上海市徐汇区2019届高三一模数学卷word版(附详细答案).pdf

徐汇区高三数学徐汇区高三数学 本卷共本卷共 4 页页 第第 1 页页2018 学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科201812一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 16 题每题 4 分，第 712 题每题5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1.若复数满足，其中 是虚数单位，则的实部为_.zi12iz iz2.已知全集，集合，则_.U R2,0Ay yxxxRUA3.若实数满足，则的最小值为_.,x y1xy 222xy4.若数列的通项公式为，则_.na*2()111nnanNnnlimnna5.已知双曲线（）的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛22221xyab0,0ab2yx物线的焦点相同，则此双曲线的方程是_.220yx6.在平面直角坐标系中，直线 经过坐标原点，是 的一个法向量.已知数列xOyl3,1n l满足：对任意的正整数，点均在 上.若，则的值为 .nan1,nnaal26a 3a7.已知的展开式中各项的二项式系数之和为 128，则其展开式中含项的212nxnNx1x系数是 .（结果用数值表示）8.上海市普通高中学业水平等级考成绩共分为五等十一级，各等级换算成分数如下表所示：等级A+AB+BB-C+CC-D+DE分数7067646158555249464340上海某高中 2018 届高三（1）班选考物理学业水平等级考的学生中，有 5 人取得成绩，其+A他人的成绩至少是级及以上，平均分是 64 分.这个班级选考物理学业水平等级考的人数至少B为_人.9.已知函数是以为周期的偶函数，当时，令函数()f x201x()lg(1)f xx，则的反函数为_.()()(1,2)g xf xx()g x10.已知函数的定义域是，值域是，则的最大值是-sinyx,a b12-1，ba徐汇区高三数学徐汇区高三数学 本卷共本卷共 4 页页 第第 2 页页_.11.已知，函数.若函数恰有 2 个零点，则的取值范围R24,()43,xxf xxxx()f x是_12.已知圆:，圆:.直线、分别过圆心、，M1)1(22 yxN1)1(22 yx1l2lMN且与圆相交于两点，与圆相交于两点.点是椭圆上任意一1lM,A B2lN,C DP22194xy点，则的最小值为_.PA PBPC PD 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13.设，则“”是“”的（）R=61sin=2（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件（C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件14.魏晋时期数学家刘徽在他的著作九章算术注中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”.刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为.若正方体的棱长为 2，则“牟合方盖”的体积为（）:4（A）（B）（C）（D）1616 3163128315.对于函数，如果其图像上的任意一点都在平面区域内，()yf x(,)|()()0 x yyx yx则称函数为“蝶型函数”.已知函数：；，下列结论正确()f xsinyx21yx的是()（A）、均不是“蝶型函数”（B）、均是“蝶型函数”（C）是“蝶型函数”；不是“蝶型函数”（D）不是“蝶型函数”；是“蝶型函数”16.已知数列是公差不为 0 的等差数列，前项和为.若对任意的，都有 nannS*nN，则的值不可能为（）3nSS65aa徐汇区高三数学徐汇区高三数学 本卷共本卷共 4 页页 第第 3 页页DBCABDAC（A）2 （B）（C）（D）533243三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6 分，第2小题满分8 分）如图，已知正方体的棱长为.ABCDA B C D1（1）正方体中哪些棱所在的直线与直线ABCDA B C D是异面直线？A B（2）若分别是的中点，求异面直线与,M N,A B BCMN所成角的大小.BC18.（本题满分14分，第1小题满分6 分，第2小题满分8 分）已知函数其中2(),2axf xx.aR（1）解关于的不等式；x()1f x （2）求的取值范围，使在区间上是单调减函数.a()f x(0,)19.