第15讲二次函数的图象与性质.doc

第15讲　二次函数的图象与性质

1．二次函数的概念、图象和性质
考试内容
考试
要求
二次函数的概念
一般地，形如 (a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数．其中x是自变量，a、b、c分别为函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项．
b
二次函数的图象与性质
a
a>0
a<0
b
c
图象

开口方向
抛物线开口向_______，并向上无限延伸
抛物线开口向_____，并向下无限延伸
对称轴
直线x＝－
直线x＝－
顶点坐标

最值
抛物线有最低点，当x＝－时，y有最小值，y最小值＝.
抛物线有最高点，当x＝－时，y有最大值，y最大值＝.
增减性
在对称轴的左侧，即当x<－时，y随x的增大而_______________；在对称轴的右侧，即当x>－时，y随x的增大而____________，简记左减右增
在对称轴的左侧，即当x<－时，y随x的增大而_________；在对称轴的右侧，即当x>－时，y随x的增大而_______，简记左增右减
2.二次函数的图象与字母系数的关系

考试内容
考试
要求
字母或
代数式
字母的符号
图象的特征
b
c
a
a>0
开口向________
|a|越大开口越 ．

a<0
开口向_____
b
b＝0
对称轴为 轴．
ab>0(b与a同号)
对称轴在y轴____________________侧.
ab<0(b与a异号)
对称轴在y轴 侧．
c
c＝0
经过____________________.
c>0
与y轴____________________半轴相交.
c<0
与y轴 半轴相交．
b2－4ac
b2－4ac＝0
与x轴有____________________交点(顶点).
b2－4ac>0
与x轴有 不同交点．
b2－4ac<0
与x轴____________________交点．
特殊关系
若a＋b＋c>0，即当x＝1时，y____________________0.
若a＋b＋c<0，即当x＝1时，y____________________0.
3.确定二次函数的解析式
考试内容
考试
要求
方法
适用条件及求法
c
一般式
若已知条件是图象上的三个点或三对自变量与函数的对应值，则可设所求二次函数解析式为____________________.
顶点式
若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(最小值)，可设所求二次函数为____________________.
交点式
若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，可设所求的二次函数为 ．
4.二次函数与一元二次方程以及不等式之间的关系
考试内容
考试
要求
二次函数与一元二次方程
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与 轴的交点的 坐标是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．
b
二次函数与不等式
抛物线y＝ax2＋bx＋c在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c 0的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c 0的解集．
5.二次函数图象常见的变换
考试内容
考试
要求
平移

顶点坐标的变化，按照“横坐标加减左右移”、“纵坐标加减上下移”的方法进行．
c
旋转
抛物线关于原点旋转180°，此时顶点关于原点对称，a的符号相反．
轴对称
抛物线关于x轴对称，此时顶点关于x轴对称，a的符号相反；抛物线关于y轴对称，此时顶点关于y轴对称，a的符号不变．
b

考试内容
考试
要求
基本
思想
数形结合，从二次函数的图象研究其开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值及其图象的平移变化，到利用二次函数图象求解方程与方程组，再到利用图象求解析式和解决实际问题，都体现了数形结合的思想．
c

1．(2015·台州)设二次函数y＝(x－3)2－4图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐标可能是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．(1，0) B．(3，0) C．(－3，0) D．(0，－4)
2．(2017·金华)对于二次函数y＝－(x－1)2＋2的图象与性质，下列说法正确的是(　　)
A．对称轴是直线x＝1，最小值是2
B．对称轴是直线x＝1，最大值是2
C．对称轴是直线x＝－1最小值是2
D．对称轴是直线x＝－1，最大值是2
3．(2017·宁波)抛物线y＝x2－2x＋m2＋2(m是常数)的顶点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．(2016·舟山)把抛物线y＝x2先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的表达式是____________________．
5．(2015·甘孜州)若二次函数y＝2x2的图象向左平移2个单位长度后，得到函数y＝2(x＋h)2的图象，则h＝____________________．

【问题】如图是y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，且点A(－1，0)，B(3，0)．

(1)你能从图象中想到哪些二次函数性质；
(2)若点C为(0，－3)，你又能得到哪些结论．

【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理二次函数的图象与性质．

类型一　二次函数的解析式
　(1)已知抛物线的顶点坐标为(－1，－8)，且过点(0，－6)，则该抛物线的表达式为________；
(2)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(－1，－1)、B(0，2)、C(1，3)；则二次函数的解析式为________；
(3)已知抛物线过点A(2，0)，B(－1，0)，与y轴交于点C，且OC＝2.则这条抛物线的解析式为________．
【解后感悟】解题关键是选择合适的解析式：当已知抛物线上三点求二次函数的关系式时，一般采用一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；当已知抛物线顶点坐标(或对称轴及最大或最小值)求关系式时，一般采用顶点式y＝a(x－h)2＋k；当已知抛物线与x轴的交点坐标求二次函数的关系式时，一般采用交点式y＝a(x－x1)(x－x2)．

