的偏导数：
　　（1），求及；
　　（2），求．
　　解　（1）；
　　（2）．
　　3．求下列函数的二阶偏导数：
　　（1）；　　　　　　　　　（2）；
　　（3）；　　　　　　　　　 （4），求及．
　　解　（1），
．
　　（2），
；
　　（3），由对称性可知，
；
　　（4）．
　　4．求下列函数的指定高阶偏导数：
　　（1），求及；
　　（2），求．
　　解　（1）；
　　（2）．
　　5．设求及．
　　解　时，
，
，时，，．
　　6．已知二元函数在区域内有定义，且满足，试求．
　　解　由可得，由可得，因而．
　　7．分别讨论下列函数在点处的连续性和可偏导性：
　　（1）
　　（2）；
　　（3）
　　解　（1）因为，所以，因此该函数在点处连续，又，因而该函数在处存在偏导数；
　　（2）因，因而该函数在点处连续，而不存在，同理也不存在，因而该函数在处不存在偏导数；
　　（3）当取点沿直线趋于点时，则有，由于取不同值时，上述极限不一样，故不存在，因而该函数点处不连续，，故在点处偏导数存在，而偏导数不存在．
　　8．考察函数并回答下列问题：
　　（1）在点处是否有二阶偏导数；
　　（2）与在点处是否连续．
　　解　（1）

，．
　　（2）当取点沿直线趋于点时则有
，故在点处不连续，同理可证点处也不连续．
　　9．设，证明．
　　证明　，同理有，
，所以有．
　　10．证明：如果在区域内偏导数与有界，则函数在区域内连续．
　　证明　因为与在内有界，所以，对均有，设，则，当时有，记，则线段与必完全属于内，由Lagrange中值定理知

，
，由夹逼准则可知
，即函数在点处连续，由点的任意性可知，函数在区域内处处连续．
习　题　9 － 4
　　1．求函数在点处当自变量分别取得增量时相应的全增量及全微分．
　　解　
．
　　2．求下列函数的全微分：
　　（1）；　　　　　　　　　　　　（2）；
　　（3）；　　　　　　　　（4）．
　　解　（1）；
　　（2）；
　　（3）；
　　（4）．
　　3．试证：在点处连续，偏导数存在，但不可微．
　　证明　，因而函数在点处连续，
，
因而函数在点处偏导数存在，又
不存在，
故该函数在点处不可微．
　　4．设证明：
　　（1）存在；
　　（2）在点处不连续；
　　（3）在点处可微．
　　解　（1），因此，存在；
　　（2）不存在，因而在处不连续，又不存在，因此在处也不连续；
　　（3），因而函数在点处可微．
　　5．利用全微分求的近似值．
　　解　令，则有

．
　　6．设有一无盖的圆柱形容器，容器的壁与底厚均为0.1cm，内高为20cm，内半径为4cm，求容器外壳体积的近似值．
　　解　若圆柱体的底半径为，高为，则体积为，
．