选修2-2测试题.doc

姓名:__________班级:__________考号:__________

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2013—2014学年高二年级数学期末考试卷
题号
一
二
三
总分
得分

说明：本试卷分为第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷(非选择题）两部分。
满分150分，考试时间120分钟.
考试范围： 选修2-2 命题人 审核人:

第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题
1。设曲线在点处的切线与直线平行,则＝（ ）
A．; B．； C．； D．
2。点P在曲线y=x3—x+，上移动，设点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）
A．[0，] B．[0，）∪[,π） C．［，π） D．（，］
3.设f′（x）是函数f（x）的导函数，y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象最有可能的是（ ）
A． B．
C． D．
4.设f（x）=xlnx，若f′（x）=2，则x=（ )
A．e2 B．e C． D．ln2
5.若（x-2)+yi和3x-i互为共轭复数，则实数x，y的值是（ ）
A．x=3且y=3 B．x=5且y=1 C．x=-1且y=-1 D．x=-1且y=1
6。已知i是虚数单位，若（x—i）i=y+2i（x，y∈R）,则x，y的值分别是（ ）
A．x=-1,y=2 B．x=2，y=1 C．x=1,y=-2 D．x=1，y=2
7。已知i1=i，i2=—1，i3=-i,i4=1，i5=i，…由此可猜想i2010=（ ）
A．1 B．-1 C．I D．-i
8。黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案,则第n个图案中有白色地面砖的块数是（ ）
A．4n+2 B．4n-2
C．2n+4 D．3n+3
9。对于任意的两个实数对（a，b）和（c，d），规定：（a，b）=(c,d），当且仅当a=c，b=d；运算“⊗"为：（a，b）⊗（c，d)=（ac-bd，bc+ad）；运算“⊕”为：（a,b）⊕（c，d）=（a+c，b+d),设p，q∈R，若（1,2）⊗(p，q）=（5，0），则（1，2）⊕(p，q)=（ ）
A．（4,0） B．(2，0) C．(0，2） D．(0，-4）
10。观察下列各式71=7，72=49,73=343，74=2401,75=16807…则72012的末尾两位数是( ）
A．01 B．43 C．49 D．07

第Ⅱ卷（非选择题)
二、填空题
11。现有一个关于平面图形的命题：如图,同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为．类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为    ．
12.由直线x+y-2=0，曲线y=x3以及x轴所围成的封闭图形的面积为    ．
13。若复数(a2—3a+2）+(a—1）i是纯虚数，则实数a=    ．
14.函数在上的最大值为              .
15.已知某生产厂家的年利润y（单位:万元）与年产量x（单位：万件）函数关系式为，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为    ．

三、解答题
16.设复数z=lg(m2-2m-2)+（m2+3m+2)i，试求实数m的取值范围，使得：
(1）z是纯虚数;
(2)z是实数；
（3）z对应的点位于复平面的第二象限．

17.已知函数．
(1）求函数的极值；
（2）求函数f(x）的单调区间．

18. 已知i是虚数单位，复数z满足 （1+2i）z=4+3i，求复数z．

19。已知数列｛an｝的前n项和为Sn，a1=3,满足，
(1）求a2，a3，a4的值；
（2）猜想an的表达式．

20。已知a,b∈R,可以证明：

根据上述不等式，写出一个更一般的结论，并加以证明．

21. 若函数f(x）＝ax3－bx＋4，当x＝2时,函数f（x)有极值－。
（1)求函数的解析式．
（2)若方程f（x）＝k有3个不同的根，求实数k的取值范围．

