广州普通高中毕业班综合测试(一).doc

试卷类型：A
2004年广州市普通高中毕业班综合测试（一）
数 学
2004.3
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页。满分为150分。考试用时120分钟。

注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上，用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

第一部分 选择题（共60分）
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式
P（A+B）=P（A）+P（B） S=4πR2
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
P（A·B）=P（A）·P（B） 球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P.
那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．
（1）已知向量a＝（，，），b＝（，1，2），其中x＞0．若a∥b，则x的值为
（A）8 （B）4 （C）2 （D）0
（2）已知复数,,则在复平面内对应的点位于
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
（3）下列函数在处连续的是
（A） 　（B）
（C） 　（D）
（4）已知函数f（x）＝（x∈[0，]），则其反函数为
（A）（x∈[0，]） （B） （x∈[0，5]）
（C）－（x∈[0，]） （D）－（x∈[0，5]）
（5）已知，则的值为
（A） （B） （C） （D）
（6）已知双曲线的离心率e＝2，则该双曲线两条准线间的距离为
（A）2 　　（B） （C）1 （D）
（7）若， A，G，H，其中 ，R+，则A，G，H的大小关系是
（A）A≤G≤H 　（B）A≤H≤G（C）H≤G≤A （D）G≤H≤A
（8）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于
（A）原点对称 （B）轴对称
（C）轴对称 （D）直线对称
（9）直线x－y＋4＝0与曲线（θ为参数）的交点有
（A）0个 　（B）1个 （C）2个 （D）3个
（10）某文艺团体下基层进行宣传演出，原准备的节目表中有6个节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，在它们之间再插入2个小品节目，并且这2个小品节目在节目表中既不排头，也不排尾，则不同的插入方法有
（A）20种 （B）30种 （C）42种 （D）56种
（11）若等比数列的各项均为正数，前项之和为，前项之积为，前项倒数之和为，则
（A）= （B）＞ 　（C） （D）＞
（12）某个凸多面体有32个面，各面是三角形或五边形，每个顶点处的棱数都相等，则这个凸多面体的顶点数可以是
（A）60 （B）45 （C）30 （D）15
第二部分 非选择题（共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
（13）抛物线上一点M与该抛物线的焦点F的距离= 4，则点M的横坐标．
（14）若正六棱锥的底面边长为6，侧棱长为3，则它的侧面与底面所成的二面角的大小为．
（15）已知某离散型随机变量ξ的数学期望Eξ=，ξ的分布列如下：
ξ
0
1
2
3
P
a

b

则=．
（16）设p：|4x－3|≤1； q：≤0．
若﹁ p是﹁ q的必要而不充分的条件，则实数a的取值范围是．

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
某班有两个课外活动小组，其中第一小组有足球票6张，排球票4张；第二小组有足球票4张，排球票6张．甲从第一小组的10张票中任抽1张，和乙从第二小组的10张票中任抽1张．
（Ⅰ）两人都抽到足球票的概率是多少？
（Ⅱ）两人中至少有1人抽到足球票的概率是多少？

C1
D1
C
A1
B1
A
B
D
E
F

（18）（本小题满分12分）
如图，在正四棱柱中，已知AB＝2，
AA1＝5，E、F分别为、B1B上的点，且．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求点E到平面的距离．

（19）（本小题满分12分）
已知电流I与时间t的关系式为
．
（Ⅰ）右图是（ω＞0，）
在一个周期内的图象，根据图中数据求
的解析式；
（Ⅱ）如果t在任意一段秒的时间内，电流
都能取得最大值和最小值，那么ω的最
小正整数值是多少？

（20）（本小题满分12分）
已知数列的前n项和为Sn，且对任意正整数n都有2Sn＝(n＋2)an－1．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求．

（21）（本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调递减区间；
（Ⅱ）若，证明：．

（22）（本小题满分14分）
已知曲线按向量a＝（2，1）平移后得到曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）过点D（0，2）的直线l与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，设＝λ，求实数λ的取值范围．

2004年广州市普通高中毕业班综合测试（一）
数学试题参考解答及评分标准

一、 选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分60分．
一、
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
A
B
D
C
A
C
B
B
C
C