（本题满分14分，第1小题满分6 分，第2小题满分8 分）我国的“洋垃圾禁止入境”政策已实施一年多.某沿海地区的海岸线为一段圆弧，AB对应的圆心角.该地区为打击洋垃圾走私，3AOB在海岸线外侧 20 海里内的海域对不明船只进行识ABCD别查证（如图：其中海域与陆地近似看作在同一平面内）.在圆弧的两端点分别建有监测站，与之间的直线,A BAB距离为 100 海里.（1）求海域的面积；ABCD（2）现海上点处有一艘不明船只，在点测得其距PA点 40 海里，在点测得其距点海里.判断ABB20 19这艘不明船只是否进入了海域？请说明理由.ABCD地 地地 地BCODA徐汇区高三数学徐汇区高三数学 本卷共本卷共 4 页页 第第 4 页页20.（本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分）已知椭圆的长轴长为，右顶点到左焦点的距离为直线2222:1(0)xyabab2 221,与椭圆交于两点.:l ykxm,A B（1）求椭圆的方程；（2）若为椭圆的上顶点，为中点，为坐标原点，连AMABO接并延长交椭圆于，,求的值；OMN62ONOM k（3）若原点到直线 的距离为，当Ol1OA OB 时，求的面积的范围.4556OABS21.（本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分）已知项数为项的有穷数列，若同时满足以下三个条件：0n0(4)n na(为正整数)；或，其中；011,naamm10iiaa102,3,in任取数列中的两项，剩下的项中一定存在两项，na,()pqaapq02n,()sta a st满足.则称数列为数列.pqstaaaa na（1）若数列是首项为，公差为，项数为项的等差数列，判断数列是否是数 na116 na列，并说明理由；（2）当时，设数列中 出现次，出现次，出现次，其中3m na11d22d33d，求证：；*123,d ddN1234,2,4dddOyx徐汇区高三数学徐汇区高三数学 本卷共本卷共 4 页页 第第 5 页页NMDBCABDAC（3）当时，求数列中项数的最小值.2019m na0n参考答案参考答案一、一、填空题：填空题：(共共 5454 分，第分，第 1 16 6 题每题题每题 4 4 分；第分；第 7 71212 题每题题每题 5 5 分分)1.2.3.4.5.2,02 21221520 xy6.7.8.9.284153 10,0,lg2xyx10.11.12.431,34,U8二、二、选择题：选择题：(共共 2020 分，每题分，每题 5 5 分分)13.A 14.C 15.B 16.D 三、三、解答题解答题17、解：、解：(1)由异面直线的定义可知，棱由异面直线的定义可知，棱所在的直线与直所在的直线与直,AD DC CC DD D C B C线线是异面直线是异面直线 .6 分分A B(2)连结连结，因为，因为分别是分别是的中点，的中点，,BC A C,M N,A B BC所以所以，又因为，又因为，MNA CBCB C所以异面直线所以异面直线与与所成角为所成角为(或其补角或其补角)，.9 分分MNBCA C B由于由于,90A BB CA B C于是于是，13 分分45A C B所以异面直线所以异面直线与与所成角的大小为所成角的大小为.14 分分MNBC4518、解：（、解：（1）不等式）不等式即为即为 .3 分分()1f x 2(1)10.22axaxxx 当当时，不等式解集为时，不等式解集为；.4 分分1a (,2)0,当当时，不等式解集为时，不等式解集为；.5 分分1a (,2)(2,)当当时，不等式解集为时，不等式解集为 .6 分分1a 2,0.徐汇区高三数学徐汇区高三数学 本卷共本卷共 4 页页 第第 6 页页（2）任取）任取则则.9 分分120,xx12121222()()22axaxf xf xxx12122(1)(),(2)(2)axxxx .11 分分120 xx12120,20,20,xxxx所以要使所以要使在在递减即递减即只要只要即即 13 分分()f x(0,)12()()0,f xf x10a 1,a 故当故当时，时，在区间在区间上是单调减函数上是单调减函数 .14 分分1a ()f x(0,)19、解：（、解：（1）100AB（海里）,3AOB则则 .2 分分100120AOBOOCOD（海里），（海里）（平方海里）（平方海里）.5 分分2211220012010023233ABCDS所以，海域所以，海域的面积为的面积为平方海里平方海里.6 分分ABCD22003（2）100AB（海里）40,20 19APBP（海里）（海里）.8 分分22240100(20 19)cos2 40 100PAB12，.10 分分3PAB23PAO .12 分分222cosPOAPAOAP