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二次函数知识点总结及典型例题
一、二次函数的概念和图像
1、二次函数的概念
一般地，如果，那么y叫做x 的二次函数。
叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：
①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。
3、二次函数图像的画法---五点法：
二、二次函数的解析式
二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：
（2）顶点式：
（3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。
三、抛物线中，的作用
（1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.
（2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线
，故：①时，对称轴为轴所在直线；②（即、同号）时，对称轴在轴左侧；③（即、异号）时，对称轴在轴右侧.
（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置.
当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：
①，抛物线经过原点; ②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .
四、二次函数的性质
1、二次函数的性质
函数
二次函数

图像
a>0
a<0

y

0 x

y

0 x

性质
（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；
（2）对称轴是x=，顶点坐标是
（，）；
（3）在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而增大，简记左减右增；
（4）抛物线有最低点，当x=时，
y有最小值，
（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；
（2）对称轴是x=，顶点坐标是
（，）；
（3）在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大
而增大；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x
的增大而减小，简记左增右减；

（4）抛物线有最高点，当x=时，
y有最大值，

五、二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。
因此一元二次方程中的，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。
当>0时，图像与x轴有两个交点；
当=0时，图像与x轴有一个交点；
当<0时，图像与x轴没有交点。
补充： 函数平移规律：左加右减、上加下减
六、二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。
如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；
若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，
如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，，当时，；
如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，，当时，。

典型例题
1. 已知函数，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2. 如图为抛物线的图像，A、B、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是 （ ）
A．a＋b=－1 　B． a－b=－1 C． b<2a　　　　　 D． ac<0

3. 二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（ ）.

4. 如图，已知二次函数的图象经过点（－1，0），（1，－2），当随的增大而增大时，的取值范围是　 　．

（1,-2）
-1

5. 在平面直角坐标系中，将抛物线绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（ ）．
A． B．
C． D．
6. 已知二次函数的图像如图，其对称轴，给出下列结果①②③④⑤，则正确的结论是（ ）

A ①②③④ B ②④⑤ C ②③④ D ①④⑤

7．抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：
x
…
－2
－1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…

从上表可知，下列说法中正确的是 　　 ．（填写序号）
①抛物线与轴的一个交点为（3,0）； ②函数的最大值为6；
③抛物线的对称轴是；　 　　 ④在对称轴左侧，随增大而增大．
8. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（－2，4），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，连结OA．
(1)求△OAB的面积；
(2)若抛物线经过点A．
①求c的值；

②将抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的内部（不包括△OAB的边界），求m的取值范围（直接写出答案即可）．

9．已知二次函数y= x 2+ x的图像如图．
（1）求它的对称轴与x轴交点D的坐标；
（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x轴、y轴的交点分别为A、B、C三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式；
（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由．

10. 如图，在平面直角坐标系xOy中，AB在x轴上，AB＝10，以AB为直径的⊙O′与y轴正半轴交于点C，连接BC，AC.CD是⊙O′的切线，AD⊥CD于点D，tan∠CAD＝，抛物线过A，B，C三点.
（1）求证：∠CAD＝∠CAB；
（2）①求抛物线的解析式；
②判定抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由；
（3）在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形.若存在，直接写出点P的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由.

11. 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD= 90°，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A（-1，0），B( -1，2)，D( 3，0)，连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON，若抛物线y=ax2+bx+c经过点D、M、N．
（1）求抛物线的解析式
（2）抛物线上是否存在点P．使得PA= PC．若存在，求出点P的坐标；若不存在．请说明理由。
（3）设抛物线与x轴的另—个交点为E．点Q是抛物线的对称轴上的—个动点，当点Q在什么位置时有最大？并求出最大值。
A
B
C
D
O
E
N
M
x
y
图

12．如图，抛物线y=x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）．
⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
⑵判断△ABC的形状，证明你的结论；
⑶点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值．

13.在平面直角坐标系中，如图1，将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC，相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上，设抛物线y=ax2+bx+c(a<0)过矩形顶点B、C.
（1）当n＝1时，如果a=－1，试求b的值；
（2）当n＝2时，如图2，在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN，使EF在线段CB上，如果M，N两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式；
（3）将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使得点B落到x轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点O，
①试求出当n=3时a的值；
②直接写出a关于n的关系式.
图1
图2
图3
…
…

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