1． (1)(2017·杭州模拟)如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，且与x轴的一个交点为(3，0)，那么它对应的函数解析式是____________________．

(2)(2017·长春模拟)已知二次函数的图象与x轴的两个交点A，B关于直线x＝－1对称，且AB＝6，顶点在函数y＝2x的图象上，则这个二次函数的表达式为____________________．
类型二　二次函数的图象、性质
　(1)对于抛物线y＝－(x＋1)2＋4，下列结论：
①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x＝1；③顶点坐标为(－1，4)；④x≥1时，y随x的增大而减小；⑤当x＝－1时，y有最大值是4；⑥当y≥0时，－3≤x≤1；⑦点A(－2，y1)、B(1，y2)在抛物线上，则y1＞y2.
其中正确结论是______________；

(2)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，下列结论：
①－2≤x≤1，二次函数y＝ax2＋bx＋c的最大值为4，最小值为0；②使y≤3成立的x的取值范围是x≥0；③一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1＝－3，x2＝1；④一元二次方程ax2＋bx＋c－3＝0的两根为x1＝－2，x2＝0；⑤当二次函数的值大于一次函数y＝－x＋3的值时，x取值范围是－1＜x＜0.
其中正确结论是______________．
【解后感悟】解题关键是正确把握解析式的特点、图象的特点、二次函数的性质，注意数形结合．

2． (1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列说法：①2a＋b＝0；②当－1≤x≤3时，y<0；③若(x1，y1)、(x2，y2)在函数图象上，当x1位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为________；
(2)将该抛物线关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为________．
(3)将该抛物线绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是________．
【解后感悟】①平移的规律：左加右减，上加下减；②对称的规律：关于x轴对称的两点横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点横、纵坐标均互为相反数；③旋转的规律：旋转后的抛物线开口相反，顶点关于旋转点对称．

3．(1)(2017·绍兴)矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为(2，1)．一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A重合，此时抛物线的函数表达式为y＝x2，再次平移透明纸，使这个点与点C重合，则该抛物线的函数表达式变为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．y＝x2＋8x＋14 B．y＝x2－8x＋14
C．y＝x2＋4x＋3 D．y＝x2－4x＋3

(2)(2017·盐城)如图，将函数y＝(x－2)2＋1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A(1，m)，B(4n)平移后的对应点分别为点A′、B′.若曲线段AB扫过的面积为9(图中的阴影部分)，则新图象的函数表达式是(　　)
A．y＝(x－2)2－2 B．y＝(x－2)2＋7
C．y＝(x－2)2－5 D．y＝(x－2)2＋4
类型四　二次函数的综合问题
　如图，抛物线y＝－x2＋2x＋c与x轴交于A，B两点，它们的对称轴与x轴交于点N，过顶点M作ME⊥y轴于点E，连结BE交MN于点F. 已知点A的坐标为(－1，0)．

(1)求该抛物线的解析式及顶点M的坐标；
(2)求△EMF与△BNF的面积之比．

【解后感悟抛物线与x轴的交点问题；二次函数的性质；待定系数法的应用；曲线上点的坐标与方程的关系；相似三角形的判定和性质．

4． (1)(2016·长春)如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为(4，3)，D是抛物线y＝－x2＋6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为____________________．

(2) (2015·湖州)如图，已知抛物线C1∶y＝a1x2＋b1x＋c1和C2∶y＝a2x2＋b2x＋c2都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一个交点分别为M、N，如果点A与点B，点M与点N都关于原点O成中心对称，则抛物线C1和C2为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线C1和C2，使四边形ANBM恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是
和 　　　　　　　　　.
类型五　二次函数的应用
　(2017·杭州模拟)九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：
售价(元/件)
100
110
120
130
…
月销量(件)
200
180
160
140
…
已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元．
(1)请用含x的式子表示：
①销售该运动服每件的利润是________元；②月销量是________件；(直接填写结果)
(2) 设销售该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？

【解后感悟】此题是二次函数的应用，准确分析题意，列出y与x之间的二次函数关系式是解题关键．

5．(2017·重庆模拟)我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6dm，锅深3dm，锅盖高1dm(锅口直径与锅盖直径视为相同)，建立直角坐标系如图1所示(图2是备用图)，如果把锅纵断面的抛物线记为C1，把锅盖纵断面的抛物线记为C2.

