(数学)江苏泰州中学学年高一下学期第一次月考数学考试Word版含解析.doc

(数学)江苏泰州中学学年高一下学期第一次月考数学考试Word版含解析

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2015-2016学年江苏省泰州中学高一（下）第一次月考数学试卷

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1．求：sin15°sin30°sin75°=　　．
2．在△ABC中，若A=，a=，则=　　．
3．在△ABC中，已知 （a+b+c）（a+b﹣c）=ab，则∠C的大小为　　．
4．数列{an}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2，则公差d=　　．
5．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7=　　．
6．在等比数列{an}中，a1＜0，a2a4+2a3a5+a4a6=36，则a3+a5=　　．
7．在△ABC中，已知a=4，b=4，B=45°，则∠A=　　．
8．已知θ为锐角，sin（θ+15°）=，则cos（2θ﹣15°）=　　．
9．把一根长为30cm的木条锯成两段，分别做钝角三角形ABC的两边AB和BC，且∠ABC=120°，当第三边AC最短时，边AB的长为　　．
10．在等比数列{an}中，a5•a11=4，a3+a13=5，则=　　．
11．在△ABC中，已知b=1，c=2，AD是∠A的平分线，AD=，则∠C=　　．
12．Sn是等差数列{an}的前n项和，若，则=　　．
13．在锐角△ABC中，已知∠A，∠B，∠C成等差数列，设y=sinA﹣cos（A﹣C+2B），则y的取值范围是　　．
14．已知an=2n，把数列{an}的各项排成如图三角形状，记A（i，j）表示第i行中第j个数，则结论
①A（2，3）=16；
②A（i，3）=2A（i，2）（i≥2）；
③[A（i，i）]2=A（i，1）•A（i，2i﹣1），（i≥1）；
④A（i+1，1）=A（i，1）•22i﹣1，（i≥1）；
其中正确的是　　（写出所有正确结论的序号）．

二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．已知{an}是等差数列，其中a1=25，a4=16
（1）求{an}的通项；
（2）数列{an}从哪一项开始小于0；
（3）求a1+a3+a5+…+a19值．
16．在△ABC中，已知，，B=45°，求b及A．
17．已知α，β∈（0，），且sin（α+2β）=sinα．
（1）求tan（α+β）﹣6tanβ的值；
（2）若tanα=3tanβ，求α的值．
18．已知函数f（x）=sin2ωx﹣2sin2ωx的最小正周期为3π．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，若f（C）=1，AB=2，2sin2B=cosB+cos（A﹣C），求BC的长．
19．在金融危机中，某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2009根．现将它们堆放在一起．
（1）若堆放成纵断面为正三角形（每一层的根数比上一层根数多1根），并使剩余的圆钢尽可能地少，则剩余了多少根圆钢？
（2）若堆成纵断面为等腰梯形（每一层的根数比上一层根数多1根），且不少于七层，
（Ⅰ）共有几种不同的方案？
（Ⅱ）已知每根圆钢的直径为10cm，为考虑安全隐患，堆放高度不得高于4m，则选择哪个方案，最能节省堆放场地？
20．已知数列{an}中，a2=1，前n项和为Sn，且Sn=．
（1）求a1；
（2）证明数列{an}为等差数列，并写出其通项公式；
（3）设lgbn=，试问是否存在正整数p，q（其中1＜p＜q），使b1，bp，bq成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．

2015-2016学年江苏省泰州中学高一（下）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1．求：sin15°sin30°sin75°=　　．
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【分析】注意到题中角15°、75°的互余关系，利用同角公式化成同一个角的三角函数，再反用二倍角公式求解即可．
【解答】解：sin15°sin30°sin75°
=sin15°××cos15°
=××2sin15°cos15°
=sin30°
=．
故填：．