二、 填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．
（13）3 　　 （14）300 （15） （16）[0，]

三、解答题：
（17）本小题主要考查相互独立事件同时发生和互斥事件至少有一个发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．
解：记“甲从第一小组的10张票中任抽１张，抽到足球票”为事件A，“乙从第二小组的10张票中任抽１张，抽到足球票”为事件B，则“甲从第一小组的10张票中任抽１张，抽到排球票”为事件，“乙从第二小组的10张票中任抽１张，抽到排球票”为事件，
…2分
于是 ，；，．
由于甲（或乙）是否抽到足球票，对乙（或甲）是否抽到足球票没有影响，因此A与B是相互独立事件． …6分
（Ⅰ）甲、乙两人都抽到足球票就是事件A·B发生，根据相互独立事件的概率乘法公式，得到
P（A·B）＝P（A）·P（B）＝＝．
答：两人都抽到足球票的概率是． …9分
（Ⅱ）甲、乙两人均未抽到足球票（事件·发生）的概率为：
P（·）＝P（）·P（）＝＝．
∴ 两人中至少有1人抽到足球票的概率为：
P＝1－P（·）＝1－＝．
答：两人中至少有1人抽到足球票的概率是． …12分

y
z
x
C1
D1
C
A1
B1
A
B
D
E
F
（18）本小题主要考查空间线面关系和空间距离的概念，考查空间想象能力、运算能力和逻辑推理能力．满分12分．
解法一：（Ⅰ）以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立如图的空间直角坐标系，则
D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），
C（0，2，0），D1（0，0，5），E（0，0，1），
F（2，2，4）． …2分
∴＝（－2，2，0），＝（0，2，4），
＝（－2，－2，1），＝（－2，0，1）．…4分
∵·＝0，·＝0，
从而AC，AF，且，
∴平面． …6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，为平面的一个法向量，
∴ 向量在上的射影长即为E到平面的距离，设为． …8分
于是 ＝＝，
故点E到平面ACF的距离为． …12分
G
C1
D1
C
A1
B1
A
B
D
E
F
解法二：（Ⅰ）连BD，在正四棱柱中，AC⊥BD，
根据三垂线定理得
AC⊥BE．①…2分
过E作EG∥DC交CC1于G，连BG，
∵tan∠GBC＝＝，tan∠CFB＝＝＝，
且∠GBC和∠CFB都为锐角，
∴∠GBC＝∠CFB．
∵∠GBC＋∠FCB＝∠CFB＋∠FCB＝900，
∴CF⊥BG， …4分
又CF⊥EG，且，
∴CF⊥平面BEG．
∵BE平面BEG，　∴CF⊥BE ． ②
由①、②可知，平面．　　　　　　　　　　　　　　　　　…６分
（Ⅱ）BE＝＝＝3． …8分
先求出点B到平面ACF的距离h．
由 得 ． …10分
在△ACF中，AC＝2，AF＝CF＝2，
∴＝6，又FB＝4，＝2．
∴＝．

