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第二章 数列
第一节：数列及其通项公式
一．数列的概念
1．数列的定义： ；
2．表示法： ；
3．数列的分类： ；
4．通项公式： ；
5．递推公式的概念： ；
注意：①数列与集合有本质的区别；②项与项数的区别；③与的区别；④不是每一个数列都有通项公式；⑤是n的函数。
二．数列通项公式的求法
1．根据数列的有限项，写出数列的通项公式。
练习
1．已知数列{an }的前几项，写出数列的一个通项公式
（1）1，4，9，16，……；an = ;
（2）……；an = ;
（3） an = ;
（4）9，99，999，9999，……；an = ;
（5）7，77，777，7777，……；an = ;
（6）7，-77，777，-7777，……；an = ;
（7）0.5,0.55,0.555,0.5555, ……；an = ;
（8）1．-1，1，-1，……；an = ;
（9）1，0，1，0，……；an = ;
（10）11，101，1001，10001，……；an = ;
（11）……；an = ;
（12）；an = ;
（13），……；an = ;
2．数列1，3，2，6，5，15，14，x,y,z，122，……，中x,y,z的值依次是（ ）
A 42，41，123 B 13，39，123
C 24，23，123 D 28，27，123
3．数列1，1，2，3，5，8，……；的第7项是 。
4．数列中，，
则的前5项是 。
5.已知函数，设
(1)求证：；
（2）{an }是递增数列还是递减数列？为什么？
2．已知数列的前n项和求数列的通项公式
（1） 已知数列{an }的前n项和为，求数列{an }的通项公式；
（2） 已知数列{an }的前n项和为，求数列{an }的通项公式。
注意：1.用数列的前n项和求通项的公式是： ；
2.什么时候运用an=Sn-Sn-1求出的公式具有通用性： 。
练习：
(3) 已知数列{an }的前n项和为,则通项an = ;
（4）已知数列{an }的前n项和为,则通项an = ;
（5）已知数列{an }的前n项和为,则通项an = ;
（6）已知数列{an }的前n项和为,则通项an = ;
注意：（1）公式表示的是数列的前n项和与通项之间的关系。
（2）要注意不要忽视n=1的情形，这是大家易出错的地方。
3．用递推公式求数列的通项公式
（1）数列中，），则它的前5 项是 。
（2）数列中，则 。
（3）数列中，满足，求数列{an }的通项公式；
（4）数列中，满足，求数列{an }的通项公式；
（5）数列中，满足，求数列{an }的通项公式；
（6）数列中，满足，求数列{an }的通项公式；
第二节：等差数列
一.1.定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列；这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
2.通项公式：或
3.等差中项：成等差数列，A叫a,b的等差中项（注：任意两个数都有等差中项）
4.证明一个数列是等差数列的方法：
一般用（常数），而不用其它等价形式，若确实无法证明，有时也可采用证明来完成。
5.等差数列的性质：
（1），单增；，单减；，是常数列。
（2）等差数列中任意连续的三项也成等差数列，反之亦然。
（3）一个数列是等差数列，则通项公式可写成（，反之亦然。
一个数列是等差数列，则其前n项和可写成（，反之亦然。
（4）数列是等差数列，若m+n=p+q，则
（5）数列是等差数列，项数m,p,n成等差数列，那么也成等差数列。
（6）数列是等差数列，则仍成等差数列。
二.等差数列的前n项和：
或
练习与应用：
通项公式、前n项和公式的基本运算
1． 在等差数列{an}中，a5=10,a12=31,求首项a1与公差d.
2.在等差数列{an}中，a2=-5,a6=a4+6,那么a1= .
3.在等差数列{an}中，a15=8,a20=20,则a25= .
4. 在等差数列{an}中，a2+a5+a8=9,a3a5a7= -21,求通项an.
5.在等差数列{an}中，a15=8,a60=20,则a75= .
仍成等差数列
6. 在等差数列{an}中，S10=310，S20=1220，求Sn与通项an.
若m+n=p+q，则
6．在等差数列{an}中， a3+a4+a5+a6+a7=450,则a2+a8= .
7.a3,a15是方程x2-6x-1=0的两个根，求a7+a8+a9+a10+a11= .
8．在等差数列中，，则该数列的前5项和为（ ）
（A） 10 （B） 16 （C） 20 （D） 32
9.在等差数列中，表示前项和，且，则的值为 （ ）（A） 18 （B） 60 （C） 54 （D） 27
10.等差数列{an}，，则项数n为（ ）
11．在等差数列{an}中， 前4项的和为21，后4项的和为67，前n项的和为286，则项数n= .
