实数与实函数.doc

第一讲实数与实函数
1 . 1 实数与实函数的基本概念
一．实数
实数包括有理数和无理数．有理数，就是能够表示成形式的数，其中 p 是整数， q是不为零的整数．如果用小数表示，有理数都可以表示成有限小数，或无限循环小数．无理数，就是不能表示成形式的数，也就是无限不循环的小数．如果将有限小数也表示成无限小数，例如：数 1 可表示为 1=1.000… ；也可以表示为 l=0.999… （注：这是实无限的观点），为唯一性起见，数学上作了一个约定，就是不以零为循环节．数 1 约定的表示为l=0.999…，因此，实数就是一个可以用无限小数表示的数．
二、实数的性质
1 ．实数集合 R 是一个阿基米德有序域
( 1 ）在实数集合 R 上定义加法“ + ”和乘法“× ”两种运算，对两种运算分别满足交换律、结合律，以及乘法关于加法的分配律；对加法，有“零元”和“负元”；对乘法有“单位元”和“逆元” ; R 成为一个“域”.
( 2 ）在集合 R 上定义了一种序关系“ < " ，且满足传递性：即对 ，若 a < b , b < c ,则 a ＜c；三歧性：即对 ，关系 a < b , a =b , a > b 三者必居其一,也只居其一 R 是一个全序集．
( 3 ) R 中的元素满足阿基米德性：对 R 中的任意两个正数 a , b ，必存在自然数 n ，使得 na ＞b.
2 ．实数集合 R 是一个完备集
定义1.1（距离空间）设 X 是一个集合，定义映射，满足
( 1 ）非负性：对
( 2 ）对称性： ；
( 3 ）三角不等式：;
则称是点集 X 上的一个距离．如果 X 是一个线性空间，称是一个距离空间 。
在实数集 R 上定义距离（可以验证满足定义中的三条），则是一个距离空间．
定义 1 . 2 设是距离空间中的点列，若对，当 m , n > N 时，恒有，则称是 X 中的柯西列．
定义 1 . 3 若距离空间 X 中的任意柯西列都在 X 中收敛，则称 X 是完备的距离空间．
由柯西收敛准则很容易知道，作为距离空间的实数集 R 是完备的．有 6 个刻划实数集 R 完备性的且彼此等价的定理，它们分别是
( 1 ）确界原理：设 S 是非空数集．若 5 有上界．则 S 必有上确界；若 S 有下界，则 S 必有下确界．
( 2 ）单调有界原理：单调有界点列（函数）必存在极限．
( 3 ）区间套定理：若是一个区间套，则存在唯一的实数，使得 …，即 …。
( 4 ）有限覆盖定理：设 H 是对闭区间巨，习的一个任意开覆盖，则从 H 中可选出有限个开区间来覆盖
( 5 ）聚点定理：实轴上的任一有界无限点集 S 至少有一个聚点．
推论（致密性定理）：有界点列必有收敛子列．
( 6 ）柯西收敛准则：数列收敛的充要条件是数列是柯西列．
关于上述六个定理的等价性证明可参考文献．
三、关于实数点集的一些重要概念
1 ．有界点集
S 是一实数点集，若使对恒有，则称 S 是有界点集．
2 ．无界点集
S 是一实数点集．若对，使得，则称 S 是无界点集．
3 ．有界函数
f ( x ）是定义在点集 I 上的函数，若使对 恒有，则称f ( x ）在I上有界．
4 ．无界函数
f ( x ）是定义在点集 I 上的函数，若对 ，使得 ．则称 f ( x ）在 I 上无界、
例 1 . 1 证明函数在上无界
证明：对 ， 使得故在（ 0 , 1 ）上无界。
5 ．上确界
设 E 为一个实数点集， a为一是实常数，若满足： ① 对 ，恒有（即为 E 的上界）； ② 对，存在 ，使得。（即是 E 的最小的上界），则称为 E 的上确界，记作
6 ．下确界
设 E 为一个实数点集，为一是实常数，若满足： ① 对，恒有(即为E 的下界）； ② 对，存在两，使得（即是 E 的最大的下界），则称为 E 的下确界，记作．
注：点集 E 的上确界或下确界可以属于 E ，也可以不属于E
命题（ 1 ) ，则．
( 2 ），则.
证明显然，请读者自证．
例 1 . 2 设A、B皆为非空有界集，定义数集

证明： ( 1 ) sup ( A + B ) = supA + SupB ;
( 2 ) inf ( A + B ）= InfA + infB .
证明： ( 1 ）由已知， A 、 B 非空有界，可知 A +B 也是非空有界集．根据确界原理，它们的上、下确界都存在．对 ，由定义,存在 及使得

即实数 supA 十 supB 是数集 A +B 的上界；又对，，使得
，
记则：．由定义可得
sup ( A + B ）= SupA + supB
( 2 ）证明与（ 1 ）类似，从略．
例 1 . 3 设 f 在区间 I 上有界．记