2．在△ABC中，若A=，a=，则=　2　．
【考点】三角函数的周期性及其求法．
【分析】由条件利用正弦定理求得 = 的值．
【解答】解：△ABC中，若A=，a=，则由正弦定理可得 ===2，
故答案为：2．

3．在△ABC中，已知 （a+b+c）（a+b﹣c）=ab，则∠C的大小为　　．
【考点】余弦定理．
【分析】由题中等式，化简出a2+b2﹣c2=ab，再根据余弦定理算出cosC=的值，结合三角形内角的范围即可算出角C的大小．
【解答】解：∵在△ABC中，（a+b+c）（a+b﹣c）=ab，
∴（a+b）2﹣c2=ab，整理得a2+b2﹣c2=﹣ab
由余弦定理，得cosC==﹣，
结合C∈（0，π），可得C=；
故答案为：．

4．数列{an}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2，则公差d=　1　．
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】由题意和等差中项可得a1+a2=2，a2+a3=4，两式相减可得答案．
【解答】解：∵{an}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2，
∴a1+a2=2，a2+a3=4，两式相减可得a3﹣a1=2d=4﹣2，
解得d=1，
故答案为：1．

5．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7=　49　．
【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质．
【分析】由等差数列的性质求得a1+a7，再用前n项和公式求得．
【解答】解：∵a2+a6=a1+a7
∴
故答案是49

6．在等比数列{an}中，a1＜0，a2a4+2a3a5+a4a6=36，则a3+a5=　﹣6．　．
【考点】等比数列的性质．
【分析】根据等比数列的性质进行配方即可．
【解答】解：在等比数列{an}中，a2a4+2a3a5+a4a6=36，
∴（a3）2+2a3a5+（a5）2=36，
即（a3+a5）2=36，
∵a1＜0，
∴a3=a1q2＜0，a5=a1q4＜0，
即a3+a5＜0，
则a3+a5=﹣6，
故答案为：﹣6

7．在△ABC中，已知a=4，b=4，B=45°，则∠A=　30°　．
【考点】正弦定理．
【分析】由正弦定理，解得sinB．再由b＜a，可得B＜A=45°，由此可得B的值．
【解答】解：在△ABC中，∠A=45°，a=4，b=4，则由正弦定理可得，解得sinA=．
再由b＞a，可得B＞A，故A为锐角，故A=30°，
故答案为：30°．

8．已知θ为锐角，sin（θ+15°）=，则cos（2θ﹣15°）=　　．
【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．
【分析】由二倍角公式可得cos（2θ+30°）的值，由sin（θ+15°）=＜，进一步缩小角的范围，由平方关系可得sin（2θ+30°）的值，可得cos（2θ﹣15°）=cos（2θ+30°﹣45°），由两角差的余弦公式展开，代入数据解得可得．
【解答】解：由二倍角公式可得cos（2θ+30°）=1﹣2sin2（θ+15°）=1﹣2×=，
又∵θ为锐角，sin（θ+15°）=＜，
∴θ+15°＜60°，即θ＜45°，∴2θ+30°＜120°，
∴sin（2θ+30°）==，
由两角差的余弦公式可得
cos（2θ﹣15°）=cos（2θ+30°﹣45°）==
故答案为：

9．把一根长为30cm的木条锯成两段，分别做钝角三角形ABC的两边AB和BC，且∠ABC=120°，当第三边AC最短时，边AB的长为　15cm　．
【考点】三角形中的几何计算．
【分析】根据题意设AB=xcm，利用余弦定理列出关系式，利用二次函数性质即可得到AC取得最小值时x的值，从而得出结论．
【解答】解：如图所示，设AB=xcm，则BC=（30﹣x）cm，
由余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=x2+（30﹣x）2+x（30﹣x）=（x﹣15）2+675，
∴当x=15cm时，AC取得最小值为=15cm，
即当AB=BC=15cm时，第三边AC的长最短为15cm．
故答案为：15cm．

