上海市青浦区2019届高三一模数学卷word版(附详细答案).pdf

高三数学 201812青浦区 2018 学年第一学期高三年级期终学业质量调研测试数学试题2018.12.1已知集合，则=1,0,1,2A,0B AB2写出命题“若，则”的逆命题 22ambmab3不等式的解集为 23(1)43122xxx4在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则的值为 xOyOx3 45 5，tan()5已知直角三角形中，则绕ABC90,3,4AABACABC直线旋AC转一周所得几何体的体积为 6如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为 1，点，A对应的复B数分别是，则 1z2z21=zz7已知无穷等比数列各项的和为，则首项的取值范围是 na41a 8设函数（），将图像向左平移单位后所得函数图像的对称轴与原函数图像()sinf xx02()f x23的对称轴重合，则 92018 首届进博会在上海召开，现要从 5 男 4 女共 9 名志愿者中选派 3 名志愿者服务轨交 2 号线徐泾东站的一个出入口，其中至少要求一名为男性，则不同的选派方案共有 种 10设等差数列满足，其前项和为，若数列也为等差数列，则 na110naa，nnS nS102limnnnSa 11已知函数，当时，若在区间内，2()2(1)f xfx(0,1x2()f xx(1,1有两个不同的零点，则实数 的取值范围是 ()()(1)g xf xt xt12已知平面向量、满足，且，则当时，的取abc1a=2bc0b c 01(1)abc值范围是 二二.选择题（本大题满分选择题（本大题满分 2020 分）本大题共有分）本大题共有 4 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 5 分，否则一律得零分分，否则一律得零分.13“”是“的二项展开式中存在常数项”的（）4n 1()nxxyxOBA高三数学 201812DCBAED1C1B1A1（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件14长轴长为，以抛物线的焦点为一个焦点的椭圆的标准方程为（）8212yx（A）（B）（C）（D）2216455xy2216428xy2212516xy221167xy15对于两条不同的直线 m，n 和两个不同的平面，以下结论正确的是（）（A）若，n，m，n 是异面直线，则，相交m（B）若m，m，n，则n（C）若，n，m，n 共面于，则 mnm（D）若m，n，不平行，则 m，n 为异面直线16记号表示不超过实数的最大整数若，则 xx2()3030 xf xx的值为（）(1)(2)(3)(29)(30)fffff（A）（B）（C）（D）899900901902三解答题（本大题满分三解答题（本大题满分 7676 分）本大题共有分）本大题共有 5 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤的步骤.17.(17.(本题满分本题满分 1414 分）本题共分）本题共 2 2 小题，第（小题，第（1 1）小题）小题 6 6 分，第（分，第（2 2）小题）小题 8 8 分分.已知正四棱柱的底面边长为，1111ABCDABC D315AD（1）求该正四棱柱的侧面积与体积；（2）若为线段的中点，求与平面所成角的大小E1ADBEABCD1818（本题满分（本题满分 14 分）第（分）第（1）小题满分）小题满分 8 分，第（分，第（2）小题满分）小题满分 6 分分.如图，某广场有一块边长为的正方形区1()hm域，在ABCD点处装有一个可转动的摄像头，其能够捕捉到图A像的角始终为（其中点，分别在边，PAQ45PQBC上）设CD，记PABtant（1）用 表示的长度，并研究的周长tPQCPQ是否为定值？l（2）问摄像头能捕捉到正方形内部区域的ABCD面积至多为SA D C B P Q 450 高三数学 201812多少？2hm19.(19.(本题满分本题满分 1414 分）本题共分）本题共 2 2 小题，第（小题，第（1 1）小题）小题 6 6 分，第（分，第（2 2）小题）小题 8 8 分分.