证明：
证明：对，有

则
又对，使得

可得

由式，式可知

7.聚点
定义 1 . 4 （点集的聚点）：设 E 是一个点集，是一个点，若在的任意邻域内都含有 E 的无穷多个点，则称为点集 E 的聚点．
命题 设 E 是一个点集，是一个点，下列说法等价：
( 1 ）为点集 E 的聚点．
( 2 ）在的任意邻域内都含有 E 的异于的一个点．
( 3 ）在 E 中存在互异的点列使得
证明： (1）（2 ) ．显然．
(2) (3) ．取 ，在）内，，取，在内，一般地，取在内，， 显然E ，且是互异的，同时显然有
( 3 ) ( 1 ) ．对 ， ，当 n > N 时，．注意到，即为点集 E 的聚点．
注： ( 1 ）从定义可知，有限点集必无聚点．
( 2 ）点集 E 的聚点可以属于 E ，也可以不属于 E ．例如，设 A 是开区间（ 0 , 1 ）中的所有有理点所构成的集合，则闭区间中的所有点都是 A 的聚点
定义 1 . 5 （点列的聚点）：设是一个点列，是一个点，若在的任意邻域内都含有的无穷多项，则称为点列的聚点．
注意：点集的聚点与点列的聚点不同，例如=作为点列，它有两个聚点：-1 和1 ，但是如果把它们看做点集，则它是一个仅含有两个元素的集合，无聚点．
把点列的最大（小）聚点，叫做点列的上（下）极限，分别记作和 ．
8.覆盖
设是一个开区间集，其中是一个指标集，是开区间．设 I 是一个点集，如果对 ，总存在 ，使得，称 H 覆盖了 ，或称 H 是 I 的一个开覆盖．如果 H 是有限集而覆盖了 I ，则称 H 是 I 的一个有限开覆盖；如果 H 是一个无限集合而覆盖了 I ，则称 H 是 I 的一个无限开覆盖．
前面提到的有限覆盖定理，是一个十分重要的定理．它可以推广到一般的距离空间上去，这里就不多说了．
例 1 . 4 是单调数列，证明：若存在聚点，则必是唯一的，且是的确界．
证明：不妨设是单调递增数列．假设 A , B 都是它的一个聚点，且不等．不妨设，由聚点的定义，取，在，含有的无穷多项，假设，则，又根据是单调递增的，当时，，即在 U内至多含有的有限项，与 B 是聚点矛盾．
再证：首先证明对事实上，假设有某一项＞ A ，插人，使．由的单增性，当时， ．此与 A 为聚点矛盾．与唯一性的证明类似，可以证明 A 必是最小的上界，即 .
注：此题可有一个推论：若是单调数列，且有聚点，则必收敛．若是单调增，则；若是单调减的，则.
四、实函数
( 1 ）要理解函数的定义，一定要搞清楚映射的定义，而一元实函数实际上就是一个从实数集到实数集的映射，这里不去赘述．确定一个函数的基本要素是定义域和对应法则，当然函数的值域也是函数的要素之一，但它是随定义域与对应法则而定的．
( 2 ）函数的运算包括： ① 四则运算； ② 复合运算； ③ 极限运算； ④ 微分运算； ⑤ 积分运算； ⑥ 取大（小）运算等．这里需要特别强调的是，要注意它们的定义域，使得上述运算有意义．
( 3 ）几种具有特性的函数： ① 有界函数（上节已给出定义）； ② 单调函数； ③ 奇、偶函数； ④ 周期函数．这些函数的基本概念不再赘述．
( 4 ）初等函数与非初等函数．
①六类基本初等函数：常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数．
② 初等函数：由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数，统称为初等函数．
③ 非初等函数：不是初等函数的函数，称为非初等函数．
一般的分段函数，都是非初等函数，例如符号函数 就是非初等函数，但是分段函数可以看做初等函数，因为是两个幂函数的复合
下面几个非初等函数都很重要：
狄利克雷（ Dirichlet ）函数。
黎曼（Riemann）函数
取整函数[x]：不超过x 的最大整数．
勒让德（Legendre）多项式
它们的一些性质，将在后面详细讨论．
有些函数乍一看好像不是初等函数，例如了（ x > 0 ) ，把它叫做幂指函数，利用对数恒等式，是由一些基本初等函数复合而成的，所以它也是初等函数．
1 . 2 实数与实函数的典型问题讨论
例 1 . 5 设函数在月有定义，且在每一点处的极限存在，证明了在[a,b]上有界．
证法 1：对，因存在，由局部有界性，及，使得当时，恒有．当 x 跑遍，在每一点 x 处都具备上述性质．令 H=，则 H 是的一个开覆盖，据有限覆盖定理，必存在有限的子覆盖．即存在上的有限个点，不妨设为这个点就有昌注意到对每个都存在相应的，使当时，恒有．记，则对恒有 ，即函数在上有界．
证法 2 : （反证法）假设在[a,b]上无界，则对，，使得让M=1,2,…，N，…，则相应地，使得．因为有界数列，据聚点定理，必有收敛子列，即存在子列，使· 由已知，在 点的极限存在，记，由归结原则，应有 ，但是由的取法可知，矛盾，即在上有界．
例 1 . 6 试用有限覆盖定理证明聚点定理．
证明：设 S 是一个有界无穷点集．下面用有限覆盖定理证它必有聚点．因 S 有界，必有一个闭区间 对， ，由有限覆盖定理，必有有限的子覆盖，即存在有限个点，使．又因 S 是无穷点集，在这 k 个点中，至少有一个点一邻域内含有 S 的无穷多个点，若记该点为，则就是 S 的聚点．
例 1 . 7 讨论狄利克雷函数的周期性．
解：狄利克雷函数以任意有理数为周期的周期函数，因为没有最小的正有理数，所以它没有基本周期．事实上，任取一个有理r，，当 x 是有理数时， r + x 还是有理数；当 x 是无理数时， r +x是无理数，因此

