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排列组合复习题
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常用解题技巧及分析：理解解这种题目的分析思路，注意特殊元素、特殊位置优先考虑、先选后排的策略！
典型例题
一、有关两个基本原理问题
1、（1）把6名实习生分配到7个车间实习,共有 种不同的分法.
（2）在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有 种.
（3）5个班级要从3个风景点中任选一个景点去游玩，共有 种不同的选法.
2、已知集合，集合
（1）从集合到集合能构成多少个不同的映射？
（2）能构成多少个以集合为定义域，集合为值域的不同函数？
3、从6人中选4人去巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且6人中甲、乙不去巴黎，则不同的选法共有多少种？
二、有关排列数的定义
1、计算
2、设，且，则等于
A. B. C. D.
3、解不等式
三、有关组合数的定义
1、计算
（1） （2）
2、若，则的集合是 .
3、若，求的值.
4、若，，成等差数列，求的值.
四、有关排队问题
1、特殊元素特殊位置优先考虑
例、7名学生站成一排，满足下列条件的方法数
（1）甲在排头 （2）甲不在排尾 （3）甲乙必须在排头或排尾
（4）甲不在头，乙不在最中间 （5）甲乙中间有且仅有两个人
2、相邻问题捆绑法----（方法：把相邻的元素“看成一个元素”）
例1、6名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？（若是3人相邻呢）
例2、7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.
例3、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为
3、不相邻问题插空法----（方法：先排其他人，不相邻最后才插空）
例1、6个人站成一排，甲乙不相邻，有多少不同的站法？
例2、一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有
多少种？
例3、3名男生3名女生站成一排，若男女相间，则有多少种不同的排法？
变式：4名男生3名女生站成一排，若男女相间，则有多少种不同的排法？
4、定序问题“后排法”---（方法：先安排其他人坐好，剩下“定序”的人再坐下只有1种坐法）
例1、7个人排成一排，求满足下列条件的排法数：
（1）甲乙顺序一定 （2）甲排在乙前 （3）甲乙丙从高到矮（若按从左到右高矮顺序呢）
变式1、若把英语单词“hello”的字母顺序写错了,则可能出现的错误的种数为
变式2、数列共有8项，其中3项为1，两项为2，其余3项各不相同，则满足上述条件的数列共有多少个？
五、排数问题
例1、（排数问题）由0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的数，求满足下列条件的方法数
（1）四位数. （2）五位偶数. （3）能被5整除的三位数
（4）比23000大的数 （5）比35000小的数
六、分组分配问题
例、有不同的书6本，按照下列要求处理，分别有多少种分法？（分组、分配问题）
（1）分三组，一组一本，一组两本，一组三本；（属于非均匀分组问题）
（2）分给甲、乙、丙三人，甲得1本，乙得2本，丙得3本；（属于非均匀定向分配问题）
（3）分给甲、乙、丙三人，一人得一本，一人得2本，一人得3本；（属于非均匀不定向分配问题）
（4）平均分给甲、乙、丙三人；（属于均匀不定向分配问题）
（5）平均分成三组；（属于平均分组问题）
（6）分三组，有两组各一本，一组四本；（属于局部平均分组问题）
（7）分四组，有三组各一本，一组三本；（属于局部平均分组问题）
练习1、有四个不同的小球，四个不同的盒子，把球全部放入盒内，问：
（1）共有多少种放法？ （2）恰有一个空盒的放法共有多少种？
（3）恰有两个空盒的放法共有多少种？
（4）假设四个盒子的编号为1，2，3，4，则甲球只能放入第2或第3号盒，而乙球不能放入第四号盒的放法有多少种？
练习2、将4名教师分配到3所学校，每所至少1名，有多少种不同的分配方法？
七、排列组合混合问题“先选后排”
例1、有四项不同的工程，要发包给三个工程队，要求每个工程队至少要得到一项工程. 共有多少种不同的
包方式？
例2、一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副
班长有且只有1人参加,则不同的选法有 种
例3、12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有？
例4、从黄瓜、白菜 、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有？
例5、有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有
例6、从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法有多少种。
九、跟几何有关的组合问题----常用“间接法”
例1、从正方体8个顶点中选3个点，能组成多少 个不同的直角三角形
例2、以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有 个
例3、正六边形的顶点和它的中心共7个点,以其中三个点为顶点的三角形共有______个
例4、（1）平面内有9个点，其中4个点在一直线上，此外没有任何三点共线，则过这9个点可以作多少个同
的三角形？
（2）空间中有12个点，其中5个点共面，此外没有任何四点共面，则过这12个点可以作多少个不同的平面？
十、染色问题
1
3
2
5
4
例1、如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，
要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，
则不同的着色方法共有 种.（以数字作答）
例2、如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 种

变式练习：将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数？
十一、多面手问题
例1、有11名同学有5人只能唱歌，4人只能跳舞，另外2人既能唱歌，又能跳舞，现从11人中选出4人唱
歌， 4人跳舞，问有多少种不同的选法？
变式：在一次演唱会上共10名演员,其中8人能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法?