第十一讲工程问题学生版.doc

第六讲 工程问题

教学目标

1. 熟练掌握工程问题的基本数量关系与一般解法；
2. 工程问题中常出现单独做，几人合作或轮流做，分析时一定要学会分段处理；
3. 根据题目中的实际情况能够正确进行单位“1”的统一和转换；
4. 工程问题中的常见解题方法以及工程问题算术方法在其他类型题目中的应用．

知识精讲

工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有抽象性,学生认知起来比较困难。在教学中,让学生建立正确概念是解决工程应用题的关键.
一． 工程问题的基本概念
定义 ： 工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题。
工作总量:一般抽象成单位“1”
工作效率：单位时间内完成的工作量
三个基本公式：工作总量=工作效率×工作时间，
工作效率=工作总量÷工作时间，
工作时间=工作总量÷工作效率;
二、为了学好分数、百分数应用题，必须做到以下几方面：
① 具备整数应用题的解题能力，解决整数应用题的基本知识，如概念、性质、法则、公式等广泛应用于分数、百分数应用题；
② 在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用；
③ 学会画线段示意图．线段示意图能直观地揭示“量"与“百分率”之间的对应关系，发现量与百分率之间的隐蔽条件，可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路,正确地进行分析、综合、判断和推理；
④ 学会多角度、多侧面思考问题的方法．分数、百分数应用题的条件与问题之间的关系变化多端，单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法．因此,在解题过程中，要善于掌握对应、假设、转化等多种解题方法,不断地开拓解题思路．
三、利用常见的数学思想方法:
如代换法、比例法、列表法、方程法等
抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系,转化出与所求相关的工作效率,最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案．一般情况下,工程问题求的是时间．

例题精讲

模块一、工程问题——变速问题
【例 1】 甲打一篇文稿，打完一半后吃晚饭,晚饭后每分钟比晚饭前多打32个字．前后共打50分钟,前25分钟比后25分钟少打640个字．文稿一共（ ）字．

【例 2】 工厂生产一批产品，原计划15天完成,实际生产时改进了生产工艺，每天生产产品的数量比原计划每天生产产品数量的多10件,结果提前4天完成了生产任务,则这批产品有 件。

【例 3】 甲、乙合作一件工程，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时提高，乙的工作效率比单独做时提高．甲、乙两人合作小时,完成全部工作的，第二天乙又单独做了小时，还留下这件工作的尚未完成，如果这件工作始终由甲一人单独来做，需要多少小时？

【巩固】 一项工程，甲独做需10天，乙独做需15天．如果两人合做，甲的工作效率就要降低,只能完成原来的，乙只能完成原来的．现在要8天完成这项工程，两人合做天数尽可能少,那么两人要合做多少天?

【例 4】 甲、乙两人合作清理400米环形跑道上的积雪，两人同时从同一地点背向而行各自进行工作，最初，甲清理的速度比乙快，中途乙曾用10分钟去换工具，而后工作效率比原来提高了一倍，结果从开始算起,经过1小时,就完成了清理积雪的工作,并且两人清理的跑道一样长，问乙换了工具后又工作了多少分钟？

【例 5】 甲、乙两人同时加工同样多的零件,甲每小时加工40个，当甲完成任务的时，乙完成了任务的还差40个．这时乙开始提高工作效率，又用了小时完成了全部加工任务．这时甲还剩下20个零件没完成．求乙提高工效后每小时加工零件多少个？

【例 6】 甲、乙两项工程分别由一、二队来完成．在晴天,一队完成甲工作要12天，二队完成乙工程要15天；在雨天，一队的工作效率要下降，二队的工作效率要下降．结果两队同时完成工作，问工作时间内下了多少天雨?

【例 7】 一项挖土万工程，如果甲队单独做，16天可以完成，乙队单独做要20天能完成．现在两队同时施工，工作效率提高20％．当工程完成时，突然遇到了地下水，影响了施工进度,使得每天少挖了47.25方土，结果共用了10天完成工程．问整工程要挖多少方土?

