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(完整word)文科概率与统计基础知识
概率与统计

一、统计
1．三种抽样方法的比较

类别
共同点
特点
相互联系
适用范围
简单随机抽样
①抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等;②每次抽出个体后不再放回，即不
放回抽样。
从总体中逐个抽
取.

总体个数较少.

系统抽样
将总体平均分成几部分，按预先制定的规则在各
部分中抽取1个个体.
系统:在起始部分取样时，采用简单随机抽样，其余部分等距抽。
分层：各层抽样时，采用简单随机抽样或系统抽样(层的容量大时可用系统抽样）.
总体个数较多.

分层抽样
将总体分成几层,按各层个体
数之比抽取.
总体由差
异明显的几部分组成。

2．常用的统计图表：一“表”(频率分布表）；两“图"（频率分布直方图和茎叶图)
（1)频率分布直方图
①小长方形的面积=组距×=频率;
②各小长方形的面积之和等于1；
③小长方形的高=,所有小长方形的高的和为．
【注意】直方图的纵轴（小长方形的高)一般是频率除以组距的商(而不是频率)，横轴一般是数据的大小,小长方形的面积表示频率．
（2）茎叶图
在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好．
3．用样本的数字特征估计总体的数字特征
(1）众数、中位数、平均数
数字特征
样本数据
频率分布直方图
众数
出现次数最多的数据
取最高的小长方形底边中点
的横坐标
中位数
将数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数）
把频率分布直方图划分成左右两个面积相等的分界线与
轴交点的横坐标
平均数
样本数据的算术平均数
每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之
和
(2）平均数．
方差．
标准差．
【提醒】标准差、方差越大,数据的离散程度越大，越不稳定．
4． 变量间的相关关系
知识点分析
1、线性回归方程：（叫做解释变量，叫做预报变量）
线性回归方程系数公式:
（ 公式说明：回归直线过样本的中心点 ，也就是平均值点.）
2、相关系数公式

3、几个结论：
（1）回归直线过样本的中心点。
（2）b〉0时，y与x正相关，散点图呈上升趋势；b<0时，y与x负相关，散点图呈下降趋势。
（3)斜率b的含义（举例)：
如果回归方程为y=2。5x+2， 说明x增加1个单位时，y平均增加2.5个单位;
如果回归方程为y=－2。5x+2，说明x增加1个单位时,y平均减少2。5个单位。
（4）相关系数表示变量的相关程度。 范围:，即
越大,相关性越强。时，y与x正相关;时,y与x负相关。
（5)相关指数表示模型的拟合效果.范围：
越大，拟合效果越好,(这时：残差平方和越小，残差点在带状区域内的分布比较均匀，带状区域宽度越窄，拟合精度越高）.
表示解释变量对于预报变量变化的贡献率。
例如：，表明“解释了64%的变化”，或者说“的差异有64％是由引起的"。
（6)线性回归模型 ， 其中叫做随机误差。（是由和共同确定的）
二、概率
1．概率的五个基本性质
（1）随机事件的概率：0≤≤1．
(2)必然事件的概率为1．
（3)不可能事件的概率为0．
（4）如果事件与事件互斥（不可能同时发生）,则．
(5)如果事件与事件互为对立事件（不会同时发生,但一定有一个发生）,那么，即．
对立必互斥，互斥未必对立．
2．古典概型
(1）特点：①有限性，②等可能性．
(2）概率公式：．

3．几何概型
（1）特点：①无限性，②等可能性．

(2)概率公式：．
三、独立性检验
（一）知识点分析
1、 2×2列联表:统计被调查者的两种状态，每种状态又分两种情况的调查结果表。对于性别变量,其取值为男和女两种，这种变量的不同值表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量.
2、卡方统计量：为了研究事件X与Y的关系,经调查得到一张2×2列联表，如下表所示：

Y1
Y2
合计
X1
a
b
a+b
X2
c
d
c+d
合计
a+c
b+d
n=a+b+c+d
独立性检验原理：也叫假设性检验（类似反证法原理),一般情况下，假设分类变量X和Y之间没有关系，通过计算值，然后查表对照相应的概率P，发现这种假设正确的概率P很小，从而推翻假设，最后得出X和Y之间有关系的可能性为（1－P)，也就是“X和Y有关系”。（表中的就是的观测值，即)
统计量(读做“卡方”)，它的表达式是：
独立性检验临界值表
P(k2〉k)
0.50
0.40
0.25
0.15
0。10
0.05
0。025
0。010
k
0。455
0.708
1。323
2。072
2.706
3。841
5。024
6.635
（表中的K是理论值,是实际观测值，越大，说明变量间越有关系)

（二）独立性检验举例
例1、某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况,具体数据如下表:

非统计专业
统计专业
男
13
10
女
7
20
为了检验主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，查对临界值
P（k2>k）
0。10
0.05
0。025
0。010
k
2.706
3.841
5.024
6.635
根据表中数据，得到。所以有 的把握认为主修统计专业与性别有关系。

例2、某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节
目观众的抽样调查中,随机抽取了100名电视观
众，相关的数据如表所示：

(1）由表中数据分析，收看新闻节目的观众是
否与年龄有关？

（2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名?

（3）在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率。
独立性检验临界值表
P（k2〉k）
0.10
0.05
0.025
0.010
k
2.706
3.841
5.024
6.635
参考公式与数据：