与四边形有关二次函数综合题.doc

(四) 与四边形有关的二次函数综合题
1．（07绍兴）如图，在直角坐标系中，O为原点，点A、C的坐标分别为（2，0）、（1，3）．将△OAC绕AC的中点旋转180°，点O落到点B的位置．抛物线y＝ax2－2x经过点A，点D是该抛物线的顶点．
(1) 求a的值，点B的坐标；
(2) 若点P是线段OA上一点，且ÐAPD＝ÐOAB，求点P的坐标；
(3) 若点P是x轴上一点，以P、A、D为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点在y轴上．写出点P的坐标(直接写出答案即可)．

2．（07重庆）已知：在Rt△OAB中，ÐOAB＝90°，ÐBOA＝30°，AB＝2，若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内，将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．
（1）求点C的坐标；
（2）若抛物线y＝ax2＋bx（a≠0）经过C、A两点，求此抛物线的解析式；
（3）若抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一点，过P作y轴的平行线，交抛物线于点M．问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（注：抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标为，对称轴公式为）．
A
C
B
O
x
y
28题图

3．（07河南）如图，对称轴为直线x＝的抛物线经过点A(6，0)和B(0，4)．
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）设点E(x，y)是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．求□OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
①当□OEAF的面积为24时，请判断□OEAF是否为菱形？
②是否存在点E，使□OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
x
y
O
E
F

x＝

4．（06舟山）如图，已知抛物线y＝ax2＋4ax＋t(a>0)交x轴于A、B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E，点B的坐标为（－1，0）．
（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；
（2）过点C作x轴的平行线交抛物线的对称轴于点P，你能判断四边形ABCP是什么四边形吗？并证明你的结论；
（3）连结CA与抛物线的对称轴交于点D，当ÐAPD＝ÐACP时，求抛物线的解析式．

5．（06湖南）如图，已知二次函数图像的顶点坐标为C（1，0），直线y＝x＋m与该二次函数的图像交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上．
（1）求m的值及这个二次函数的关系式；
（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图像交于E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）D为直线AB与这个二次函数图像对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．

6．（05福州）已知抛物线与y轴的交于C点，C点关于抛物线对称轴的对称点为C′。
（1）求抛物线的对称轴及C、C′的坐标（可用含m的代数式表示）；
（2）如果点Q在抛物线的对称轴上，点P在抛物线上，以点C、C′、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求Q点和P的坐标（可用含m的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，求出平行四边形的周长。

7．(08常州)如图,抛物线与x轴分别相交于点B、O,它的顶点为A,连接AB,把AB所的直线沿y轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P是直线l上一动点.
（1）求点A的坐标;
（2）以点A、B、O、P为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标;
（3）设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S,点P的横坐标为x,当时,求x的取值范围.

8．(08十堰)已知抛物线与轴的一个交点为A(-1,0)，与y轴的正半轴交于点C．
⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与轴的另一个交点B的坐标；
⑵当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式；
⑶坐标平面内是否存在点，使得以点M和⑵中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

9．（08镇江）探索研究
如图，在直角坐标系中，点为函数在第一象限内的图象上的任一点，点的坐标为，直线过且与轴平行，过作轴的平行线分别交轴，于，连结交轴于，直线交轴于．
（1）求证：点为线段的中点；
（2）求证：①四边形为平行四边形；
②平行四边形为菱形；
（3）除点外，直线与抛物线有无其它公共点？并说明理由．
x
l
Q
C
P
A
O
B
H
R
y

10．（08常德）如图，已知四边形ABCD是矩形，且MO=MD=4,MC=3.
(1)求直线BM的解析式;
(2)求过A、M、B三点的抛物线的解析式;
(3)在(2)中的抛物线上是否存在点P,使△PMB构成以BM为直角边的直角三角形?若没有,请说明理由;若有,则求出一个符合条件的P点的坐标.

A
D
y
O
x
C
B
M

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