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(完整版)放缩法在导数压轴题中的应用
恰当采用放缩法 巧证导数不等式
郑州市第四十四中学 苏明亮
放缩法是高中数学中一种重要的数学方法,尤其在证明不等式中经常用到．由于近几年数列在高考中的难度要求降低,放缩法的应用重点也逐渐从证明数列不等式转移到导数压轴题中，尤其是在导数不等式证明中更是大放异彩。下面试举几例，以供大家参考．
一、利用基本不等式放缩，化曲为直
例1（2012年高考辽宁卷理科第21题(Ⅱ)）设.证明：当时,.
证明：由基本不等式,当时，，故。

记，
则。
当时，,所以在内是减函数。故又由,所以，即，
故当时，.
评注：本题第（Ⅱ)问若直接构造函数，对进行求导，由于中既有根式又有分式,因此的零点及相应区间上的符号很难确定，而通过对进行放缩处理,使问题得到解决.上面的解法中,难点在用基本不等式证明，亦即是将抛物线弧放大化简为直线段，而该线段正是抛物线弧在左端点处的切线,这种“化曲为直”的方法是我们用放缩法处理函数问题的常用方法。
二、利用单调性放缩，化动为静
例2(2013年新课标全国Ⅱ卷第21题（Ⅱ））已知函数.当时，证明。
证法1：函数的定义域为，则.
设,因为，
所以在上单调递增。
又，,
故在上有唯一实根。
当时，,；当时,,,从而当时，取得最小值为.
由方程的根为，得，，
故（当且仅当取等号），
又因为时,所以。
取等号的条件是,及同时成立，这是不可能的，所以，故 .
证法2：因在定义域上是增函数，而,所以，
故只需证明当时，即可.
当时,在上单调递增。
又,故在上有唯一实根,且.
当时,；当时,，从而当时，取得最小值.
由得，，
故.
综上，当时，.
评注：借助导数取值研究函数单调性是证明初等不等式的重要方法.证法1直接求导证明，由于其含有参数，因而在判断的零点和求取得最小值显得较为麻烦；证法2利用对数函数的单调性化动为静,证法显得简单明了。此外，本题也是处理函数隐零点问题的一个经典范例.
三、活用函数不等式放缩,化繁为简
两个常用的函数不等式：

两个常用的函数不等式源于高中教材(人教A版选修2—2，）的一组习题,曾多次出现在高考试题中,笔者曾就此问题写过专题文章[1]。
例3(2014年高考新课标Ⅰ卷理科第21题）设函数,曲线在点处的切线方程为。
（I）求
（II)证明:。
分析：本题以曲线的切线为背景,考查导数的几何意义，用导数作工具研究函数的单调性，求函数最值以及不等式的证明。第(I）问较容易，一般学生都能做出来，只需求出函数的导数，易得.第（II)问难度较大，主要考查考生运用导数知识证明不等式的能力及运算求解能力，是近年来高考压轴题的热点问题.本题第（II)问证法较多，下面笔者利用函数不等式来进行证明.
证明：由,得,即，
故(当且仅当时取等号） ①
又由，得，故，两边取自然对数得，
即（当且仅当时取等号） ②
由于①、②式等号不能同时成立，两式相加得，两边同乘以,得.
评注：本题证明中利用函数不等式，并进行适当变形，结合不等式性质进行证明，从而避免了繁杂的计算，过程简洁自然，易于理解。
例4（2016年高考山东卷理科第20题（Ⅱ））已知。
当时，证明对于任意的成立。
证明：的定义域为，，时，

，，
由② 得，.
即只需证,
令，，则.
设,则在单调递减,
因为，
所以在上存在使得时，时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
由于,因此当时，，当且仅当时取得等号，
所以，
即对于任意的恒成立.
评注：要证明,比较麻烦的是式子中有,如果能让它消失，问题势必会简单些，所以自然就想到了利用比较熟悉的函数不等式进行放缩，方法自然，水到渠成.
上述两个常用函数不等式的变式：

四、巧用已证不等式放缩,借水行舟
例5（2016年高考新课标Ⅲ卷文科21题）设函数。
(I）证明当时，；
（II）设，证明当时，.
证明：（I）易证当时，,，即。
(II）由题设，设，则，令，，解得.当时，,单调递增；当时，,单调递减。由（I）知，，故，又,故当时，。所以当时，．
评注：本题第（II）问利用第（I)中已证明的不等式及巧妙地求出，进而利用在单调性及端点值证明出．利用已证不等式（或结论）服务后面问题的情况，在高考和模考试题中屡屡出现，这种解题中的“服务意识”不仅可以避开复杂的计算，往往也为解题思路指明了方向．下面再看一例：
例6（2013年高考辽宁卷理科21题)已知函数 当时，
(I）证明： ；
（II）确定的所有可能取值，使得 恒成立
证明:(I)证明：要证时，只需证明．
记，则．当时，，
因此在上是增函数，故．所以，．
要证时, ,只需证明．
综上，
（II）解：
．
设，则．记，
则．当时，，于是在上是减函数，
从而当时,，故在上是减函数．
于是，从而．
所以，当时， 在上恒成立．
下面证明，当时， 在上不恒成立．

，
记，则，当时，，故在上是减函数，于是在上的值域．
因为当时，，所以存在,使得,此时,
即 在上不恒成立．
综上，实数的取值范围是．
评注:本题第二问是一道典型的恒成立求参问题,这类题目很容易让考生想到用分离参数的方法，但分离参数后利用高中所学知识无法解决(笔者研究发现不能解决的原因是分离参数后，出现了“型"的式子，解决这类问题的有效方法就是高等数学中的洛必达法则）；若直接构造函数,里面涉及到指数函数、三角函数及高次函数,处理起来难度很大．本题解法中两次巧妙利用第一问的结论，通过分类讨论和假设反正，使问题得到解决．
上述几道导数不等式都不是考查某个单一的初等函数，而是综合考查指数函数、对数函数(尤其与“”和“”有关）、三角函数以及带根号的幂函数和其它函数综合在一起,如果直接求导或求函数零点较为困难，而通过上述放缩法处理，或化动为静或化曲为直或化繁为简或借水行舟,其实就是将这些难以处理的函数转化为较为简单的函数进行处理．由于放缩的尺度不好把握，因而放缩法是一种较难的解题技巧,在学习过程中要善于总结，积累一些常用的函数不等式和解题模式．
参考文献
1． 苏明亮．两个重要不等式及其在高考中的应用．高中数学教与学．2014(12）．
2．苏明亮．合理构造函数 巧解导数难题．数学通讯．2015（6）．
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