2014浙江数学理科卷概率题的解题思考.doc

2014年浙江数学理科卷概率题的解题思考-中学数学论文

2014年浙江数学理科卷概率题的解题思考
浙江省温州市第二外国语学校 吴晓钊
2014年浙江数学理科卷中对概率统计知识的考查，尽管由2013年的一道大题，变成了现在的一道选择题和一道填空题——分值有所下降，但是其考查难度却不降反升，特别是第9道选择题，其题型完全可以放在大题的位置。本文以此选择题为例来剖析其解题过程以及解题后的一些联想、思考，并提出相关的教学建议。
试题：（2014浙江理，9）已知甲盒中仅有1个红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球（m≥3，n≥3)，从乙盒中随机抽取i（i=1，2）个球放入甲盒中。

考点：古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列、期望。
一、解法呈现
（一）规解法

（二）特殊值法
显然，变量m，n的不确定性，不仅增加了本题的思维难度，也加大了运算量，使得上述解题步骤看起来繁琐复杂，有点“小题大做”。对于选择题，我们完全可以用特殊值代替m，n这两个量。
假设m=3，n=3；

（b）i=2时，得P1=3/4，i=2时，P2=2/3。显然P1＞P2。
二、解题联想
“模式识别”是我们高中数学解题中的一种重要的实用策略。对于本题变量m、n、i的存在使得本题看起来有些复杂，如果我们对题目进行简化，确定变量值，那么我们就很容易找到相关解题模型。
简化:已知甲盒中仅有1个红球，乙盒中有3个红球和3个蓝球，从乙盒中随机抽取i（i=1，2）个球放入甲盒中。
（a）放入1个球后，甲盒中含有红球的个数记为
；
（b）放入2个球后，甲盒中含有红球的个数记为
；
（c）放入1个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p1；
（d）放入2个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p2。
简化后的题目，我们就可以找到相关的题型：
（1）（2010·天津模拟）甲、乙两个盒子中装有大小相同的小球，甲盒中有2个黑球和2个红球，乙盒中有2个黑球和3个红球，从甲、乙两盒中各取一球交换。
（I）求交换后甲盒中黑球多于乙盒中黑球的概率；
（II）设交换后甲盒中黑球的个数为ξ，求ξ数学期望
解：（I）甲盒中有2个黑球和2个红球，乙盒中有2个黑球和3个红球，
从甲、乙两盒中各取一球交换。交换后甲盒中黑球多于乙盒中黑球，
表示从乙盒中拿出的是一个黑球，从甲和中拿出的是一个红球，
根据这两个事件是相互独立的，P=2/4×2/5=1/5
（II）由题意知交换后甲盒中黑球的个数为ξ，ξ的可能取值是1，2，3

（2）（2014年嘉兴二模理，20）有A、B、C三个盒子，每个盒子中放有红、黄、蓝颜色的球各一个，所有的球仅有颜色上的区别。
（Ⅰ）从每个盒子中任意取出一个球，记事件S为“取得红色的三个球”，事件T为“取得颜色互不相同的三个球”求P（S）和P（T）；
（Ⅱ）先从A盒中任取一球放入B盒，再从B盒中任取一球放入C盒，最后从C盒中任取一球放入A盒，设此时A盒中红球的个数为?灼，求?灼的分布列与数学期望E?灼。
解：

（Ⅱ）

的可能值为0，1，2。
①考虑

=0的情形，首先A盒中必须取一个红球放入B盒，相应概率为1/3，此时B盒中有2红2非红；若从B盒中取一红球放入C盒，相应概率为1/2，则C盒中有2红2非红，从C盒中只能取一个非红球放入A盒，相应概率为1/2；若从B盒中取一非红球放入C盒，相应概率为1/2，则C盒中有1红3非红，从C盒中只能取一个非红球放入

②考虑

=2的情形，首先A盒中必须取一个非红球放入B盒，相应概率为2/3，此时B盒中有1红3非红；若从B盒中取一红球放入C盒，相应概率为1/4，则C盒中有2红2非红，从C盒中只能取一个红球放入A盒，相应概率为1/2；若从B盒中取一非红球放入C盒，相应概率为3/4，则C盒中有1红3非红，从C盒中只能取一个红球放入A

显然，这两道题和14年浙江卷的这道选择题有很多相似之处，都是以“摸球”为背景的离散型随机变量，本质上也可以说是同一模型题，特别是嘉兴二模的第二问——从A盒中取出一个球放入B盒，再从B盒中取出一个球放入C盒，雷同于浙江卷的从乙盒中取出一个球放入甲盒，再从甲盒中取出一个红球，其概率是多少，且在其概率计算中我们都是将这个随机事件拆成了若干个互斥事件的和。所以，通过化归变换的解题策略，转化为我们所熟悉的模型，使本题就不再那么复杂了。
三、教学建议
（1）在高三复习教学中，我们经常强调求离散型随机变量的分布列和期望的常规步骤：
①确定随机变量

的取值；
②求出所有取值的概率；
③列出分布列、计算期望。
但是，理解随机变量取值的意义才是①②步的前提和关键，即离散型随机变量的每个取值，其实质代表的是“事件”——事件用一个反应结果的实数表示。
（2）对随机事件概率的求解，常常会涉及到分类讨论的思想方法。因此在高三复习需要重视思想方法的渗透。

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