10．在等比数列{an}中，a5•a11=4，a3+a13=5，则=　4或　．
【考点】等比数列的性质．
【分析】先用a1，q表示出a5、a11、a3、a13，然后代入关系式a5•a11=4，a3+a13=5可得a5•a11=a12q14=4、a3+a13=a1（q2+q12）=5，然后对a1（q2+q12）=5两边平方后与a12q14相比即可得到答案．
【解答】解：∵=q10
a5•a11=a12q14=4 ①
a3+a13=a1（q2+q12）=5
然后两边平方：a12（q4+q24+2q14）=25 ②
===
所以或4
故答案为：4或

11．在△ABC中，已知b=1，c=2，AD是∠A的平分线，AD=，则∠C=　90°　．
【考点】余弦定理的应用．
【分析】根据角平线的性质，可设BD=2x，CD=x，然后结合余弦定理列方程解x，然后利用余弦定理求解C即可．
【解答】解：因为AD是∠A的平分线，所以=，
不妨设BD=2x，CD=x，
结合已知得cos∠BAD=cos∠CAD，
在△ABD中由余弦定理得BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcos∠BAD，
即：4x2=4+﹣2×cos∠BAD，…①
在△ACD中，由余弦定理可得CD2=AC2+AD2﹣2AC•ADcos∠CAD，
即：x2=1+﹣2×cos∠BAD…②，
①﹣②×2，可得：
2x2=2﹣=，
解得：x2=．
在△ADC则，cosC===0．
∠C=90°．
故答案为：90°．

12．Sn是等差数列{an}的前n项和，若，则=　　．
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】利用等差数列的通项公式及前n项和公式推导出a1=d，由此能求出的值．
【解答】解：∵Sn是等差数列{an}的前n项和，，
∴===，
∴3a1=2a1+d，
∴a1=d，
∴===．
故答案为：．

13．在锐角△ABC中，已知∠A，∠B，∠C成等差数列，设y=sinA﹣cos（A﹣C+2B），则y的取值范围是　（﹣1，2）　．
【考点】任意角的三角函数的定义．
【分析】由题意可得2∠B=∠A+∠C，再化简y=sinA﹣cos2A=2﹣，根据 sinA∈（0，1），利用二次函数的性质求得y的取值范围．
【解答】解：锐角△ABC中，∵∠A，∠B，∠C成等差数列，∴2∠B=∠A+∠C，∴∠B=．
设y=sinA﹣cos（A﹣C+2B）=sinA﹣cos2A=sinA﹣1+2sin2A=2﹣，
∵sinA∈（0，1），∴y∈（﹣1，2），
故答案为：（﹣1，2）．

14．已知an=2n，把数列{an}的各项排成如图三角形状，记A（i，j）表示第i行中第j个数，则结论
①A（2，3）=16；
②A（i，3）=2A（i，2）（i≥2）；
③[A（i，i）]2=A（i，1）•A（i，2i﹣1），（i≥1）；
④A（i+1，1）=A（i，1）•22i﹣1，（i≥1）；
其中正确的是　①②③④　（写出所有正确结论的序号）．

【考点】数列的应用．
【分析】观察三角形中第i行最后一个数的下脚标，得知下脚标值是该行的行数的平方，从而得到A（i，j）的表达式，
再依次分析①②③④，可判断其正确性．
【解答】解：依题意知，①A（2，3）=a4=24=16；即①正确；

