资源描述
复 数
1．复数的有关概念
（1）复数的概念
复数的实部和虚部、纯虚数、复数相等、共轭复数、复数的模
2．复数的四则运算
3。常见结论
(1）任意两个复数全是实数时能比较大小，其他情况不能比较大小．
（2)i4n＝1，i4n＋1＝i,i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i,in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0
考向一 复数的有关概念
例1、设i是虚数单位,复数为纯虚数，则实数a为( )．
A．2 B．－2 C．－ D。
变式训练1、已知a∈R，复数z1＝2＋ai，z2＝1－2i，若为纯虚数，则复数的虚部为________．
考向二 复数的几何意义
例2、在复平面内,复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A,B,若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是（ )．
A．4＋8i B．8＋2i C．2＋4i D．4＋i
变式训练2、复数＋i2 012对应的点位于复平面内的第________象限．
解析 ＋i2 012＝i＋1。故对应的点（1，1）位于复平面内第一象限．答案 一
考向三 复数的运算
例3、复数z1满足(z1－2）(1＋i）＝1－i，复数z2虚部为2，且z1·z2是实数,求z2
变式训练3、i为虚数单位，则2013＝（ )．
A．－i B．－1 C．i D．1
本节重难点-—复数的几何意义与复数方程
一、复数的几何意义的理解可以从以下两个方面着手：
（1）复数z＝a＋bi（a，b∈R)的模｜z|＝,实际上就是指复平面上的点Z到原点O的距离；|z1－z2|的几何意义是复平面上的点Z1、Z2两点间的距离．
（2）复数z、复平面上的点Z及向量 相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R）⇔Z（a，b）⇔.
典型例题
总结：即复数的加减法对应着向量的加减，
2、设向量a、b分别表示复数，若a＝b，则复数的关系如何？
总结：相等的向量表示同一个复数.
3、已知复数z满足2≤｜z＋i｜≤4，试说明复数z在复平面内所对应的点的轨迹．
总结：|z|＝1，｜z|＜1，则复数z对应复平面内的点的轨迹分别是单位圆，单位圆内部。
5.满足条件的复数在复平面上的对应点的轨迹是 。
6、若复数z满足｜z＋2｜＋｜z－2｜＝8,求|z＋2｜的最大值和最小值．
7、 已知复数对应的点在直线x－2y＋1＝0上,求实数m的值.
8、已知复数z满足，求复数z对应复平面内的点P的轨迹.
二、复数方程
1、
注：
（只有实系数一元n次方程的虚根才成对共轭）
3、满足韦达定理（根与系数关系)
2、
当b2—4ac≥0时，方程的解都是实数吗?（如:求方程x2-2ix-5=0的解）
2、复系数一元二次方程虚根不一定成对，成对也不一定共轭。
3、满足韦达定理（根与系数关系），求根公式
3、方程有实根或纯虚根的综合问题
例2、已知是方程（）的一个根,求的值。
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1．复数（i是虚数单位)的实部是（ )．
A。 B．－ C．－i D．－
2、设i是虚数单位，复数＝( ）．
A．2－i B．2＋i C．－1－2i D．－1＋2i
3．若a，b∈R，i为虚数单位，且（a＋i)i＝b＋i，则（ )．
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
4．设复数z满足(1＋i）z＝2,其中i为虚数单位,则z＝（ )．
A．2－2i B．2＋2i C．1－i D．1＋i
5．i2(1＋i）的实部是________．
6、已知复数z＝,则|z|＝（ ）．
A. B. C．1 D．2
7、复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为（ )．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
考向一 复数的有关概念
例1、设i是虚数单位，复数为纯虚数,则实数a为（ ）．
A．2 B．－2 C．－ D。
［审题视点] 利用纯虚数的概念可求．
解析 ＝＝＋i,
由纯虚数的概念知：＝0,≠0，∴a＝2.答案 A
复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部、虚部满足的方程即可．
变式训练1、已知a∈R，复数z1＝2＋ai,z2＝1－2i，若为纯虚数，则复数的虚部为________．
解析 ＝＝＝＋i，
∵为纯虚数，∴＝0，≠0，∴a＝1。故的虚部为1.答案 1
考向二 复数的几何意义
例2、在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B，若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是（ )．
A．4＋8i B．8＋2i C．2＋4i D．4＋i
［审题视点] 利用中点坐标公式可求．
解析 复数6＋5i对应的点为A（6，5)，复数－2＋3i对应的点为B（－2，3)．利用中点坐标公式得线段AB的中点C（2,4），故点C对应的复数为2＋4i.答案 C
复数的几何意义可以让我们运用数形结合思想把复数、向量、解析几何有机的结合在一起，能够更加灵活的解决问题．高考中对复数几何意义的考查主要集中在复数对应点的位置、加减法的几何意义、模的意义等．
变式训练2、复数＋i2 012对应的点位于复平面内的第________象限．
解析 ＋i2 012＝i＋1。故对应的点(1，1)位于复平面内第一象限．答案 一
考向三 复数的运算
例3、复数z1满足（z1－2）（1＋i)＝1－i，复数z2虚部为2,且z1·z2是实数，求z2
［审题视点] 利用复数乘除运算求z1，再设z2＝a＋2i（a∈R),利用z1·z2是实数，求a.
解 由(z1－2)(1＋i）＝1－i,得z1－2＝＝－i，
∴z1＝2－i.
设z2＝a＋2i（a∈R），
∴z1·z2＝(2－i)(a＋2i）＝(2a＋2）＋（4－a）i.
