普通高等学校招生全国统一考试江西理数.doc

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2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷)
数学（理科)
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页.全卷满分150分。考试时间120分钟。
考生注意：
1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘帖的条形码的“准考证号、姓名、考试科目"与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上答题,答案无效.
4。 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题。每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设集合M={1，2，zi}，i为虚数单位，N={3,4｝,M∩N=｛4｝，则复数z= （ )
A。 -2i B。 2i C. -4i D.4i
2.函数y=ln（1-x）的定义域为 （ ）
A。（0,1) B.［0，1） C。(0,1］ D。[0，1]
3.等比数列x，3x+3,6x+6，…的第四项等于 （ ）
A.-24 B.0 C。12 D。24
4.总体由编号为01，02，…,19，20的20个个体组成。利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 （ )
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4934 8200 3623 4869 6938 7481
A.08 B.07 C。02 D。01
5.（x2- ）5展开式中的常数项为 ( )
A．80 B.-80 C.40 D。—40

6.若,则s1,s2，s3的大小关系为
A. s1＜s2＜s3 B。 s2＜s1＜s3
C。 s2＜s3＜s1 D。 s3＜s2＜s1
7.阅读如下程序框图，如果输出i=5，那么在空白矩形框中应填入的语句为

A.S=2＊i-2 B.S=2*i-1
C。S=2*i D。S=2＊i+4
8.如果,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB//CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m+n=

A.8 B。9 C.10 D。11
9.过点（，0）引直线ι的曲 线O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线ι的斜率等于
A. B。— C。 D—
10.如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线ι1，ι2之间，ι//ι1，ι与半圆相交于F,G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点。
设弧的长为x（0＜x＜π)，y=EB+BC+CD，若ι从ι1平行移动到ι2，则函数y=f（x)的图像
大致是

第Ⅱ卷

注意事项:
第卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。若在试题卷上作答，答案无效.
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
11．函数y=sin2x+2sin2x的最小正周期T为_______。
12．设e1,e2为单位向量。且e1、e2的夹角为 ，若a=e1+3e2，b=2e1，则向量a在b方向上的射影为________。
13．设函数f（x）在（0,+∞）内可导，且f(ex）=x+ex,则f'(1）=__________。
14．抛物线x2=2py(p＞0）的焦点为F,其准线与双曲线 — =1相交于A，B两点,若△ABF为等边三角形，则p=___________.

三．选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做按其中一题评阅计分。本题共5分.
15（1)．(坐标系与参数方程选做题）设曲线C的参数方程为： (t为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴简历极坐标系,则曲线C的极坐标方程为_______。
(2）．（不等式选做题）在实数范围内，不等式|｜x-2|-1|的解集为___________.

四．解答题:本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分12分）
在△ABC中,角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（conA-sinA)cosB=0.
（1） 求角B的大小;
（2） 若a+c=1，求b的取值范围
17．(本小题满分12分)
正项数列{an｝的前n项和Sn满足：
（1） 求数列｛an｝的通项公式an;
（2） 令bn= ,数列{bn｝的前n项和为Tn．证明:对于任意n∈N＊，都有Tn＜.
18.（本小题满分12分）
小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队,游戏规则为:以0为起点，再从A1，A2,A3,A4，A5，A6，A7,A8(如图）这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X。若X=0就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队.

（1） 求小波参加学校合唱团的概率；
（2） 求X的分布列和数学期望。
19(本小题满分12分）
如图,四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD,E为BD的中点,G为PD的中点,△DAB △DCB，EA=EB=AB=1，PA=，连接CE并延长交AD于F

（1） 求证：AD⊥平面CFG;
（2） 求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值
20．（本小题满分13分）
如图，椭圆经过点P（1。 ）,离心率e=,直线l的方程为x=4.

（1） 求椭圆C的方程；
（2） AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2,k3。问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值;若不存在，说明理由
21。（本小题满分14分)
已知函数f（x)=a（1—2丨x- 丨）,a为常数且a＞0.
（1） 证明：函数f(x）的图像关于直线x=对称；
（2） 若x0满足f（f（x0））= x0,但f(x0)≠x0，则称x0为函数f（x）的二阶周期点，如果f（x）有两个二阶周期点x1，x2，试确定a的取值范围；
（3） 对于（2）中的x1,x2，和a,设x3为函数f（f（x））的最大值点,A（x1，f（f（x1)））,B（x2，f（f（x2）））,C（x3，0）,记△ABC的面积为S(a）,讨论S（a)的单调性。
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2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷)
理科数学参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分,共50分。
1。C 2.D 3。A 4。D 5。C 6.B 7。C 8。A 9。B 10.D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.
11. 12. 13. 2 14. 6
三、选做题：本大题5分。
15. （1） （2）
四、解答题:本大题共6小题,共75分。
16. （本小题满分12分)
解:（1)由已知得
即有
因为，所以，又，所以，
又,所以。
（2）由余弦定理,有.
因为，有。
又,于是有，即有。
17.（本小题满分12分）
(1）解：由，得.
由于是正项数列，所以。
于是时，。
综上,数列的通项。
（2）证明：由于。
则.

。
18.（本小题满分12分）
解：（1)从8个点中任意取两点为向量终点的不同取法共有种，时，两向量夹角为直角共有8种情形；所以小波参加学校合唱团的概率为。
（2）两向量数量积的所有可能取值为时，有两种情形；时，有8种情形；时，有10种情形.所以的分布列为：

。
19。（本大题满分12分）
解:（1）在中,因为是的中点，所以,
故，
因为，所以，
从而有，
故,又因为所以∥.
又平面，
所以故平面.
(2）以点为坐标原点建立如图所示的坐标系,则,
,故
设平面的法向量，则 ，
解得，即。
设平面的法向量，则，解得，
即。从而平面与平面的夹角的余弦值为。
20。(本大题满分13分)
解：（1）由在椭圆上得, ①
依题设知，则 ②
②代入①解得。
故椭圆的方程为。
（2)方法一：由题意可设的斜率为,
则直线的方程为 ③
代入椭圆方程并整理,得，
设,则有
④
在方程③中令得，的坐标为。
从而。
注意到共线，则有，即有。
所以
⑤
④代入⑤得，
又，所以。故存在常数符合题意.
方法二:设，则直线的方程为：，
令,求得，
从而直线的斜率为,
联立 ，得,
则直线的斜率为：，直线的斜率为：，
所以，
故存在常数符合题意。
21.（本大题满分14分）
（1)证明：因为，有,
所以函数的图像关于直线对称。
（2）解：当时,有
所以只有一个解，又，故0不是二阶周期点.
当时,有
所以有解集,又当时，,故中的所有点都不是二阶周期点。
当时，有
所以有四个解,又，
，故只有是的二阶周期点。综上所述,所求 的取值范围为。
（3)由（2）得，
因为为函数的最大值点，所以或.
当时，。求导得:，
所以当时，单调递增,当时单调递减;
当时，,求导得：，
因，从而有,
所以当时单调递增。