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函数的概念
一：定义：
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应， 那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作 y=f(x)，x∈A. 其中，x叫做自变量，与x值相对应的y值叫做函数值.
例题：
1、下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（　　）
A、 B、 C、 D、
二、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
例1 设是一次函数，且，求
解：设 ，则

二、配方法：
例2 已知 ，求 的解析式
解：，
三、换元法：已知复合函数的表达式时，还可以用换元法求的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
例3 已知，求
解：令，则，

四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。
例4已知：函数的图象关于点对称，求的解析式
解：设为上任一点，且为关于点的对称点
则，解得： ，
点在上

把代入得：

整理得

五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。
例5 设求
解 ①
显然将换成，得：
②
解① ②联立的方程组，得：

例6 设为偶函数，为奇函数，又试求的解析式
解 为偶函数，为奇函数，
又 ① ，
用替换得：
即②
解① ②联立的方程组，得
，
六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。
例7 已知：，对于任意实数x、y，等式恒成立，求
解对于任意实数x、y，等式恒成立，
不妨令，则有
再令 得函数解析式为：
七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。
例8 设是定义在上的函数，满足，对任意的自然数 都有，求
解 ，
不妨令，得：，
又 ①
分别令①式中的 得：

将上述各式相加得：，

复合函数的定义
一般地：若，又，且值域与定义域的交集不空，则函数叫的复合函数，其中叫外层函数，叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数.
例如: ； 复合函数即把里面的换成，
例1. 已知的定义域为，求函数的定义域；
解：由题意得

所以函数的定义域为.
练1. 已知的定义域为，求定义域。
解 因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中，即

即或
故的定义域为
例2. 若函数的定义域为，求函数的定义域
解:由题意得

所以函数的定义域为：
例3. 已知的定义域为，求的定义域。
解 由的定义域为得，故
即得定义域为，从而得到，所以
故得函数的定义域为
例4. 已知函数定义域为是，且,求函数的定义域
解: ，
，又
要使函数的定义域为非空集合，必须且只需，即，这时函数的定义域为
函数的值域的求法
& 常用求值域方法
直接观察法：利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域
对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,
其值域可通过观察直接得到。
例1、求函数的值域。
例2、 求函数的值域。
答案：值域是：
例3、函数的值域.
解：
配方法：二次函数或可转化为形如类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意的范围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例1、求函数的值域。
例2、求函数的值域。
解：将函数配方得： ∵
由二次函数的性质可知：当x=1时，，当时，
故函数的值域是：[4，8]
换元法：（三角换元法）有时候为了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个（几个）新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题方向，这就是换元法．在求值域时，我们可以通过换元将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域．
例1、求的值域．
解：令，则，
，
所以函数值域为．
例2、求函数的值域。
解：由，得。令
得，于是，因为，所以。故所求函数值域为[-∞，]。
例3、求函数的值域.
数形结合法。

例1、 求函数的值域．
分析：求分段函数的值域可作出它的图象，则其函数值的整体变化情况就一目了然了，从而可以快速地求出其值域．
解：作图象如图所示．
，，，，
函数的最大值、最小值分别为和，即函数的值域为．
例2、 求函数的值域.

解：原函数可化简得：
上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），间的距离之和。
由上图可知，当点P在线段AB上时，
当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，
故所求函数的值域为：
1、求函数的值域.
2、求函数的值域.
均值不等式法：
例1、求函数的值域
解：原函数可化为
当且仅当时取等号，故值域为
例3、 求函数的值域。
解：令，则
（1）当时，，当且仅当t=1，即时取等号，所以
（2）当t=0时，y=0。
综上所述，函数的值域为：
注：先换元，后用不等式法
根判别式法：对于形如（，不同时为）的函数常采用此法，就是把函数转化成关于的一元二次方程（二次项系数不为时），通过方程有实数根，从而根的判别式大于等于零，求得原函数的值域．
对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简
例1、求函数的值域．
解：原函数化为关于的一元二次方程．
（1）当时，，，解得；
（2）当时，，而．
故函数的值域为．
1、 求函数的值域.
分离常数法：例1、求函数的值域．
解：．
，，，，
．
函数的值域为．
求的值域.
解：（利用部分分式法）由 ，可得值域
小结：已知分式函数，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为；
如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为，用复合函数法来求值域。
倒数法
有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况
例1、求函数的值域.

多种方法综合运用
总之，在具体求某个函数的值域时，
首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，
一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。
【例题综合分析】
例1、求下列函数的值域：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）；
（7）； （8）； （9）
解：
（1）法一：公式法（略）
法二：（配方法），
∴的值域为．
【拓展】求函数，的值域．
解：（利用函数的单调性）函数在上单调增，
∴当时，原函数有最小值为；当时，原函数有最大值为．
∴函数，的值域为．
（2）求复合函数的值域：设（），则原函数可化为．
又∵，∴，故，
∴的值域为．
（3）（法一）反函数法：的反函数为，其定义域为，
∴原函数的值域为．
（法二）分离变量法：，
∵，∴，
∴函数的值域为．
（4）换元法（代数换元法）：设，则，
∴原函数可化为，∴，
∴原函数值域为．
说明：总结型值域，变形：或
（5）三角换元法：∵，∴设，
则
∵，∴，∴，
∴，
∴原函数的值域为．
（6）数形结合法：，∴，
∴函数值域为．
（7）判别式法：∵恒成立，∴函数的定义域为．
由得： ①
①当即时，①即，∴
②当即时，∵时方程恒有实根，
∴，∴且，
∴原函数的值域为．
（8），
∵，∴，∴，当且仅当时，即时等号成立．∴，∴原函数的值域为．
（9）（法一）方程法（函数有界性）：原函数可化为：，
∴（其中），
∴，∴，∴，∴，
∴原函数的值域为．
（法二）数形结合法：可看作求点与圆上的点的连线的斜率的范围，解略．
例2、若关于的方程有实数根，求实数的取值范围．（综合）
解：原方程可化为，
令，则，，又∵在区间上是减函数，
∴，即，
故实数的取值范围为：．

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