∵z1·z2∈R.∴a＝4.∴z2＝4＋2i.
复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,注意要把i的幂写成最简形式．
变式训练3、i为虚数单位，则2013＝（ ）．
A．－i B．－1 C．i D．1
解析 因为＝＝i，所以原式＝i2011＝i4×502＋3＝i3＝－i。
答案 A
本节重难点—-复数的几何意义与复数方程
一、复数的几何意义的理解可以从以下两个方面着手：
（1）复数z＝a＋bi（a,b∈R)的模｜z｜＝，实际上就是指复平面上的点Z到原点O的距离；|z1－z2｜的几何意义是复平面上的点Z1、Z2两点间的距离．
(2）复数z、复平面上的点Z及向量 相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔.
典型例题
总结：即复数的加减法对应着向量的加减，
2、设向量a、b分别表示复数，若a＝b，则复数的关系如何?
总结：相等的向量表示同一个复数.
3、已知复数z满足2≤｜z＋i|≤4,试说明复数z在复平面内所对应的点的轨迹．
总结：｜z|＝1，|z｜＜1,则复数z对应复平面内的点的轨迹分别是单位圆，单位圆内部.
5。满足条件的复数在复平面上的对应点的轨迹是 .
6、若复数z满足|z＋2｜＋｜z－2｜＝8，求|z＋2|的最大值和最小值．
7、 已知复数对应的点在直线x－2y＋1＝0上，求实数m的值。
8、已知复数z满足，求复数z对应复平面内的点P的轨迹.
2、相等
3、【解析】因为｜z＋i|的几何意义是动点Z到定点－i的距离,所以满足2≤｜z＋i｜≤4的动点Z的轨迹是以－i为圆心，2为半径的圆外(含边界)和以－i为圆心,4为半径的圆内(含边界）之间的圆环（含边界)，
4、
（1）|z|表示圆上动点M到原点的距离，
所以｜z|max＝3，|z|min＝1.
5、【解析】在复平面内满足｜z＋2｜＋|z－2｜＝8的复数z对应的点的轨迹是以点（－2，0)和(2，0)为焦点，8为长轴长的椭圆．|z＋2|表示椭圆上的点到焦点（－2,0)的距离．椭圆长轴上的两个顶点到焦点的距离分别是最大值和最小值．因此，当z＝4时，|z＋2｜有最大值6；当z＝－4时 ，|z＋2｜有最小值2。
此题若令z＝x＋yi，问题的条件和结论都是较复杂的式子，不好处理．从复数的加、减法的几何意义去理解，则是一道简单的几何问题．
6、
方法2:(不等式法）
因为｜｜z|2－2｜≤|z2－2|≤|z｜2＋2,
把|z|＝1代入，得1≤|z2－2｜≤3,
故|u|min＝1，|u｜max＝3.
8、（以点(1，0）为圆心，2为半径的圆）
9、（。［1，3] )
10.解答：设且x〈0,y>0.
由②知：
得 且x<0
由得
∴—3≤x≤3，又x<0 ∴x∈[—3，0） ∴ a∈［—6,0)
11.解答：(1)由复数的定义 得x=3，a=3,∴b=3
故a=3，b=3
(2）设z=x+yi（x，y∈R），由上知a=3，b=3,则｜x+yi-3—3i｜-2｜x+yi｜=0,即
化简得
,即
|z｜的几何意义是(x，y）到原点的距离,数形结合知
，此时，z=x-yi
12、以（0,1)为圆心，以5为半径的圆
解析一：设z=x+yi(x，y∈R），由已知∣z-i∣=∣3+4i∣，得
即.
解析二：
复数与复数两点间的距离为常数5,根据圆的定义，复数的轨迹是以（0,1)为圆心,5为半径的圆。
二、复数方程
1、
注:
（只有实系数一元n次方程的虚根才成对共轭）
3、满足韦达定理（根与系数关系）
2、
当b2—4ac≥0时，方程的解都是实数吗？(如：求方程x2—2ix—5=0的解）
2、复系数一元二次方程虚根不一定成对，成对也不一定共轭.
3、满足韦达定理（根与系数关系）,求根公式
3、方程有实根或纯虚根的综合问题
例2、已知是方程（）的一个根,求的值。
复数方程知识及解法
典型例题
三、方程有实根或纯虚根的综合问题
例2、设是实系数一元二次方程两个虚根，且，求m
答：（利用）
课堂效果检测
双基自测
1．复数（i是虚数单位)的实部是（ ）．
A. B．－ C．－i D．－
解析 －＝－＝＝－－i。答案 D
2、设i是虚数单位，复数＝（ )．
A．2－i B．2＋i C．－1－2i D．－1＋2i
解析 ＝（1－3i）(1＋i）＝（4－2i）＝2－i.
答案 A
3．若a，b∈R,i为虚数单位，且（a＋i)i＝b＋i,则( )．
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1,b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
解析 由(a＋i)i＝b＋i，得：－1＋ai＝b＋i,根据复数相等得：a＝1，b＝－1.
答案 C
4．设复数z满足(1＋i)z＝2，其中i为虚数单位,则z＝（ )．
A．2－2i B．2＋2i C．1－i D．1＋i
解析 z＝＝＝＝1－i.答案 C
5．i2(1＋i)的实部是________．
解析 i2（1＋i)＝－1－i。
答案 －1
6、已知复数z＝，则|z｜＝( ）．
A. B. C．1 D．2
7、复数z＝（i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
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