对于在某个区间上有意义的函数，如果存在一次函数使得对于任意的,a()f x()g xkxb，有恒成立，则称函数是函数在区间上的弱渐近函数,xa()()1f xg x()g x()f x,a（1）若函数是函数在区间上的弱渐近函数，求实数的取值范围；()3g xx()3mf xxx+4，m（2）证明：函数是函数在区间上的弱渐近函数()2g xx2()21f xx2,+20.(20.(本题满分本题满分 1616 分）本题共分）本题共 3 3 小题，第（小题，第（1 1）小题）小题 4 4 分，第（分，第（2 2）小题）小题 6 6 分，第（分，第（3 3）小题）小题 6 6 分分.（1）已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，实轴长为，渐近线方程为求双曲线的标准方程；x43yx 高三数学 201812（2）过（1）中双曲线上一点的直线分别交两条渐近线于，两点，且是线段的中P11(,)A x y22(,)B xyPAB点，求证：为常数；12xx（3）我们知道函数的图像是由双曲线的图像逆时针旋转得到的函数1yx222xy45的图像也是双曲线，请尝试写出双曲线的性质（不必证明）3323yxx3323yxx21.(21.(本题满分本题满分 1818 分）本题共分）本题共 3 3 小题，第（小题，第（1 1）小题）小题 4 4 分，第（分，第（2 2）小题）小题 6 6 分，第（分，第（3 3）小题）小题 8 8 分分.若存在常数、，使得无穷数列满足 则称数列为*(,2)k kkNcd na1,nnnnadkancakNN na“数列”.已知数列为“数列”.nb（1）若数列中，、，试求的值；nb11b 3k 4d 0c 2019b高三数学 201812（2）若数列中，、，记数列的前项和为，若不等式对 nb12b 4k 2d 1c nbnnS43nnS恒成立，求实数的取值范围；nN（3）若为等比数列，且首项为，试写出所有满足条件的，并说明理由.nbb nb青浦区 2018 学年第一学期高三年级期终学业质量调研测试数学参考答案及评分标准参考答案及评分标准 2018.121；2“若，则”；1ab22ambm3；4；2,3435；6；1257；8；(0,4)(4,8)329.；10.；801411；12.10,221,3二二.选择题（本大题满分选择题（本大题满分 2020 分）本大题共有分）本大题共有 4 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 5 分，否则一律得零分分，否则一律得零分.13.；14.；15 ；16.ADCC三解答题（本大题满分三解答题（本大题满分 7474 分）本大题共有分）本大题共有 5 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤的步骤.17.(17.(本题满分本题满分 1414 分）本题共分）本题共 2 2 小题，第（小题，第（1 1）小题）小题 6 6 分，第（分，第（2 2）小题）小题 8 8 分分.解：（1）在正四棱柱中，1111ABCDABC D平面，平面，1AA ABCDADABCD，故，1AAAD12594AA 正四棱柱的侧面积为，(4 3)448体积为 2(3)436（2）建立如图的空间直角坐标系，由题意Oxyz可得,(0,0,0)D(3,3,0)B1(3,0,4)A(0,0,0)D3(,0,2)2E，1(0,0,4)AA 3(,3,2)2BE 设与所成角为，直线与平面所成角为，1AABE BEABCDy x xz ABCDA1B1C1D1高三数学 201812则，1184 61cos61|6144AA BEAABE 又是平面的一个法向量，故，1AAABCD4 61sincos614 61arcsin61所以直线与平面所成的角为BEABCD4 61arcsin61【另法提示：设中点为，证即为与平面所成的角，然后解直角三角形，求出ADGEBGBEABCDEBG】EBG4 5arctan151818（本题满分（本题满分 14 分）第（分）第（1）小题满分）小题满分 8 分，第（分，第（2）小题满）小题满分分 6 分分.