公开课教案《折纸法探究抛物线的定义和标准方程》.doc

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教师公开课课时计划

科目
数学
课题
折纸法探究抛物线的定义及标准方程
任课教师
王东纬
职称
中学数学一级
上课班级

上课日期

上课地点

【教学目的】 1、通过折纸法画抛物线让学生探究抛物线的定义及标准方程；
2、让学生深刻体会抛物线是到定直线的距离与到定点的距离相等的点的轨迹；
3、让学生学会通过挖掘事物隐含的细节,探究事物的本质.
【教学重点】 让学生理解抛物线是到定直线的距离与到定点的距离相等的点的轨迹
【教学难点】 引导学生从折纸法画抛物线中挖掘有用的探究细节
【课的类型】 新授课
【讲授方法】 讲练结合、活动探究、引导提问
【教 具】 黑板、小黑板、三角板、16k纸张若干
【教学过程】

一、复习引入：
我们在学解析几何之前已经接触过抛物线，同学们回想一下，你是在哪个知识点学习过抛物线的？（二次函数的图象)
画抛物线需要具备哪几个要素?(三个要素,即对称轴、顶点、开口方向）
今天，我们所学习的抛物线并非完全是二次函数的图象,而是从解析几何的角度去研究它。我们先来看抛物线在解析几何中的定义。

二、新课内容：
1、抛物线的定义:
一般地，平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点叫做抛物线的焦点，定直线为抛物线的准线。
接下来,我们用折纸法画抛物线,以加深对抛物线定义的理解.

2、 折纸法画抛物线：（用小黑板折叠演示）
(1）取一张矩形纸，以矩形的一边为,在矩形内部取一定点；

（2） 过作一垂线垂直于直线，并交直线于点，取的中点；

(3)开始折纸片，使得边正好通过F点;

（4） 在直线上找出点关于折痕对称的点；
（5） 过点作垂直于的直线,交折痕于点；
（6） 重复上述（3）~（5）的步骤分别作出点；
（7） 将上述所作的点和点从左到右依次用光滑的曲线连接，即可得到一条抛物线的图象。

3、 学生自己动手完成上述画法:（每位学生发给一张16k纸张,现场操作，并展示他们的成功作品。）

4、 抛物线定义的探究:（引导设问）

（1） 折纸法画抛物线的过程中，矩形纸张内部的点和矩形纸张的边缘分别是抛物线的什么部分？
（2） 线段的中点是抛物线的什么部分？
（3） 点为什么一定是抛物线上的点？怎么证明?
（4） 图中的每一条折痕与抛物线有什么位置关系？

【小结】抛物线上的点到抛物线的 焦点F 的距离等于到抛物线的 准线l 的距离。

5、 抛物线标准方程的探究:
以为原点，以为轴正方向,建立平面直角坐标系,令，则,准线的方程为。
设为抛物线上的任意一点，点到准线的距离为，根据抛物线的定义，则
根据两点距离公式及点到直线距离公式，有
两边平方得，
展开并整理得,
同理，分别以为轴负方向、轴正方向、轴负方向建立平面直角坐标系,即根据焦点所在的不同位置，便可得到抛物线的其他三种形式的标准方程。汇总如下表所示:

三、课堂总结：
从本节课我们认识到抛物线是到其 焦点F 的距离等于到其 准线l 的距离的点的轨迹。接下来我们将进一步利用抛物线的焦点坐标、准线方程等性质进行解题。具体有待详细展开。

四、课后作业：
思考抛物线的后三种形式的标准方程是如何推导出来的？如何才能更好地记住抛物线的标准方程及其性质的变化规律呢?把你的想法写在练习本中，下节课抽查提问。