由图可知，第i行最后一个数是，
∴②A（i，3）==，
A（i，2）==
∴A（i，3）=2A（i，2）（i≥2）；即②正确；

③[A（i，i）]2==
A（i，1）•A（i，2i﹣1）=•===[A（i，i）]2，即③正确；

④A（i+1，1）==，A（i，1）•22i﹣1=•22i﹣1=
∴A（i+1，1）=A（i，1）•22i﹣1，即④正确；
故答案为：①②③④．

二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．已知{an}是等差数列，其中a1=25，a4=16
（1）求{an}的通项；
（2）数列{an}从哪一项开始小于0；
（3）求a1+a3+a5+…+a19值．
【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质．
【分析】（1）由{an}是等差数列，其中a1=25，a4=16，利用等差数列通项公式能求出公差d，由此能求出an=28﹣3n．
（2）由an=28﹣3n＜0，得到n＞，由此能求出数列{an}从第几项开始小于0．
（3）a1+a3+a5+…+a19是首项为25，公差为﹣6的等差数列，共有10项，由等差数列的前n项和公式能求出其结果．
【解答】解：（1）∵a4=a1+3d=25+3d=16，
∴d=﹣3，
∴an=28﹣3n…
（2）∵
∴数列{an}从第10项开始小于0 …
（3）a1+a3+a5+…+a19是首项为25，公差为﹣6的等差数列，共有10项
其和…

16．在△ABC中，已知，，B=45°，求b及A．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（1）直接利用余弦定理，由b2=a2+c2﹣2accosB 求得结果．
（2）由余弦定理可得cos，求得角A的值．
【解答】解（1）∵b2=a2+c2﹣2accosB=cos45°
==8，∴．
（2）∵cos，
∴A=60°．

17．已知α，β∈（0，），且sin（α+2β）=sinα．
（1）求tan（α+β）﹣6tanβ的值；
（2）若tanα=3tanβ，求α的值．
【考点】两角和与差的正切函数；三角函数的化简求值．
【分析】（1）把已知等式变形，展开两角和与差的正弦，在转化为正切求得tan（α+β）﹣6tanβ的值；
（2）由（1）求出的tan（α+β）﹣6tanβ的值，展开两角和的正切，结合tanα=3tanβ求α的值．
【解答】解：（1）由sin（α+2β）=sinα，得sin[（α+β）+β]= sin[（α+β）﹣β]，
∴5sin（α+β）cosβ+5cos（α+β）sinβ=7sin（α+β）cosβ﹣7cos（α+β）sinβ，
得2sin（α+β）cosβ﹣12cos（α+β）sinβ=0，即tan（α+β）﹣6tanβ=0；
（2）由tan（α+β）﹣6tanβ=0，得，
又tanα=3tanβ，∴tan，代入上式得：，
解得：tanα=1，
∵α∈（0，），∴．

18．已知函数f（x）=sin2ωx﹣2sin2ωx的最小正周期为3π．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，若f（C）=1，AB=2，2sin2B=cosB+cos（A﹣C），求BC的长．
【考点】三角函数的周期性及其求法；三角函数中的恒等变换应用．
【分析】（1）由三角函数中的恒等变换得f（x）=2sin（2ωx+）﹣1，根据周期公式即可解得ω，可求当解析式；（2）根据（1）的表达式，解关于C的方程f（C）=1，结合C为三角形的内角算出C=，因此将等式2sin2B=cosB+cos（A﹣C）化成关于A的方程，整理得sin2A+sinA﹣1=0，解之即得sinA的值，利用正弦定理即可得解BC的长．
【解答】（本题满分为14分）
解：∵f（x）=sin2ωx﹣2sin2ωx=sin2ωx﹣（1﹣cos2ωx）=2sin（2ωx+）﹣1，…
∴依题意函数f（x）的最小正周期为3π，即=3π，解得ω=，
所以f（x）=2sin（x+）﹣1．…
（2）∵f（C）=2sin（+）﹣1=1，
∴sin（+）=1，
∵C∈（0，π），可得+∈（，），
∴+=，可得C=．…
∵在Rt△ABC中，A+B=，有2sin2B=cosB+cos（A﹣C），
∴2cos2A﹣sinA﹣sinA=0，即sin2A+sinA﹣1=0，解之得sinA=．…
∵0＜sinA＜1，
∴sinA=．…
∵AB=2，
∴由正弦定理可得：BC===﹣1．…