(1)求C1和C2的解析式；
(2)如果炒菜锅里的水位高度是1dm，求此时水面的直径；
(3)如果将一个底面直径为3dm，高度为3dm的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由．

【探索研究题】
如图，一段抛物线：y＝－x(x－3)(0≤x≤3)，记为C1，它与x轴交于点O，A1；

将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…
如此进行下去，直至得C13.若P(37，m)在第13段抛物线C13上，则m＝________．

【方法与对策】本题是数形规律探究能力．图形类规律探索题，通常先把图形型问题转化为数字型问题，再从数字的特点来寻找规律，解题关键从操作中前面几个点的坐标位置变化，猜想、归纳出一般变化规律．该题型是图形变换和规律的探究题，是中考命题方向．

【配方漏括号】
用配方法求二次函数y＝x2－x＋图象的顶点坐标及对称轴．

参考答案
第15讲　二次函数的图象与性质
【考点概要】
1．y＝ax2＋bx＋c　上　下　减小　增大　增大　减小 2.上　下　小　y　左　右　原点　正　负　唯一　两个　没有　>　<　3.y＝ax2＋bx＋c　y＝a(x－m)2＋k　y＝a(x－x1)(x－x2)　4.x　横　>　<
【考题体验】
1．B　2.B　3.A　4.y＝(x－2)2＋3　5.2
【知识引擎】
【解析】(1)对称轴是直线x＝1等；(2)当x＝1时，y的最小值为－4等．
【例题精析】
例1　(1)y＝2(x＋1)2－8；(2)y＝－x2＋2x＋2；(3)y＝x2－x－2或y＝－x2＋x＋2　例2　(1)①③④⑤⑥⑦；(2)①③④⑤　例3　(1)y＝2x2＋1；(2)y＝－2(x＋4)2＋1；(3)y＝－2(x－4)2－1　例4　(1)∵点A在抛物线y＝－x2＋2x＋c上，∴－(－1)2＋2·(－1)＋c＝0，解得：c＝3，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴抛物线的顶点M(1，4)；(2)∵A(－1，0)，抛物线的对称轴为直线x＝1，∴点B(3，0)．∴EM＝1，BN＝2.∵EM∥BN，∴△EMF∽△BNF.∴＝＝＝. 例5　(1)①(x－60)；②(－2x＋400)　(2)依题意可得：y＝(x－60)×(－2x＋400)＝－2x2＋520x－24000＝－2(x－130)2＋9800，当x＝130时，y有最大值9800.所以售价为每件130元时，当月的利润最大为9800元．
【变式拓展】
1．(1)y＝－x2＋2x＋3　(2)y＝x2＋x－
2．(1)①④⑤　(2)①根据题意可得函数图象为

②图象都经过点(1，0)和点(－1，4)；图象总交x轴于点(1，0)；k取0和2时的函数图象关于点(0，2)成中心对称；③平移后的函数y3的表达式为：y3＝(x＋3)2－2，∴当x＝－3时，函数y3的最小值为－2.　
3. (1)A　(2)D　
4. (1)15　(2)y＝－x2＋2x　y＝x2＋2x　
5.(1)由于抛物线C1、C2都过点A(－3，0)、B(3，0)，可设它们的解析式为：y＝a(x－3)(x＋3)；抛物线C1还经过D(0，－3)，则有：－3＝a(0－3)(0＋3)，解得：a＝，即：抛物线C1：y＝x2－3(－3≤x≤3)；抛物线C2还经过C(0，1)，则有：1＝a(0－3)(0＋3)，解得：a＝－，即：抛物线C2：y＝－x2＋1(－3≤x≤3)．(2)当炒菜锅里的水位高度为1dm时，y＝－2，即x2－3＝－2，解得：x＝±，∴此时水面的直径为2dm.　(3)锅盖能正常盖上，理由如下：当x＝时，抛物线C1：y＝×－3＝－，抛物线C2：y＝－×＋1＝，而－＝3，∴锅盖能正常盖上．
【热点题型】
【分析与解】C1：y＝－x(x－3)(0≤x≤3)
C2：y＝(x－3)(x－6)(3≤x≤6)
C3：y＝－(x－6)(x－9)(6≤x≤9)
C4：y＝(x－9)(x－12)(9≤x≤12)
…
C13：y＝－(x－36)(x－39)(36≤x≤39)，当x＝37时，y＝2，所以，m＝2.
【错误警示】
y＝x2－x＋＝(x2－4x＋3)＝[(x－2)2－1]＝(x－2)2－，∴该函数图象的顶点坐标是(2，－)，对称轴是直线x＝2.