参考答案
一、选择题
1.A
【解析】
试题分析:根据题意，由于,且曲线在点处的切线的斜率为2a与直线平行，则可知2a等于直线的斜率2，即2a=2，a=1，故可知答案为A.
考点：导数的几何意义
点评：主要是考查了导数求解切线方程的运用，属于基础题。
2.分析：根据导数的几何意义可知切线的斜率即为该点处的导数,再根据导数的取值范围求出斜率的范围,最后再根据斜率与倾斜角之间的关系k=tanα，求出α的范围即可．
解答：解：∵tanα=3x2—1，
∴tanα∈［-1，+∞）．
当tanα∈[0,+∞）时,α∈[0，）；
当tanα∈［-1，0)时,α∈[，π）．
∴α∈[0,)∪［，π）
故选B．
点评：此题考查了利用导数研究曲线上某点切线的方程，直线倾斜角与斜率的关系，以及正切函数的图象与性质．要求学生掌握导函数在某点的函数值即为过这点切线方程的斜率，且直线的斜率为倾斜角的正切值，掌握正切函数的图象与性质．
3。分析：先根据导函数的图象确定导函数大于0 的范围和小于0的x的范围,进而根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间．
解答：解：由y=f’（x）的图象易得当x＜0或x＞2时,f’（x)＞0，
故函数y=f（x）在区间(-∞，0）和（2,+∞）上单调递增；
当0＜x＜2时，f’（x）＜0，故函数y=f（x）在区间（0，2）上单调递减;
故选C．
点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．
4.分析：利用乘积的运算法则求出函数的导数，求出f'（x）=2解方程即可．
解答：解：∵f（x）=xlnx
∴
∵f′（x0)=2
∴lnx+1=2
∴x=e,
故选B．
点评：本题考查两个函数积的导数及简单应用．导数及应用是高考中的常考内容，要认真掌握，并确保得分．
5。分析：共轭复数的实部相等，虚部互为相反数．由此建立关于x、y的方程组，解之即可得到实数x，y的值．
解答：解：∵（x-2）+yi和3x-i互为共轭复数，
∴，解之得
故选：D
点评：本题给出含有字母参数的两个复数互为共轭复数，求x、y的值．着重考查了复数的基本概念和二元方程组的解法等知识，属于基础题．
6。分析：由题意可得 1+xi=y+2i，再根据两个复数相等的充要条件求得x，y的值．
解答：解：由（x—i）i=y+2i(x，y∈R），可得 1+xi=y+2i，∴，
故选B．
点评：本题主要考查两个复数相等的充要条件，属于基础题．
7。分析:i的幂的运算成周期出现，故可求．
解答：解：由题意i的幂的运算成周期为4出现，故i2010=i502×4+2=i2=-1，
故选B．
点评：本题主要考查i的幂的运算，关键是发现其成周期出现,属于基础题．
8。分析：本题考查的是归纳推理,处理的方法是，由已知的图案中分析出白色地面砖的块数与图形序号n之间的关系，并由此猜想数列的通项公式,解答问题．
解答：解:方法一：（归纳猜想法）
观察可知：除第一个以外，每增加一个黑色地板砖，相应的白地板砖就增加四个，
因此第n个图案中有白色地面砖的块数是一个“以6为首项，公差是4的等差数列的第n项"．
故第n个图案中有白色地面砖的块数是4n+2
方法二:（特殊值代入排除法）
或由图可知，当n=1时，a1=6，可排除B答案
当n=2时,a2=10，可排除CD答案．
故答案为A
点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．
9.分析：本题考查的简单的合情推理，是一个新运算,我们只要根据运算的定义:（a，b)⊗（c，d）=(ac-bd，bc+ad)；运算“⊕"为：(a，b）⊕(c,d）=(a+c,b+d)，结合(1,2）⊗（p，q)=（5,0）就不难列出一个方程组，解方程组易求出p，q的值，代入运算公式即可求出答案．
解答：解：由(1,2）⊗（p，q)=（5，0）得，
所以（1，2）⊕(p，q)=(1，2)⊕(1，-2）=（2，0），
故选B．
点评:这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难",处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果．
10.分析:通过观察前几项,发现末两位数字分别为49、43、01、07、…，以4为周期出现重复，由此不难求出72012的末两位数字．
解答:解：根据题意，得72=49，73=343，74=2401，75=16807,76=117649，77=823543，78=5764801,79=40353607…，
发现：74k-2的末两位数字是49，74k-1的末两位数字是43，74k的末两位数字是01，
74k+1的末两位数字是49，（k=1、2、3、4、…）
∵2012=503×4
∴72012的末两位数字为01，
故选A．
点评：本题以求7n（n≥2）的末两位数字的规律为载体，考查了数列的通项和归纳推理的一般方法的知识，属于基础题．
二、填空题
11.分析：首先平面正方形的知识可知一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为，结合空间正方体的结构特征，即可类比推理出两个两个正方体重叠部分的体积．
解答：解：∵同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，
