微分方程答案.doc

微 分 方 程
第一节 微分方程的基本概念
1.填空题
(1) 微分方程的阶是
(2) 若是微分方程的一个特解，则
， 3
2．写出下列问题所确定的微分方程
(1)已知曲线过点，其上任意一点处的切线的斜率为 ，求满足的微分方程.
(2000题531)
（2）由曲线上任意一点引法线，它在纵轴上截得的截距的长度等于该点到坐标原点的距离的2倍，求此曲线满足的微分方程.
(2000题531)
(3) 列车在水平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶; 当制动时列车获得加速度-0.4m/s2. 问开始制动后多少时间列车才能停住, 以及列车在这段时间里行驶了多少路程?
解 设列车在开始制动后t秒时行驶了s米. 根据题意, 反映制动阶段列车运动规律的函数s=s(t)应满足关系式
. (5)
此外, 未知函数s=s(t)还应满足下列条件:
t=0时, s=0, . (6)
把(5)式两端积分一次, 得
; (7)
再积分一次, 得
s=-0.2t2 +C1t +C2, (8)
这里C1, C2都是任意常数.
把条件t=0，v=20代入(7)得
20=C1;
把条件t=0，s=0代入(8)得
0=C2.
把C1, C2的值代入(7)及(8)式得
v=-0.4t +20, (9)
s=-0.2t2+20t. (10)
在(9)式中令v=0, 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间
(s).
再把t=50代入(10), 得到列车在制动阶段行驶的路程
s=-0.2´502+20´50=500(m).
第二节 可分离变量方程
1. 填空题
（1）微分方程满足条件的解是 .
【答案】 应填．
【详解】由，得．两边积分，得．
代入条件，得．所以．
(1) 微分方程 的通解为
(3) 微分方程的通解是
【分析】 本方程为可分离变量型，先分离变量，然后两边积分即可
【详解】 原方程等价为
，
两边积分得　，整理得
　　　　　　　.（）
2. 求解下列可分离变量的微分方程
(1)
解 分离变量得
两边积分得
故原方程的通解为
(2)
解 两边除以 ，并分离变量得

两边分别积分得方程的通解为
(3)
分离变量得

两边分别积分得微分方程的通解为

(4)
分离变量可得
两边积分求得的通解为 ，即有
.
第三节 齐 次 方 程
1.填空题
(1) 微分方程的通解是
(2)已知函数满足微分方程,且在时,,则时，
2.求解下列微分方程
(1)
解 令 ，则有
两边积分得
原方程的通解为
(2)
解 方程可化为
令 ，则有
分离变量解之得
原方程的通解为
(3)
解 另，则有
分离变量两端积分得
原方程的通解为
(4)
解 另 ，则方程化为
分离变量两端积分得
故原方程的通解为
第四节 一阶线性方程
1. 选择题
(1) 下列为一阶线性方程的是（ C ）
A． B.
C． D.
(2)*下列为伯努利方程的是( B)
A． B.
C. D.
2. 填空题
(1) 满足的特解为
(2) 微分方程满足的解为.
【分析】 直接套用一阶线性微分方程的通解公式：
，
再由初始条件确定任意常数即可.
【详解】 原方程等价为
，
于是通解为
=，
由得C=0，故所求解为
3.求解下列微分方程
(1)
解 方程改写为
由一阶线性微分方程通解公式，得

即方程的通解为
(2)
解 原方程可改写为
由一阶线性微分方程通解公式，

因此，方程的通解为
(3)
解 上方程变形为
由一阶线性微分方程通解公式，得

因此方程的通解为
第五节 可降阶的高阶微分方程
1. 填空题
(1) 微分方程的通
(2) 经过变换　　,可化为一阶微分方程　　　　
二、求解下列微分方程的通解
(1)
解　　对原方程两端连续两次积分得

(2)
　解　令，则原方程化为

由一阶线性方程的通解公式，得
　.
从而有

两端积分得到原微分方程的通解为
3、求下列微分方程的通解
(1) 【分析】 这是二阶的可降阶微分方程.
令(以为自变量),则
代入方程得 ,即(或,但其不满足初始条件).
分离变量得
积分得 即(对应);
由时得于是
积分得.
又由得所求特解为
(2)
解　令　故　，代入原方程化为