模块二、工程问题方法与技巧
（一）整体分析法
【例 8】 几个同学去割两块草地的草,甲地面积是乙地面积的4倍，开始他们一起在甲地割了半天，后来留下12人割甲地的草，其余人去割乙地的草,这样又割了半天，甲、乙两地的草同时割完了，问：共有多少名学生?

【巩固】 一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作，甲工地的工作量是乙工地的工作量的倍．上午去甲工地的人数是去乙工地人数的倍,下午这批工人中有的人去甲工地．其他工人到乙工地．到傍晚时，甲工地的工作已做完，乙工地的工作还需名工人再做天，那么这批工人有多少人？

【例 9】 有两个同样的仓库，搬运完其中一个仓库的货物，甲需要6小时，乙需要7小时，丙需要14小时．甲、乙同时开始各搬运一个仓库的货物,开始时,丙先帮甲搬运,后来又去帮乙搬运，最后两个仓库的货物同时搬完．则丙帮甲 小时，帮乙 小时．

【巩固】 搬运一个仓库的货物，甲需小时，乙需小时，丙需小时．有同样的仓库和，甲在仓库，乙在仓库同时开始搬运货物，丙开始帮甲搬运，中途又转向帮乙搬运，最后同时搬完两个仓库的货物．丙帮助甲、乙各搬运了几小时？

【例 10】 一项工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成．若甲先做1小时,然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时,……,两人如此交替工作，请问:完成任务时,共用了多少小时?

【巩固】 一件工程,甲单独做要小时，乙单独做要小时，如果接甲、乙、甲、乙．．．顺序交替工作，每次小时，那么需要多长时间完成？

【例 11】 公园水池每周需换一次水．水池有甲、乙、丙三根进水管．第一周小李按甲、乙、丙、甲、乙、丙、……的顺序轮流打开1小时，恰好在打开水管整数小时后灌满空水池．第二周他按乙、丙、甲、乙、丙、甲……的顺序轮流打开1小时，灌满一池水比第一周少用了15分钟；第三周他按丙、乙、甲、丙、乙、甲……的顺序轮流打开1小时,比第一周多用了15分钟．第四周他三个管同时打开，灌满一池水用了2小时20分，第五周他只打开甲管，那么灌满一池水需用________小时．

（二)等量代换

【例 12】 甲、乙两队合作挖一条水渠要天完成，若甲队先挖天后,再由乙队单独挖天，共挖了这条水渠的．如果这条水渠由甲、乙两队单独挖，各需要多少天？

【例 13】 一项工程,甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天,乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天.问这项工程由甲独做需要多少天？

（三)比例法
【例 14】 一批零件平均分给甲、乙两人同时加工，两人工作小时，共完成这批零件的。已知甲与乙的工作效率之比是,那么乙还要几小时才能完成分配的任务?

【例 15】 甲、乙、丙三村准备合作修筑一条公路，他们原计划按派工，后因丙村不出工，将他承担的任务由甲、乙两村分担，由丙村出工资360元，结果甲村共派出45人,乙村共派出35人，完成了修路任务，问甲、乙两村各应分得丙村所付工资的多少元?

【例 16】 甲、乙、丙三人承包一项工程，发给他们工资共1800元，三人完成这项工程的具体情况是：甲、乙两人合作6天完成了工程的，因为甲有事，由乙、丙合作2天完成余下工程的，以后三人合作5天完成了这项工程，按完成量的多少来付劳动报酬,甲、乙、丙各得多少元？

【例 17】 放满一个水池，如果同时打开1，2号阀门，则12分钟可以完成；如果同时打开1，3号阀门，则15分钟可以完成；如果单独打开1号阀门,则20分钟可以完成；那么,如果同时打开1，2，3号阀门， 分钟可以完成。

（四）列表法
【例 18】 放满一个水池，如果同时打开1，2，3号阀门，则20分钟可以完成;如果同时打开2,3，4阀门，则21分钟可以完成;如果同时打开1，3，4号阀门，则28分钟可以完成；如果同时打开1，2，4号阀门，则30分钟可以完成．问：如果同时打开1，2,3,4号阀门,那么多少分钟可以完成?