则这两个正方形重叠部分的面积恒为，
类比到空间有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，
则这两个正方体重叠部分的体积恒为，
故答案为．
点评：本题主要考查类比推理的知识点，解答本题的关键是根据平面中正方形的性质类比推理出空间正方体的性质特征，本题难度不是很大．
12。分析：先求出两曲线的交点坐标（1，1），再由面积与积分的关系将面积用积分表示出来，由公式求出积分，即可得到面积值．
解答:解：由题意令 解得交点坐标是（1,1)
故由直线x+y—2=0，曲线y=x3以及x轴围成的图形的面积为：
∫1x3dx+∫12（2—x）dx=x4 +（2x-x2） =+=．
故答案为：
点评：本题考查定积分在求面积中的应用,解答本题关键是根据题设中的条件建立起面积的积分表达式，再根据相关的公式求出积分的值,用定积分求面积是其重要运用，掌握住一些常用函数的导数的求法是解题的知识保证．
13.分析：利用复数Z=a+bi为纯虚数的条件a=0，b≠0可得关于a的方程组,解方程可求结果,舍去不合题意的结果即可．
解答:解：∵复数（a2-3a+2）+（a-1)i是纯虚数,
所以 即
得a=2
故答案为：2
点评：本题主要考查了复数的基本概念,本题解题的关键是复数Z=a+bi为纯虚数的条件a=0，b≠0，属于基础题．
14.
【解析】
试题分析：因为,所以,很容易得到>0在时恒成立,所以函数在上是单调递增的，所以时，取最大值，最大值为。
考点:利用导数研究函数的最值。
点评：在做选择或填空时，我们可以把求最值的过程进行简化，既不用判断使=0成立的点是极大值点还是极小值点,直接将极值点和端点处的函数值进行比较,就可判断出最大值和最小值.
15.分析：求出函数的导函数，由导函数等于0求出极值点，结合实际意义得到使该生产厂家获取最大年利润的年产量．
解答:解:由，得:y′=—x2+81,
由-x2+81=0，得:x1=-9（舍），x2=9．
当x∈（0，9)时，y′＞0，函数为增函数，
当x∈（9,+∞）时,y′＜0，函数为减函数，
所以当x=9时，函数有极大值，也就是最大值，为（万元)．
所以使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．
故答案为9万件．
点评：本题考查了函数在某点取得极值的条件,考查了运用导函数判断原函数的单调性，此题是基础题．
三、解答题
16。分析：（1）复数为纯虚数，可得它的实部为0且虚部不为0,由此建立关于m的关系式,解之即可得到实数m的值;
（2）复数为实数,可得它的虚部为0，因此建立关于m的方程，解之即可得到实数m的值；
(3）z对应的点位于复平面的第二象限，说明它的实部为负数而虚部为正数，由此建立关于m的二次不等式组,解之即可得到实数m的取值范围．
解答：解：(1）若z=lg（m2-2m-2）+(m2+3m+2）i是纯虚数,则可得，即，解之得m=3(舍去—1)；…(3分）
（2）若z=lg（m2—2m—2）+（m2+3m+2）i是实数，则可得
m2+3m+2=0，解之得m=—1或m=-2…（6分）
（3）∵z=lg（m2-2m-2)+（m2+3m+2）i对应的点坐标为（lg(m2—2m—2），m2+3m+2)
∴若该对应点位于复平面的第二象限，则可得，即，
解之得-1＜m＜或1+＜m＜3．…（10分）
点评：本题给出复数的实部和虚数都含有参数m，求复数满足条件时,实数m的取值范围．着重考查了复数的基本概念、二次不等式和方程的解法等知识，属于基础题．
17.分析：（1）求出f′（x）,根据函数单调性及极值的定义即可求得；
（2）借助（1）问的结论可求．
解答：解：(1）f′(x)=x2-4=(x+2）（x—2），
当x＜—2时，f′(x）＞0,f（x）单调递增;当-2＜x＜2时,f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞2时，f′（x)＞0，f（x)单调递增．
所以当x=—2时，f（x)有极大值f（—2）=—+8+4=,
当x=2时，f（x）有极小值f（2)=-8+4=—．
（2）由（1）知,f（x）的单调增区间为:（-∞,-2）,（2，+∞）；单调减区间为:（-2，2）．
点评:本题考查导数与函数的极值及单调性问题,属基础题．
18.分析：由题意可得 z=，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，运算求得结果．
解答:解：由复数z满足 (1+2i)z=4+3i，可得 z====2-i,
即 z=2—i．
点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．
19.分析：（1)由题设条件,分别令n=2和n=3，4，能够得到a2，a3，a4的值
（2）由a2，a3，a4的值，猜想an的表达式．
解答:解：(1）因为a1=3，且Sn=6—2an+1（n∈N*)，所以S1=6—2a2=a1=3,解得a2=,
又S2=6—2a3=a1+a2=3+,解得a3=，
S3=6—2a4=a1+a2+a3=3++，所以有a4=；
（2)由（1）知a1=3=
,a2==,a3==，a4==；
猜想an=（n∈N*）．
点评:本题考查数列的性质和应用,解题时要认真审题，注意数列递推式的合理运用，属于中档题．