解：（1）,1,01BPt CPtt ,45DAQ1tan(45)1tDQt 12111ttCQtt 所以2222221(1)11ttPQCPCQttt故221111211ttlCPCQPQttttt 所以的周长 是定值CPQl2（2）111221ABPADQABCDttSSSSt 正方形122(1)2221tt 当且仅当时，等号成立21t 所以摄像头能捕捉到正方形内部区域的面积至多为 ABCDS222hm19.(19.(本题满分本题满分 1414 分）本题共分）本题共 2 2 小题，第（小题，第（1 1）小题）小题 6 6 分，第（分，第（2 2）小题）小题 8 8 分分.解：（1）因为函数是函数在区间上的弱渐近函数，()3g xx()3mf xxx+4，所以，即在区间上恒成立，()()1mf xg xxmx+4，即 444mm （2）22()()21221f xg xxxxx A D C B P Q 450 高三数学 201812，2,+x22()()212(1)f xg xxxxx令222222112()()()2(1)11xxxxh xf xg xxxxxxx任取，则，122xx2212311xx 2212311xx 221122011xxxx 1222112222()()11h xh xxxxx即函数在区间上单调递减，2()()()2(1)h xf xg xxx2,+所以，()()0,42 3f xg x又，即满足使得对于任意的有恒成立，0,42 31,1()2g xx2,x()()1f xg x所以函数是函数在区间上的弱渐近函数()2g xx2()21f xx2,+20.(20.(本题满分本题满分 1616 分）本题共分）本题共 3 3 小题，第（小题，第（1 1）小题）小题 4 4 分，第（分，第（2 2）小题）小题 6 6 分，第（分，第（3 3）小题）小题 6 6 分分.解：（1），242aa又双曲线的渐近线方程为，所以，3yx 32 3bba双曲线的标准方程是221412xy（2）法一：由题不妨设，11(,3)A xx22(,3)B xx则，121233(,)22xxxxP由在双曲线上，代入双曲线方程得；P124xx法二：当直线的斜率不存在时，显然，此时；AB2x 124xx当直线的斜率存在时，设直线的方程为ABAB(0,3)ykxt kk 则由 3,333ykxtttAkkyx同理3,333ykxtttBkkyx 高三数学 201812此时代入双曲线方程得，所以223,33kttPkk224(3)tk212243txxk（3）对称中心：原点；对称轴方程：33,3yx yx 顶点坐标：，；焦点坐标：，3 3,2233,221,31,3 实轴长：、虚轴长：、焦距：22 3a 22b 24c 范围：0,22,xy 渐近线：30,3xyx21.(21.(本题满分本题满分 1818 分）本题共分）本题共 3 3 小题，第（小题，第（1 1）小题）小题 4 4 分，第（分，第（2 2）小题）小题 6 6 分，第（分，第（3 3）小题）小题 8 8 分分.解：（1）因为数列是“数列”，且，、，nb11b 3k 4d 0c 所以当，时，1n nN310nb又，即，*2016672N320170b，20182017044bbd20192018448bbd（2）因为数列是“数列”，且，、nb12b 4k 2d 1c 则数列前414344341434243434312336nnnnnnnnnnbbcbbbdbbdbbdbd 项中的项是以为首项，为公差的得差数列，4n43nb26易知中删掉含有的项后按原来的顺序构成一个首项为公差为的等差数列，4nb43nb2241543()nnSbbb 23467846454442414+nnnnnnbbbbbbbbbbbb 2(1)3(31)26(3)2212822n nnnnnnn，设，则，43nnS43nnS2412833nnnnSnnc maxnc22211112(1)8(1)12824820333nnnnnnnnnnncc当时，；当，时，1n 2248200nn12cc2n nN2248200nn1nncc高三数学 201812，123ccc 2max649ncc即 2max649ncc（3）因为 既是“数列”又是等比数列，设的公比为，由等比数列的通项公式有 nb nb1nnbqb，1nnbbq当时，即mN21kmkmbbd11kmkmkmbqbqbqqd，则，；1q 0d nbb，则，则为常数，则，为偶数，；1q 1kmdqqbkmq1q k2db 11nnbb 经检验，满足条件的的通项公式为或.nbnbb 11nnbb