AOPAO 222401002 40 100cos3 20 39120（海里）（海里）这艘不明船只没有进入海域这艘不明船只没有进入海域.14 分分ABCD20、解：（、解：（1）.1 分分22 2a 2,a又又，.2 分分21ac1,c 222abc .3 分分1b 故椭圆故椭圆方程为方程为 .4 分分2212xy（2）过过，ykxm(0,1)A1m徐汇区高三数学徐汇区高三数学 本卷共本卷共 4 页页 第第 7 页页，22221(12)4012ykxkxkxxy22241 2,11212BBBkkxykxkk，则，则 .6 分分22241 2(,)1212kkBkk2221(,)1212kMkk,代入椭圆代入椭圆方程，方程，.8 分分62ONOM 2266(,)122(12)kNkk得得，即，即，所以，所以 .10 分分428210kk 22(41)(21)0kk12k （3）原点原点到直线到直线 的距离为的距离为 1，.12 分分Ol222111mmkk 设设11221212(,),(,),A x yB xyOA OBx xy y 联立联立22222(12)4220(*)12ykxmkxkmxmxy22222164(12)(22)800k mkmkk 由由式知，式知，(*)2121222422,1212kmmxxxxkk2212121212()()(1)()x xkxm kxmkx xkm xxm，得，得14 分分222222223223(1)2214 5,1212125 6mkkkkkkk21 1,4 3k22212121211()4ABkxxkxxx x 22222222242216881()41121212kmmkmkkkkk 222 2112kkk徐汇区高三数学徐汇区高三数学 本卷共本卷共 4 页页 第第 8 页页 .15 分分2222222 21(1)112212(12)OABkkkSkkk 令令2213 512,22 3tktkt .16 分分22112110 2 22221,265AOBttStt21、解：、解：(1)若数列若数列是是数列，取数列数列，取数列中的两项中的两项 和和，则剩下的，则剩下的 4 项项:1,2,3,4,5,6na na12中不存在两项中不存在两项，使得，使得，故数列，故数列不是不是数列；数列；.4 分分,()sta a st12staa na(2)若若，对于，对于，若存在，若存在，满足，满足，13d 1,2pq2stpqstaaaa因为因为，于是，于是，2st3,4st所以所以，从而，从而，矛盾，矛盾，2saa1taa21staaaa所以所以，同理，同理 .8 分分14d 34d 下面证明下面证明：22d 若若，即，即出现了出现了 1 次，不妨设次，不妨设，21d 22ka 1kstaaaa等式左边是等式左边是；等式右边有几种可能，分别是；等式右边有几种可能，分别是或或或或，等式两边不相等，矛盾，等式两边不相等，矛盾，31 11 333于是于是 .10 分分12d(3)设设 出现出现次，次，出现出现次，次，出现出现次，其中次，其中11d22d20192019d*122019,d ddN由由(2)可知，可知，且，且，同理，同理，.12 分分120194,4dd22d 20182d又因为又因为，所以项数，所以项数 .14 分分*342017,d ddN01220192027nddd下面证明项数下面证明项数的最小值是的最小值是：0n2027取取，可以得到数列，可以得到数列12342017201820194,2,1,2,4ddddddd.:1,1,1,1,2,2,3,4,2016,2017,2018,2018,2019,2019,2019,2019na徐汇区高三数学徐汇区高三数学 本卷共本卷共 4 页页 第第 9 页页接下来证明上述数列是接下来证明上述数列是数列：数列：若任取的两项分别是若任取的两项分别是，则其余的项中还存在，则其余的项中还存在 2 个个 1，满足，满足，1,11 11 1 同理，若任取的两项分别是同理，若任取的两项分别是也满足要求；也满足要求；2019,2019若任取的两项分别是若任取的两项分别是，则其余的项中还存在，则其余的项中还存在 3 个个 1,1 个个 2，满足要求，满足要求，1,2同理，若任取的两项分别是同理，若任取的两项分别是也满足要求；也满足要求；2018,2019若任取若任取，则在其余的项中选取，则在其余的项中选取，满足要求，满足要求，1,3pqaa2,1stqaaa同理，若同理，若也满足要求；也满足要求；2017,2019pqaa若任取的两项若任取的两项满足满足，则在其余的项中选取，则在其余的项中选取，,pqaa12019pqaa1,1sptqaaaa每个数最多被选取了每个数最多被选取了 1 次，于是也满足要求次，于是也满足要求.从而，项数从而，项数的最小值是的最小值是.18 分分0n2027