数学教案：函数概念X教师版.doc

函数概念
一、 知识清单
1．映射：设非空数集A,B，若对集合A中任一元素a,在集合B中有唯一元素b与之对应,则称从A到B的对应为映射,记为f：A→B，f表示对应法则，b=f(a).若A中不同元素的象也不同,且B中每一个元素都有原象与之对应,则称从A到B的映射为一一映射.
2．函数定义：函数就是定义在非空数集A,B上的映射,此时称数集A为定义域,象集C=｛f（x）|x∈A｝为值域.
3．函数的三要素：定义域，值域，对应法则。 从逻辑上讲，定义域，对应法则决定了值域，是两个最基本的因素。
4．函数定义域的求法：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零； 
5．函数值域的求法：①配方法(二次或四次）；②判别式法;③反函数法（反解法)；④换元法（代数换元法）；⑤不等式法；⑥单调函数法。
⑵常用函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础.
① 函数的值域为R;
② 二次函数
当时值域是,当时值域是];
③ 反比例函数的值域为；
④ 指数函数的值域为;
⑤ 对数函数的值域为R;
⑥ 函数的值域为[—1,1]；
⑦ 函数，的值域为R；
二、 课前练习
1.若,,则到的映射有 3 个，到的映射有 4 个；若，， 则到的一一映射有 6 个.
2。 设集合A和集合B都是自然数集合N，映射把集合A中的元素映射到集合B中的元素，则在映射下，象20的原象是 4
3.已知扇形的周长为20,半径为，扇形面积为，则-r-20r；定义域为0<r<10。
4。 求函数的定义域. {x｜x<-3或-3<x≤—1或x≥4}
5. 若函数的定义域为[—1,1]，求函数的定义域【—】。
6。已知 （x¹0), 求= 15 .
7. 求函数的值域。
8。 下列函数中值域为的是（B）
（A） （B） （C） (D）
三、 典型例题
例1若f :y=3x+1是从集合A=｛1,2，3,k｝到集合B={4，7,a4,a2+3a}的一个映射，求自然数a、k的值及集合A、B.（a=2，k=5；A={1，2，3，5｝B=｛4，7，16,10｝)
例2、设函数,，求函数的定义域.{x｜x〉}
变式1： 函数的定义域是
变式2:设,则的定义域为

函数值域
观察法（用非负数的性质）
例1　求下列函数的值域：y=-3x2+2；{y｜y≥2}

变式：y=5+2(x≥-1)。{y｜y≥5}

配方法
例2　求值域：y=

变式y= x

变式求函数y=的值域.

换元法
例3。求函数的值域.

变式求函数y=3x—的值域。｛y|y≤｝

分离常数法
对某些分式函数,可通过分离常数法，化成部分分式来求值域．
例4 求下列函数的值域:y=(｛y|y｝)

变式、y=。 [—1,1］

利用判别式
特殊地，对于可以化为关于x的二次方程a（y）x2+b(y）x+c(y）=0的函数y=f（x)，可利用．　　
例5　求函数y =的最值．［—]

变式:；［1，5]

函数解析式
一、换元法，拼凑法：
例1：设，求.

变式，求。

二、待定系数法:
例2:已知是一次函数，且满足，求;

变式设二次函数y=f（x)的最小值等于4，且f（0）=f(2)=6，求f（x）的解析式

三、利用对称性：
例3：已知函数y=x+x与y=g(x）关于点（-2，3)对称，求g（x)的解析式

四、 实战训练
1、（07陕西文2）函数的定义域为 (—1，1）
2、（07山东文13）设函数则 1/2007 ．
3、（07北京文14)已知函数，分别由下表给出

1
2
3

2
1
1

1
2
3

3
2
1

则的值为 1 ；当时， 1 ．
4、（07上海理1）函数的定义域为{x|x<4且x3｝
5、(07浙江文11）函数的值域是___．
6．（08北京模拟）若函数的定义域、值域都是闭区间［2，2b］，则b的
为 2 。
7 （08北京模拟）对于任意实数，，定义 设函数
，则函数的最大值是___1_______ 。