2014浙江数学理科卷概率题的解题思考.doc

2014年浙江数学理科卷概率题的解题思考-中学数学论文

2014年浙江数学理科卷概率题的解题思考
浙江省温州市第二外国语学校 吴晓钊
2014年浙江数学理科卷中对概率统计知识的考查，尽管由2013年的一道大题，变成了现在的一道选择题和一道填空题——分值有所下降，但是其考查难度却不降反升，特别是第9道选择题，其题型完全可以放在大题的位置。本文以此选择题为例来剖析其解题过程以及解题后的一些联想、思考，并提出相关的教学建议。
试题：（2014浙江理，9）已知甲盒中仅有1个红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球（m≥3，n≥3)，从乙盒中随机抽取i（i=1，2）个球放入甲盒中。

考点：古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列、期望。
一、解法呈现
（一）规解法

（二）特殊值法
显然，变量m，n的不确定性，不仅增加了本题的思维难度，也加大了运算量，使得上述解题步骤看起来繁琐复杂，有点“小题大做”。对于选择题，我们完全可以用特殊值代替m，n这两个量。
假设m=3，n=3；

（b）i=2时，得P1=3/4，i=2时，P2=2/3。显然P1＞P2。
二、解题联想
“模式识别”是我们高中数学解题中的一种重要的实用策略。对于本题变量m、n、i的存在使得本题看起来有些复杂，如果我们对题目进行简化，确定变量值，那么我们就很容易找到相关解题模型。
简化:已知甲盒中仅有1个红球，乙盒中有3个红球和3个蓝球，从乙盒中随机抽取i（i=1，2）个球放入甲盒中。
（a）放入1个球后，甲盒中含有红球的个数记为
；
（b）放入2个球后，甲盒中含有红球的个数记为
；
（c）放入1个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p1；
（d）放入2个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p2。
简化后的题目，我们就可以找到相关的题型：
（1）（2010·天津模拟）甲、乙两个盒子中装有大小相同的小球，甲盒中有2个黑球和2个红球，乙盒中有2个黑球和3个红球，从甲、乙两盒中各取一球交换。
（I）求交换后甲盒中黑球多于乙盒中黑球的概率；
（II）设交换后甲盒中黑球的个数为ξ，求ξ数学期望
解：（I）甲盒中有2个黑球和2个红球，乙盒中有2个黑球和3个红球，
从甲、乙两盒中各取一球交换。交换后甲盒中黑球多于乙盒中黑球，
表示从乙盒中拿出的是一个黑球，从甲和中拿出的是一个红球，
根据这两个事件是相互独立的，P=2/4×2/5=1/5
（II）由题意知交换后甲盒中黑球的个数为ξ，ξ的可能取值是1，2，3

（2）（2014年嘉兴二模理，20）有A、B、C三个盒子，每个盒子中放有红、黄、蓝颜色的球各一个，所有的球仅有颜色上的区别。
（Ⅰ）从每个盒子中任意取出一个球，记事件S为“取得红色的三个球”，事件T为“取得颜色互不相同的三个球”，求P（S）和P（T）；
（Ⅱ）先从A盒中任取一球放入B盒，再从B盒中任取一球放入C盒，最后从C盒中任取一球放入A盒，设此时A盒中红球的个数为?灼，求?灼的分布列与数学期望E?灼。
解：

（Ⅱ）

的可能值为0，1，2。
①考虑

=0的情形，首先A盒中必须取一个红球放入B盒，相应概率为1/3，此时B盒中有2红2非红；若从B盒中取一红球放入C盒，相应概率为1/2，则C盒中有2红2非红，从C盒中只能取一个非红球放入A盒，相应概率为1/2；若从B盒中取一非红球放入C盒，相应概率为1/2，则C盒中有1红3非红，从C盒中只能取一个非红球放入

②考虑

=2的情形，首先A盒中必须取一个非红球放入B盒，相应概率为2/3，此时B盒中有1红3非红；若从B盒中取一红球放入C盒，相应概率为1/4，则C盒中有2红2非红，从C盒中只能取一个红球放入A盒，相应概率为1/2；若从B盒中取一非红球放入C盒，相应概率为3/4，则C盒中有1红3非红，从C盒中只能取一个红球放入A

显然，这两道题和14年浙江卷的这道选择题有很多相似之处，都是以“摸球”为背景的离散型随机变量，本质上也可以说是同一模型题，特别是嘉兴二模的第二问——从A盒中取出一个球放入B盒，再从B盒中取出一个球放入C盒，雷同于浙江卷的从乙盒中取出一个球放入甲盒，再从甲盒中取出一个红球，其概率是多少，且在其概率计算中，我们都是将这个随机事件拆成了若干个互斥事件的和。所以，通过化归变换的解题策略，转化为我们所熟悉的模型，使本题就不再那么复杂了。
三、教学建议
（1）在高三复习教学中，我们经常强调求离散型随机变量的分布列和期望的常规步骤：
①确定随机变量

的取值；
②求出所有取值的概率；
③列出分布列、计算期望。
但是，理解随机变量取值的意义才是①②步的前提和关键，即离散型随机变量的每个取值，其实质代表的是“事件”——事件用一个反应结果的实数表示。
（2）对随机事件概率的求解，常常会涉及到分类讨论的思想方法。因此在高三复习需要重视思想方法的渗透。

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