导数运算-家教讲义.doc

美博教育 1对1个性化 辅导教案提纲 教研组：
学生姓名
年级
科目
教师
授课日期
时段与课时

高二
数学

2013.12.15

教学 课题
变化率与导数
目标及重难点
瞬时变化率和导数关系、导数的几何意义的理解
教学过程：
一、考纲分析，作业点评
二、考点分类解析
1、平均速度与瞬时速度
2、函数的平均变化率和瞬时变化率
3、导数的概念
4、导数和导函数的定义
5、导数的几何意义（导数与切线斜率）
四、 针对性题型练习
五、 课堂小结

备注：
作业布置
详见讲义课后针对性作业
学习反馈及调整方案

班主任签字：
学员评价
○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差
学员签字：
教师评价
上次课作业： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差
本次课堂表现： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差
教师签字：
美博教育 肖晨星1对1 辅导讲义
课 题
变化率和导数
教学内容
知识点一
函数的平均变化率和瞬时变化率
1、函数的平均变化率：当自变量从变为，函数值从变为 ，它的平均变化率为 ，用它可以刻画 。
2、通过减小自变量的改变量，用平均变化率“逼近”瞬时变化率：
对平均速度而言，当时间的改变量趋于0（无限缩小）时，比值会趋于一个定值，这个定值称为时的瞬时速度，这是我们在物理学里已经熟知的。
类此，我们可以概括出一般函数的瞬时变化率：在自变量从变为的过程中，若设，，则函数的平均变化率又可表示为 .
当趋于0时，平均变化率就趋于函数在点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是 。
3、平均变化率量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”，但应注意当很小时，这种量化便有由“粗糙”逼近“精确”的趋势。
题型分析：
平均速度：
例1：物体自由落体的运动方程为,计算t从3s到3.1s,3.01s,3.001s各段时间内的平均速度（位移s的单位为m）
瞬时速度：
设物体运动的位移与时间的关系是，当趋近于0时，函数在到这段时间内的平均变化率趋近于常数，我们把这个常数称为时刻的瞬时速度。
例2：物体自由落体的运动方程是，求物体在这一时刻的速度。
平均变化率：
例1 在经营某商品中，甲挣到10万元，乙挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？
变式1 在经营某商品中，甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？
变式2求函数在区间内的平均变化率
瞬时变化率：
例3 某个物体走过的路程（单位：m）是时间（单位：s）的函数：，通过平均速度估计物体在下列各时刻的瞬时速度：（1）；（2）；（3）.
例4、已知函数
（1）当从1变为2时，函数值改变了多少？此时函数值关于的平均变化率是多少？
（2）当从-1变为1时，函数值改变了多少？此时函数值关于的平均变化率是多少？
（3）这个函数变化的快慢有何特点？求这个函数在处的瞬时变化率。
例5、设质点做直线运动，已知路程是时间的函数。
（1）求从到的平均速度，并求当时的平均速度；
（2）求当时的瞬时速度。
例6、求函数在处的瞬时变化率

知识点二
导数的概念
复习：设函数，当自变量x从x0变到x1时，函数值从变到，函数值y关于x的平均变化率

当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值（这个值称为：当x1趋于x0时，平均变化率的极限），那么这个值就是函数在点x0的瞬时变化率。
导数的定义：
在数学上，称瞬时变化率为函数在点x0的导数，通常用符号表示，记作
。
例1、一条水管中流过的水量y（单位：）是时间x（单位：s）的函数。求函数在x=2处的导数，并解释它的实际意义。
例2、一名食品加工厂的工人上班后开始连续工作，生产的食品量y（单位：kg）是其工作时间x（单位：h）的函数。假设函数在x=1和x=3处的导数分别为和，试解释它们的实际意义。
例3、服药后，人体血液中药物的质量浓度y（单位：μg/mL）是时间t（单位：min）的函数，假设函数在t=10和t=100处的导数分别为和，试解释它们的实际意义。
总结：利用导数的定义求函数的导数的方法步骤：

知识点三
导数的几何意义
设函数在[x0，x0＋Δx]的平均变化率为，如右图所示，它是过A（x0，）和B（x0＋Δx，）两点的直线的斜率。这条直线称为曲线在点A处的一条割线。
如右图所示，设函数的图像是一条光滑的曲线，从图像上可以看出：当Δx取不同的值时，可以得到不同的割线；当Δx趋于0时，点B将沿着曲线趋于点A，割线AB将绕点A转动最后趋于直线l。直线l和曲线在点A处“相切” ，称直线l为曲线在点A处的切线。该切线的斜率就是函数在x0处的导数。
函数在x0处的导数，是曲线在点（x0，）处的切线的斜率。函数在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义。
1、导数的几何意义：
函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点处的切线的斜率，即
求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
①求出P点的坐标;
②求出函数在点处的变化率 ，得到曲线在点的切线的斜率；
③利用点斜式求切线方程.
2、导函数：
由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时, 是一个确定的数，那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：或，
即:
注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
3、 函数在点处的导数、导函数、导数之间的区别与联系。
（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。
(2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的， 就是函数f(x)的导函数
(3）函数在点处的导数就是导函数在处的函数值，这也是 求函数在点处的导数的方法之一。
例1、已知函数， x0＝－2。（1）分别对Δx=2，1，0.5求在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并画出过点（x0，）的相应割线；
（2）求函数在x0＝－2处的导数，并画出曲线在点（－2，4）处的切线。
例2、求函数在x=1处的切线方程。
切线与导数：
1．割线及其斜率：连结曲线上的两点的直线叫曲线的割线，
设曲线上的一点，过点的一条割线交曲线于另一点，则割线的斜率为
．
2． 切线的定义：随着点沿着曲线向点运动，割线在点附近越来越逼近曲线。当点无限逼近点时，直线最终就成为在点处最逼近曲线的直线，这条直线也称为曲线在点处的切线；
3． 切线的斜率：当点沿着曲线向点运动，并无限靠近点时，割线逼近点处的切线，从而割线的斜率逼近切线的斜率，即当无限趋近于时，无限趋近于点处的切线的斜率．
例1．已知曲线，（1）判断曲线在点处是否有切线，如果有，求切线的斜率，然后写出切线的方程．
（2）求曲线在处的切线斜率。
例2．已知，求曲线在处的切线的斜率．
例3．已知曲线方程，求曲线在处的切线方程．

知识点5
导数的几何意义专题训练
例1、在曲线上求一点P使得曲线在该点处的切线满足下列条件：
（1）平行于直线y＝x＋1； （2）垂直于直线2x－16y＋1＝0； （3）倾斜角为135°。
例2、求曲线过（1，1）点的切线的斜率。
总结：利用导数的几何意义求曲线在处切线方程的步骤：
（1） 已知曲线的切点①求出函数在点处的导数；
②根据直线的点斜式方程，得切线方程为。
（2） 过曲线外的点①设切点为，求出切点坐标；
②求出函数在点处的导数；
③根据直线的点斜式方程，得切线方程为。
课后作业
课后训练与提高
1、在平均变化率的定义中，自变量的增量是（ ）
A． B． C． D．
2、设函数，当自变量由改变到时，函数的改变量是（ ）
A． B． C． D．
3、已知函数的图象上一点及附近一点，则等于（ ）
A． B． C． D．
4、求函数f(x)=在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．
5、将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第时，原油的温度（单位：）为，计算第时和第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．

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