12.在等差数列中，表示前项和，且，当取得最大值时的值为（ ）
（A） 6 （B） 7 （C） 12 （D） 不能确定
13. 若是等差数列，首项，，，则使前项和成立的最大自然数是 （ ）
（A） 48 （B） 47 （C） 46 （D） 45
14（04年重庆卷.文理9）若数列是等差数列，首项，则使前n项和成立的最大自然数n是：（ ）
A 4005 B 4006 C 4007 D 4008
15.等差数列{an}，{bn}的前n项和为Sn，Tn，且,求.
16.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若，则的值为（ ）
A： B：2 C：1 D：-1
17．在等差数列{an}中，am=n,an=m,且m≠n, 则 am+n= .
18.已知等差数列，是其前n项和，对于不相等的正整数m,n，有，则的值为 .
其奇数项和、偶数项和
1、若等差数列共有偶数项项（奇数项、偶数项各项）：即
则 ， （中间一对）
2、若等差数列共有奇数项项（奇数项比偶数项多项）：
即
则 （为中间项）， （项数之比）
19. .等差数列{an}共有2n-1项，所有奇数项的和为132，所有偶数项的和为120，则n= .
20. 如果等差数列{an}共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为 。
21．如果等差数列{an}的项数是奇数，，{an}的奇数项的和是175，偶数项的和是150，求这个等差数列的公差d。
的最值问题
22. 等差数列{an}中，an=2n-10,则的最小值时n= .
23. 等差数列{an}中，an=2n-11,则的最小值时n= .
24．在等差数列{an}中, 则前n项和的最小值为（ ）
A：-80 B：-76 C：-75 D：-74
25.已知等差数列，是其前n项和，且，则下列结论错误的是（ ）
（A） d < 0 （B） （C） （D）与均为的最大值.
第三节：等比数列
一。等比数列及其性质
1。定义：（略）（有既是等差又是等比的数列吗？）
2。通项公式：；（）
3。等比中项：a,G,b成等比数列，G叫a,b的等比中项。
注：任意两个实数都有等差中项，但不是任意两个实数都有等比中项，只有两个实数同号时才有等比中项，等差中项只有一个，但等比中项有两个。
4。证明数列是等比数列的基本方法：
5。有关性质：
（1）数列是等比数列，若m+n=p+q，则
（2）正项等比数列的对数列是等差数列，等差数列的指数列是等比数列。
（3）数列是等比数列，则，，
成等比数列吗？
（4）数列是等比数列，则，，仍是等比数列。
练习与应用：
1。数列是等比数列，则在①；②；③；④；⑤；⑥这6个数列中仍成等比数列的是 。
2。数列是等比数列，，求公比q。
3。等差数列a,b,c三项的和为12，且 a,b,c+2成等比数列，求a的值。
4。数列是等比数列，，求
5。数列是等比数列，，，，则这个数列的项数为（ ）
A 3 B 4 C 5 D 6
6。等比数列{an}中,an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a3+a5=( ) A:5 B:10 C:15 D:20
7。等比数列{an}, （ ） A：-4 B：±4 C：-2 D：±2
8。等比数列{an}，，公比q为整数，则 。
9.等比数列{an}中，则（ ）
A：90 B：120 C：15 D：80
10。等比数列{an}中，则（ ）
A： B： C： D：
11。 {an}是各项为正数的等比数列，，则=（ ）
A：12 B：10 C：8 D：
12． 已知数列{an}是各项都为正数的等比数列，设，求证数列{bn}是等差数列。
13。已知等比数列的，且，求的通项公式.
14。各项均为正数的等比数列中，若，则 ；
15．为等比数列，
（1），求
（2）前项的和为前项之和，求
二。等比数列的前n项和。

1．等比数列{an}中，，，，求q和n。
2．等比数列{an}中，，求和q。
3．等比数列{an}中，，，则= 。
4．等比数列{an}中，求q。
5．求数列的前n项和。
6．求的前n项和
7．求，求前2k项的和。
8．求的前n项和。
9．等比数列{an},前n项和为48,前2n项和为60,前3n项的和为( )
A:183 B:108 C:75 D:63
10．{an}成等差数列，成等比数列，则该等比数列的公比为（ ）
A： B：2 C： D：
11． {an}成等差数列，{bn}成等比数列，，若，，则（ ）
A： B： C： D：或
12．成等差数列，成等比数列，则的取值范围是（ ）
A： B：（0，4） C： D：
13．一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为 （ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
第四节 数列的综合应用
一、数列求和
（一）．公式法
1． 求1，4，7，10，…，（3n-2）,…的前n项和。
2． 求数列，求前2k项的和.