20. 分析：一般性结论为:已知a，b∈R，均为正数，
若m+n=1则ma2+nb2≥（ma+nb)2，利用分析法证明即可．
解答：解：一般性结论为：已知a，b∈R,均为正数，
若m+n=1则ma2+nb2≥(ma+nb）2（4分）
证明:要证ma2+nb2≥（ma+nb）2
即证ma2+nb2≥m2a2+n2b2+2mnab
即证m（1—m）a2+n（1—n）b2-2mnab≥0又m+n=1
故即证mn(a2+b2-2ab)≥0（6分）
即证mn（a-b）2≥0
因为m，n为正数（a—b）2≥0
故mn（a-b）2≥0显然成立,所以原命题成立．(8分)
点评：本题考查类比推理，考查分析法的运用，属于基础题．

21。（1） f（x）＝x3－4x＋4.(2)－〈k〈。
【解析】
试题分析：f′(x)＝3ax2－b。
（1）由题意得解得
故所求函数的解析式为f(x)＝x3－4x＋4.
(2）由（1)可得f′(x)＝x2－4＝（x－2）(x＋2），
令f′（x）＝0，得x＝2或x＝－2.
当x变化时，f′（x),f（x）的变化情况如下表：
x
（－∞，－2）
－2
(－2,2)
2
(2，＋∞）
f′（x)
＋
0
－
0
＋
f(x）



－

因此，当x＝－2时，f(x)有极大值，
当x＝2时，f（x)有极小值－，
所以函数f(x）＝x3－4x＋4的图象大致如图所示．

若f(x)＝k有3个不同的根，则直线y＝k与函数f（x)的图象有3个交点，所以－〈k<.
考点:本题主要考查函数的解析式,应用导数研究函数的单调性、极值。
点评：中档题，利用导数研究函数的单调性、极值、最值，是导数的应用中的基本问题。本题（II）应用导数,通过研究函数的单调性、极值等，对函数的图象有了充分的了解，明确了函数零点情况.