故点E到平面的距离为3－＝． …12分
（19）本小题主要考查三角函数的图象与性质等基础知识，
考查运算能力和逻辑推理能力．满分12分．
解：（Ⅰ）由图可知 A＝300，
设t1＝－，t2＝，
则周期T＝2（t2－t1）＝2（＋）＝．
∴ω＝＝150π． …4分
又当t＝时，I＝0，即sin（150π·＋）＝0，
而， ∴＝．
故所求的解析式为． …8分
（Ⅱ）依题意，周期T≤，即≤，（ω>0）
∴ω≥300π＞942，又ω∈N*，
故最小正整数ω＝943． …12分
（20）本小题主要考查数列与极限等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力．满分12分．
（Ⅰ）解法一：在2Sn＝（n＋2）an－1中，
令n＝1，得2 a1＝3 a1－1，求得a1＝1，
令n＝2，得2（a1＋a2）＝4a2－1，求得a2＝；
令n＝3，得2（a1＋a2＋a3）＝5 a3－1，求得a3＝2；
令n＝4，得2（a1＋a2＋a3＋a4）＝6 a4－1，求得a4＝．
由此猜想：an＝． …3分
下面用数学归纳法证明．
（1）当n＝1时，a1＝＝1，命题成立．
（2）假设当n＝k时，命题成立，即ak＝，且2Sk＝（k＋2）ak－1，
则由2Sk＋1＝（k＋3）ak＋1－1及Sk＋1＝ Sk＋ak＋1，
得（k＋3）ak＋1－1＝2Sk＋2ak＋1，即（k＋3）ak＋1－1＝[（k＋2）ak－1]＋2ak＋1．
则ak＋1＝＝，
这说明当n＝k＋1时命题也成立．
根据（1）、（2）可知，对一切n∈N*命题均成立． …6分
解法二：在2Sn＝（n＋2）an－1中，令n＝1，求得a1＝1．
∵ 2Sn＝（n＋2）an－1，
∴ 2Sn－1＝（n＋1）an－1－1．
当n≥2时，两式相减得：2（Sn－Sn－1）＝（n＋2）an－（n＋1）an－1，
即 2 an＝（n＋2）an－（n＋1）an－1，
整理得，． …3分
∴＝··…···
＝··…···1
＝．
当n＝1时， ＝，满足上式，
∴＝. …6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知＝，
则＝＝2（－）． …9分
∴
＝2[（－）＋（－）＋（－）＋……＋（－）＋（－）]
＝2（＋－－）．
∴＝． …12分
（21）本小题主要考查函数、不等式、导数等有关知识，考查运用所学知识分析和解决问题的能力．满分12分．
（Ⅰ）解：函数的定义域为．
＝－1＝－…2分
由＜0及x＞－1，得x＞0．
∴ 当x∈（0，＋∞）时，是减函数，
即的单调递减区间为（0，＋∞）． …4分
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，当x∈（－1，0）时，＞0，当x∈（0，＋∞）时，＜0，
因此，当时，≤，即≤0．
∴． …6分
令，
则＝． …8分
∴ 当x∈（－1，0）时，＜0，当x∈（0，＋∞）时，＞0． …10分
∴ 当时，≥，即 ≥0，
∴．
综上可知，当时，有． …12分
（22）本小题主要考查平面向量、线段的定比分点、平移、直线与椭圆的关系等有关知识，考查综合运用所学知识分析和解决问题的能力．满分14分．
（Ⅰ）解：设P（x，y）为曲线C上任意一点，它在曲线上的对应点为（，），
依题意　　即…2分
代入曲线中，得
．
整理得 ．
∴ 曲线C的方程为． …4分
（Ⅱ）解法一：（1）当直线l的斜率不存在时，显然有M（0，1），N（0，－1），此时λ＝． …6分
（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：．
将直线l的方程代入椭圆C中并整理得：． （*）
由于直线l与椭圆有两个不同的交点，则△＝64k2－24（2k2＋1）＞0，得k2＞． …8分
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1、x2为方程（*）的两相异实根，
于是 ，
∵＝λ，∴x1＝λ（x2－x1），则，进而．
…10分
另一方面＝－2＝－2，
而 k2＞，得 4＜＜，即， …12分
亦即 ，
又λ＞0，故解得 λ＞．
综合（1）、（2）得，λ的取值范围为[，＋∞． …14分
解法二：设M（x1，y1），N（x2，y2），根据线段的定比分点公式得，
，． …6分
由于点M、N在椭圆上，
∴，即＋2＝2． …8分
整理得 ．
∵，∴．
即． …11分
∵－1≤y2≤1，∴ －1≤≤1，又λ＞0，故解得 λ≥．
故λ的取值范围为[，＋∞． …14分
解法三：设曲线C上任一点P（，），
则|PD|＝＝． …8分
当＝1，即点P为椭圆短轴上端点B（0，1）时，|PD|min＝1，
当＝－1，即点P为椭圆短轴下端点A（0，－1）时，|PD|max＝3， …10分
∴ |DM|≥|DB|＝1，|DN|≤|DA|＝3，
从而|MN|＝|DN|－|DM|≤2． …12分
∴λ＝≥（等号当且仅当B与M重合时成立）．
又∵λ＞0，
故λ的取值范围为[，＋∞． …14分