3． 求
（二）．分项求和
1．求和（1+2）+（3+4）+…+（2n-1+2n）
2． (x-2)+(x2-2)+…+（xn-2）
3.
4.求和
5.
6.
（三）．裂项求和
1.求和
2.
3..数列{an}成等比数列,各项都为正数，且q≠1,求证

4.
5.
6．
7.
8.
9．求
（四）．错位相减、其它
1．
2.
3.
4．求和
5．1+2×3+3×7+…+n(2n-1)
6.已知数列{an+1}是等比数列，，，求
放缩及其他
1．
2．数列，……的前10项和为（ ）。
（A） （B）11 （C）11 （D）11
3.求和
4. 求
5. 求值设，求:
6.求证：
7.
8．
二、用已知数列的前n项和求数列的通项公式（前文已有）
三、用递推公式求通项
1．已知数列{an }，满足，a1=2,an+1=an+2,求{an }的通项公式。
2。已知数列{an }，满足，a1=2,an+1=an+2n,求{an }的通项公式。
3。已知数列{an }，满足，a1=2,an+1=an+2n,求{an }的通项公式。
4． 已知数列{an }，满足，a1=2, an+1=an+，求{an }的通项公式。
点击：凡是具有an+1=an+形式都可运用此法，其中表示可求和的数列。
5．已知数列{an }，满足，a1=2,an=3an-1,（n≥2）求{an }的通项公式。
6． 已知数列{an }，满足，a1=1,求{an }的通项公式。
7．已知数列{an }满足，，求{an }的通项公式。
规律： 。
8．已知数列{an }，满足，a1=2,an+1=2an+1,求{an }的通项公式。
9．已知数列{an }，满足，a1=1,an+1=3an+1,求{an }的通项公式。
点击：型通项公式可用此法。
10*．，求{an }的通项公式。
11*. 已知数列{an }，求{an }的通项公式。
12*.已知数列{an }，求{an }的通项公式。
13*.，求{an }的通项公式。
点击：型通项公式可用此法。
递推公式的变形
1．已知数列{an }，满足，a1=,，求{an }的通项公式。
2．已知数列{an }，满足，a1=1,求{an }的通项公式。
3．项为1的正项数列，，求数列的通项公式。
四．与的相互转化
1．已知数列{an}满足，，（1）问数列是否为等差数列。（2）求Sn和an.
2．已知数列{an}满足，，求数列{an}的通项公式。
3．已知数列{an}，满足，求通项an.
4．已知数列{an}满足，，当时，,求Sn和an.
5．正数数列{an}，，求数列{an}的通项公式。
6．（05，山东）已知数列{an}，，前n项和为，且，
（1）求数列{an}的通项公式。（2）求
几个必须熟练掌握的综合题目
1. 已知数列是等差数列，前项和为且；
求数列的通项公式. （2）设数列满足，，求数列的前和.
2.（05济南2模）已知数列{an}的前n项和Sn是n的二次函数，且an.
求Sn和an.
3. 已知数列{an}满足，，求数列{an}的通项公式。
4.数列数列{an}，满足 ，当时，，求数列{an}的通项公式。
5. 设函数，数列{}中，，时，前n项和满足
（1） 求数列{}的通项公式；（2）设，求{bn}的前n项和。
6.已知点列在直线上，且轴的交点，数列是公差为1的等差数列.
（1）求数列,的通项公式；（2）若求
7.在等比数列中，，公比q>0，设，且
（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和。
8.已知数列{an}是等差数列，Sn是前n项和，且，（1）求数列{an}的通项公式。（2）令，求数列{bn}的前n项和。
9.（07天津文）在数列中，，，．
（Ⅰ）证明数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的前项和；
（Ⅲ）证明不等式，对任意皆成立．
10．数列的前项和为，，．
（Ⅰ）求数列的通项；
（Ⅱ）求数列的前项和．
11．设数列满足，．
（Ⅰ）求数列的通项；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
12. 已知数列项和为，满足（）
（1） 证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2） 设，求数列的前n项和。
13. 已知等差数列满足：，，的前n项和为．
（Ⅰ）求及；
（Ⅱ）令bn=(nN*)，求数列的前n项和．
14. （2010上海已知数列的前项和为，且，
(1)证明：是等比数列；
(2)求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数.
15. （2009全国卷Ⅱ理）（本小题满分12分）
设数列的前项和为 已知
（I）设，证明数列是等比数列
（II）设，求证数列是等差数列。
（3）求数列的通项公式和前n项和公式。