例 1 . 8 证明定义在对称区间上的任何函数都可以唯一地表示成一个偶函数与一个奇函数之和．
证明：令

则，且容易验证 , 是偶函数； , 是奇函数．
下面证明唯一性．假设还存在偶函数和奇函数，使得，则有

用代得，即

将式、式相加，得，再由式可得，，唯一性得证．
例 1 . 9 设 .
解： ，而 时， ; 时，） 故有

例 1 . 10 设 f 和 g 为区间（ a , b ）上的增函数，证明：
；都是上的增函数．
证明：任取且，由于 f , g 在上单调递增，所以有

即有

即在（ a , b ）上单调递增．的单调性证法类似，从略．
例 1 . 11 函数在月上无界，求证存在一点，使对任意的，在上无界．
证法 l （反证法）：假设结论不成立，即对，，使在上有界，即存在常数，使当时，有。让c跑遍，这样每一点的相应的邻域就构成的一个开覆盖，由有限覆盖定理，存在有限个点：记为，它们的邻域之并就覆盖了．因为在每一个上都存在相应的，使得时，，令，则对，恒有，即在上有界．与已知矛盾．
证法 2 (直接证法)：由已知在上无界，将二等分，得两个子区间， 则至少在其中一个子区间上无界，把它记为再将二等分，选其中一个使得无界的那个子区间记为．将上述步骤一直进行下去，就得到一闭区间列 , 满足： ( 1 ）它是一个区间套，实因： ① ，②． ( 2 ) 在每个上都是无界的．由区间套定理：，且对，，当时，恒有由（ 2 ）知在其上无界．
例 1 . 12 举出一个函数的例子，它在上每一点都有定义，且取有限值，但是函数在上每一点的任意邻域内都是无界的．
解：令则显然 f 为定义在且每一点都取有限值的函数．下面证明它在上的每一点的任意邻域内都是无界的．事实上，对，，由有理数的稠密性，在邻域内总有有理点，不妨取，其中都是互质的正整数．对，总有某一个自然数 k ，使得有理数（因为）且注意到 r 的分子和分母是互质的，这时，即在内无界．
例 1 . 13 若数集 A 有上界，但无最大数，证明在 A 中必能找到严格单调增加的数列使得·
证明：根据确界原理，存在，记。由己知，由上确界的定义，对，使得，对，必存在，使得一般地，对存在，使得，易知这样选取的数列即满足要求 ·
例1.14 证明函数在上有界．
证明:因所以，存在，当时，恒有 ，又在上连续，从而有界，即存在，使当时，有，取，则对，恒有，即 f 在上有界．
例 1.15 设函数在上单调递增（未必连续），若,则必存在，使得．
证明：若了，则问题已经得证，不妨设．作直线，则点在 L 的上方，而点在 L 的下方．取考查点，若在 L 上，则问题得证；否则若在 L 的上方，就记若在 L 的下方，记，使得点与位于 L 的两侧．这个过程一直进行下去，若有某一步得到（即（）在 L 上），则问题得证，否则就得到一闭区间套，满足： ① ②③在 L 的上方，而在 L 的下方．由闭区间套定理，存在唯一的，一方面，由单增，且由于，单调函数在每一点的单侧极限存在，从而
另一方面，由 ③，故必有了.
习题 1. 1
1.设，证明：
( 1 ) ；
( 2 ) ；
2 ．设，求·
3 ．设 f , g 为 D 上的有界函数，证明：
( 1 ）,
( 2 ）
( 3 ）
( 4 ）·
4 ．证明函数在区间上无界．
5 ．证明关于取整函数有如下不等式：
( 1 ）当时，
( 2 ）当时，
6 ．设函数在上是奇函数，，且对任何 x 均有 ( 1 ）试用 a 表示 f ( 2 ）与 f ( 5 ) ;
( 2 ) a 为何值时 f 是以 2 为周期的周期函数．
7 ．试用确界原理证明：在闭区间上连续函数的介值定理和取最大（小）值定理．
8 ．试用有限覆盖定理或致密性定理证明：在闭区间上连续函数的有界性定理和一致连续性定理．
9 ．试用柯西收敛准则证明确界原理．