【例 19】 某工程如果由第一、二、三小队合干需要12天才能完成；如果由第一、三、五小队合干需要7天才能完成；如果由第二、四、五小队合干需要8天才能完成；如果由第一、三、四小队合干需要42天才能完成．那么这五个小队一起合干需要多少天才能完成这项工程？

【巩固】 、、、、五个人干一项工作,若、、、四人一起干需要6天完成；若、、、四人一起干需要8天完工;若、两人一起干需要12天完工．那么，若一人单独干需要几天完工?

家庭作业：
【作业1】 要发一份资料,单用A传真机发送，要10分钟；单用B传真机发送,要8分钟;若A、B同时发送，由于相互干扰，A、B每分钟共少发0。2页.实际情况是由A、B同时发送,5分钟内传完了资料（对方可同时接收两份传真）,则这份资料有________页。

【作业2】 甲、乙两个工程队修路，最终按工作量分配8400元工资．按两队原计划的工作效率,乙队应获5040元．实际上从第5天开始，甲队的工作效率提高了1倍，这样甲队最终可比原计划多获得960元．那么两队原计划完成修路任务要多少天？

【作业3】 甲、乙两个工程队分别负责两项工程．晴天，甲完成工程需要10天，乙完成工程需要16天；雨天，甲和乙的工作效率分别是晴天时的和．实际情况是两队同时开工、同时完工．那么在施工期间，下雨的天数是 天．

【作业4】 一批工人到甲、乙两个工地工作,甲工地的工作量是乙工地的工作量的倍，上午在甲工地工作的人数是乙工地人数的3倍，下午这批工人中的在乙工地工作。一天下来，甲工地的工作已完成，乙工地的工作还需4名工人再做一天。这批工人有 人。

【作业5】 甲、乙、丙三人同时分别在3个条件和工作量相同的仓库工作，搬完货物甲用10小时，乙用12小时，丙用15小时．第二天三人又到两个大仓库工作,这两个仓库的工作量相同．甲在仓库,乙在仓库，丙先帮甲后帮乙，用了16个小时将两个仓库同时搬完．丙在仓库搬了多长时间？

【作业6】 一项工程，乙单独做要天完成．如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整天数完成；如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，那么比上次轮流的做法多用半天完工．问：甲单独做需要几天？

【作业7】 一份文件，如果甲抄10小时，乙抄10小时可以抄完；如果甲抄8小时，乙抄13小时也可以抄完．现在甲先抄2小时，剩下的甲、乙合作，还需要几小时才能完成？

【作业8】 一项工程，甲先做若干天后由乙继续做,丙在工程完成时前来帮忙,待工程完成时离去，结果恰按计划完成任务，其中乙做了工程总量的一半．如果没有丙的参与，仅由乙接替甲后一直做下去，将比计划推迟天完成；如果全由甲单独做，则可比计划提前天完成．还知道乙的工作效率是丙的倍,问：计划规定的工期是多少天?

【作业9】 某市有一项工程举行公开招标，有甲、乙、丙三家公司参加竞标．三家公司的竞标条件如下：
公司名称
单独完成工程所需天数
每天工资/万元
甲
10

乙
15

丙
30

⑴ 如果想尽快完工，应该选择哪两家公司合作？需要多少天完成？
⑵ 如果想尽量降低工资成本,应该选择哪两家公司合作？完工时要付工资多少元?

【作业10】 一项工程，甲单独完成需l2小时,乙单独完成需15小时。甲乙合做1小时后，由甲单独做1小时，再由乙单独做1小时，……,甲、乙如此交替下去，则完成该工程共用________小时。

【作业11】 规定两人轮流做一个工程，要求第一个人先做1个小时，第二个人接着做一个小时，然后再由第一个人做1个小时,然后又由第二个人做1个小时，如此反复，做完为止．如果甲、乙轮流做一个工程需要小时，而乙、甲轮流做同样的工程只需要小时，那乙单独做这个工程需要多少小时？

【作业12】 一项工程,甲15天做了后,乙加入进来，甲、乙一起又做了，这时丙也加入进甲、乙、丙一起做完．已知乙、丙的工作效率的比为3：5,整个过程中,乙、丙工作的天数之比为2：1，问题中情形下做完整个工程需多少天？