第15讲二次函数的图象与性质.doc

第15讲二次函数的图象与性质1二次函数的概念、图象和性质考试内容考试要求二次函数的概念一般地，形如 (a，b，c是常数，a0)的函数叫做二次函数其中x是自变量，a、b、c分别为函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项b二次函数的图象与性质aa0a0bc图象开口方向抛物线开口向_，并向上无限延伸抛物线开口向_，并向下无限延伸对称轴直线x直线x顶点坐标最值抛物线有最低点，当x时，y有最小值，y最小值.抛物线有最高点，当x时，y有最大值，y最大值.增减性在对称轴的左侧，即当x时，y随x的增大而_，简记左减右增在对称轴的左侧，即当x时，y随x的增大而_，简记左增右减2.二次函数的图象与字母系数的关系考试内容考试要求字母或代数式字母的符号图象的特征bcaa0开口向_|a|越大开口越 a0(b与a同号)对称轴在y轴_侧.ab0与y轴_半轴相交.c0与x轴有 不同交点b24ac0，即当x1时，y_0.若abc0，即当x1时，y_0.3.确定二次函数的解析式考试内容考试要求方法适用条件及求法c一般式若已知条件是图象上的三个点或三对自变量与函数的对应值，则可设所求二次函数解析式为_.顶点式若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(最小值)，可设所求二次函数为_.交点式若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，可设所求的二次函数为 4.二次函数与一元二次方程以及不等式之间的关系考试内容考试要求二次函数与一元二次方程二次函数yax2bxc的图象与 轴的交点的 坐标是一元二次方程ax2bxc0的根b二次函数与不等式抛物线yax2bxc在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2bxc 0的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x的所有值就是不等式ax2bxc 0的解集5.二次函数图象常见的变换考试内容考试要求平移顶点坐标的变化，按照“横坐标加减左右移”、“纵坐标加减上下移”的方法进行c旋转抛物线关于原点旋转180，此时顶点关于原点对称，a的符号相反轴对称抛物线关于x轴对称，此时顶点关于x轴对称，a的符号相反；抛物线关于y轴对称，此时顶点关于y轴对称，a的符号不变b考试内容考试要求基本思想数形结合，从二次函数的图象研究其开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值及其图象的平移变化，到利用二次函数图象求解方程与方程组，再到利用图象求解析式和解决实际问题，都体现了数形结合的思想c1(2015台州)设二次函数y(x3)24图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐标可能是()A(1，0) B(3，0) C(3，0) D(0，4)2(2017金华)对于二次函数y(x1)22的图象与性质，下列说法正确的是()A对称轴是直线x1，最小值是2B对称轴是直线x1，最大值是2C对称轴是直线x1，最小值是2D对称轴是直线x1，最大值是23(2017宁波)抛物线yx22xm22(m是常数)的顶点在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限4(2016舟山)把抛物线yx2先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的表达式是_5(2015甘孜州)若二次函数y2x2的图象向左平移2个单位长度后，得到函数y2(xh)2的图象，则h_【问题】如图是yax2bxc(a0)的图象，且点A(1，0)，B(3，0)(1)你能从图象中想到哪些二次函数性质；(2)若点C为(0，3)，你又能得到哪些结论【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理二次函数的图象与性质类型一二次函数的解析式(1)已知抛物线的顶点坐标为(1，8)，且过点(0，6)，则该抛物线的表达式为_；(2)已知二次函数yax2bxc的图象经过A(1，1)、B(0，2)、C(1，3)；则二次函数的解析式为_；(3)已知抛物线过点A(2，0)，B(1，0)，与y轴交于点C，且OC2.