19．在金融危机中，某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2009根．现将它们堆放在一起．
（1）若堆放成纵断面为正三角形（每一层的根数比上一层根数多1根），并使剩余的圆钢尽可能地少，则剩余了多少根圆钢？
（2）若堆成纵断面为等腰梯形（每一层的根数比上一层根数多1根），且不少于七层，
（Ⅰ）共有几种不同的方案？
（Ⅱ）已知每根圆钢的直径为10cm，为考虑安全隐患，堆放高度不得高于4m，则选择哪个方案，最能节省堆放场地？
【考点】数列的应用．
【分析】（1）根据题意列出前n层可以堆积的圆钢的总数，列出不等式解不等式可得出答案；
（2）（Ⅰ）根据题中要求的堆积方式写出堆积的总圆钢数关于层数n的关系式，再根据n与2x+n﹣1的奇偶性不同讨论可能的堆积方案；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中求得的四种堆积方案以及题中圆钢的直径和堆积要求分别讨论符合条件的堆积方案，便可求出选择堆放41层这个方案，最能节省堆放场地
【解答】解：（1）由题意可知：第一层放1根，第二层放2根，第三层放3根，…第n层放n根，
∴n层一共放了Sn=根圆钢，
由题意可知Sn=≤2000，
解不等式得当n=62时，使剩余的圆钢尽可能地少，
此时剩余了56根圆钢；
（2）当纵断面为等腰梯形时，设共堆放n层，则从上到下每层圆钢根数是以x为首项、1为公差的等差数列，
从而nx+n（n﹣1）=2009，
即n（2x+n﹣1）=2×2009=2×7×7×41，
因n﹣1与n的奇偶性不同，
所以2x+n﹣1与n的奇偶性也不同，
且n＜2x+n﹣1，从而由上述等式得：
或或或，
所以共有4种方案可供选择．
（3）因层数越多，最下层堆放得越少，占用面积也越少，所以由（2）可知：
若n=41，则x=29，说明最上层有29根圆钢，最下层有69根圆钢，此时，两腰之长为400cm，上下底之长为280cm和680cm，从而梯形之高为200cm，
而200+10+10＜400，所以符合条件；
若n=49，则x=17，说明最上层有17根圆钢，最下层有65根圆钢，此时，两腰之长为480cm，上下底之长为160cm和640cm，从而梯形之高为240cm，显然大于4m，
不合条件，舍去；
综上所述，选择堆放41层这个方案，最能节省堆放场地．

20．已知数列{an}中，a2=1，前n项和为Sn，且Sn=．
（1）求a1；
（2）证明数列{an}为等差数列，并写出其通项公式；
（3）设lgbn=，试问是否存在正整数p，q（其中1＜p＜q），使b1，bp，bq成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．
【考点】数列的求和．
【分析】（1）令n=1，即可求a1；
（2）根据等差数列的定义即可证明数列{an}为等差数列，并写出其通项公式；
（3）根据等比数列的定义和通项公式，建立方程组进行求解即可得到结论．
【解答】解：（1）令n=1，则a1=S1==0
（2）由，即，①
得 ．②
②﹣①，得 （n﹣1）an+1=nan．③
于是，nan+2=（n+1）an+1．④
③+④，得nan+2+nan=2nan+1，即an+2+an=2an+1
又a1=0，a2=1，a2﹣a1=1，
所以，数列{an}是以0为首项，1为公差的等差数列．
所以，an=n﹣1
（3）假设存在正整数数组（p，q），使b1，bp，bq成等比数列，则lgb1，lgbp，lgbq成等差数列，
于是，
所以，（☆）．
易知（p，q）=（2，3）为方程（☆）的一组解
当p≥3，且p∈N*时，＜0，故数列{}（p≥3）为递减数列，
于是≤＜0，所以此时方程（☆）无正整数解．
综上，存在唯一正整数数对（p，q）=（2，3），使b1，bp，bq成等比数列