两边积分得

由初始条件解得,从而上式化简为

两边积分得，由初始条件，可解得，因此，原方程的通解为
　　　　　　　　第六节 高阶线性微分方程
１．选择题
(1). 若和是二阶齐次线性方程
的两个特解,则
(其中为任意常数) ( B )
　(A)是该方程的通解； (B)是该方程的解
(C)是该方程的特解 (D)不一定是该方程的解
(2)．设是方程 (*)的两个特解,则下列结论正确的是 ( D )
(A) 是(*)的解 (B) 是方程的解
(C) 是(*)的解 (D) 是方程的解
(3).设是的解,伟任意常数，则该方程的通解为( D )
(A) (B)
(C) (D)
(4) 下列函数组线性无关的是(D )
(A) (B)
(C) (D)
第七节 常系数齐次线性微分方程
1.填空题
(1)设与是方程的两个解,则

(2) 在下列微分方程中，以（为任意的常数）为通解的是【 】
(A) . (B) .
(C) . (D) .　
【答案】 应选(D).
【详解】由，可知其特征根为
，，故对应的特征值方程为

所以所求微分方程为．应选(D).
2.求解下列微分方程
(1)
解 原方程的特征方程为 ，特征根为
方程的通解为.
(2)
解 特征方程为 ，特征根为 ,
方程的通解为.
(3)
解 特征方程为 ，特征根为,
方程的通解为.
第八节 常系数非齐次线性微分方程
1.填空题
若二阶常系数线性齐次微分方程的通解为，则非齐次方程满足条件的解为 .
【答案】
【解析】由常系数线性齐次微分方程的通解为可知
，为其线性无关解.代入齐次方程，有

从而可见.
微分方程为
设特解代入，

特解

把 ， 代入，得
所求
2.选择题
(1)方程的一个特解形式是 (Ｃ ).
(A) ；
(B) ；
(C)
(D)
(2)微分方程的特解形式为 ( D )
(A) (B)
(C) (D)
3.求解下列微分方程
(1)
解：特征方程是　　特征根
对应齐次方程的通解是：
设原方程的特解为：，
则，
，
将其代入原方程待定系数得.
所以
故原方程的通解为
由解得
因此所求的特解是
(2)求微分方程满足条件的特解.
解：特征方程为：
特征根为：
对应齐次方程的通解是：
设原方程的特解为：，将其代入原方程待定系数得.
所以
故原方程的通解为
由解得
因此所求的特解是.
(3) 求微分方程的通解
【详解】齐次方程的特征方程为由此得对应齐次方程的通解为
设非齐次方程的特解为 代入原方程得从而所求解为

　　　　　综合题
1.填空题
(1)连续函数满足,则的非积分表达式为
(2)函数的图形上的点的切线为,且满足微分方程则此函数为
(3)微分方程满足的特解为
(4)微分方程的通解为
2.选择题
(1) 设是满足微分方程的解,并且,则( C ).
(A) 在的某个领域内单调增加  (B)在的某个领域内单调减少
(C) 在取得极小值 (D)在取得极大值
(2)微分方程使且在原点处有拐点，且在该点以轴为切线的积分曲线为( A )
(A) (B)
(C) (D)
3.求函数,使其满足
解 对原方程两端关于求导得

由一阶线性微分方程的通解公式为
，
又 故所求函数为 .
4. 求微分方程y¢¢+y=xcos2x的一个特解.
解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程,
且f(x)属于elx[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]型(其中l=0, w=2, Pl(x)=x, Pn(x)=0）.
与所给方程对应的齐次方程为
y¢¢+y=0,
它的特征方程为
r2+1=0.
由于这里l+iw=2i 不是特征方程的根, 所以应设特解为
y*=(ax+b)cos2x+(cx+d )sin2x.
把它代入所给方程, 得
(-3ax-3b+4c)cos2x-(3cx+3d+4a)sin2x=xcos2x.
比较两端同类项的系数, 得
,
解出, b=0, c=0,
于是求得一个特解为

5. 在过原点和点的单调光滑曲线上任取一点，作两坐标轴的平行线，其中一条平行线与轴及曲线围成的图形的面积是另一条平行线与轴及曲线围成面积的两倍,求此曲线方程.
解 设曲线方程为,在曲线上任取一点,则有
.
上式两端对求导得由此解出,由,解得故
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