则这条抛物线的解析式为_【解后感悟】解题关键是选择合适的解析式：当已知抛物线上三点求二次函数的关系式时，一般采用一般式yax2bxc(a0)；当已知抛物线顶点坐标(或对称轴及最大或最小值)求关系式时，一般采用顶点式ya(xh)2k；当已知抛物线与x轴的交点坐标求二次函数的关系式时，一般采用交点式ya(xx1)(xx2)1 (1)(2017杭州模拟)如图，已知抛物线yx2bxc的对称轴为直线x1，且与x轴的一个交点为(3，0)，那么它对应的函数解析式是_(2)(2017长春模拟)已知二次函数的图象与x轴的两个交点A，B关于直线x1对称，且AB6，顶点在函数y2x的图象上，则这个二次函数的表达式为_类型二二次函数的图象、性质(1)对于抛物线y(x1)24，下列结论：抛物线的开口向下；对称轴为直线x1；顶点坐标为(1，4)；x1时，y随x的增大而减小；当x1时，y有最大值是4；当y0时，3x1；点A(2，y1)、B(1，y2)在抛物线上，则y1y2.其中正确结论是_；(2)如图是二次函数yax2bxc的图象，下列结论：2x1，二次函数yax2bxc的最大值为4，最小值为0；使y3成立的x的取值范围是x0；一元二次方程ax2bxc0的两根为x13，x21；一元二次方程ax2bxc30的两根为x12，x20；当二次函数的值大于一次函数yx3的值时，x取值范围是1x0.其中正确结论是_【解后感悟】解题关键是正确把握解析式的特点、图象的特点、二次函数的性质，注意数形结合2 (1)二次函数yax2bxc(a0)的图象如图所示，下列说法：2ab0；当1x3时，y0；若(x1，y1)、(x2，y2)在函数图象上，当x1x2时，y1【考题体验】1B2.B3.A4.y(x2)235.2【知识引擎】【解析】(1)对称轴是直线x1等；(2)当x1时，y的最小值为4等【例题精析】例1(1)y2(x1)28；(2)yx22x2；(3)yx2x2或yx2x2例2(1)；(2)例3(1)y2x21；(2)y2(x4)21；(3)y2(x4)21例4(1)点A在抛物线yx22xc上，(1)22(1)c0，解得：c3，抛物线的解析式为yx22x3.yx22x3(x1)24，抛物线的顶点M(1，4)；(2)A(1，0)，抛物线的对称轴为直线x1，点B(3，0)EM1，BN2.EMBN，EMFBNF. 例5(1)(x60)；(2x400)(2)依题意可得：y(x60)(2x400)2x2520x240002(x130)29800，当x130时，y有最大值9800.所以售价为每件130元时，当月的利润最大为9800元【变式拓展】1(1)yx22x3(2)yx2x2(1)(2)根据题意可得函数图象为：图象都经过点(1，0)和点(1，4)；图象总交x轴于点(1，0)；k取0和2时的函数图象关于点(0，2)成中心对称；平移后的函数y3的表达式为：y3(x3)22，当x3时，函数y3的最小值为2.3. (1)A(2)D4. (1)15(2)yx22xyx22x5.(1)由于抛物线C1、C2都过点A(3，0)、B(3，0)，可设它们的解析式为：ya(x3)(x3)；抛物线C1还经过D(0，3)，则有：3a(03)(03)，解得：a，即：抛物线C1：yx23(3x3)；抛物线C2还经过C(0，1)，则有：1a(03)(03)，解得：a，即：抛物线C2：yx21(3x3)(2)当炒菜锅里的水位高度为1dm时，y2，即x232，解得：x，此时水面的直径为2dm.(3)锅盖能正常盖上，理由如下：当x时，抛物线C1：y3，抛物线C2：y1，而3，锅盖能正常盖上【热点题型】【分析与解】C1：yx(x3)(0x3)C2：y(x3)(x6)(3x6)C3：y(x6)(x9)(6x9)C4：y(x9)(x12)(9x12)C13：y(x36)(x39)(36x39)，当x37时，y2，所以，m2.【错误警示】yx2x(x24x3)(x2)21(x2)2，该函数图象的顶点坐标是(2，)，对称轴是直线x2.