浙江2015单考单招数学试卷.doc

2015年浙江省高等职业技术教育招生考试
数学试卷
一、单项选择题(本大题共18小题，每小题2分，共36分)
在每小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的。错涂、多涂或未涂均无分．
1．已知集合M＝，则下列结论正确的是(　　)
A．集合M中共有2个元素 B．集合M中共有2个相同元素
C．集合M中共有1个元素 D．集合M为空集
2．命题甲“a<b”是命题乙“a－b<0”成立的(　　)
A．充分不必要条件　　　　　　　　　　　　　　 B．必要不充分条件
C．充分且必要条件　　　　　　　　　　　　　　 D．既不充分也不必要条件
3．函数f(x)＝的定义域是(　　)
A.　　　　 B.
C.　　　　 D.
4．下列函数在定义域上为单调递减的函数是(　　)
A．f(x)＝()x　　 B．f(x)＝lnx
C．f(x)＝2－x　　 D．f(x)＝sinx
5．已知角α＝，将其终边绕着端点按顺时针方向旋转2周得到角β，则β＝(　　)
A.　　　　　　 B.
C．－　　　　　 D．－
6．已知直线x＋y－4＝0与圆(x－2)2＋(y＋4)2＝17，则直线与圆的位置关系是(　　)
A．相切　　　　　 B．相离　
C．相交且不过圆心　 D．相交且过圆心
7．若β∈(0，π)，则方程x2＋y2sinβ＝1所表示的曲线是(　　)
A．圆　　　　　　 B．椭圆
C．双曲线　　　　　 D．椭圆或圆
8．在下列命题中，真命题的个数是(　　)
①a∥α，b⊥α⇒a⊥b　　　　　　　　 ②a∥α，b∥α⇒a∥b
③a⊥α，b⊥α⇒a∥b　　　　　　　　 ④a⊥b，b⊂α⇒a⊥α
A．0个　　　　　 B．1个 C．2个　　　　　　 D．3个
9．若cos(－θ)cos(＋θ)＝，则cos2θ＝(　　)
A.　　　　　 B. C.　　　　　　 D.
10．在等比数列中，若a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则a＋a＋…＋a＝(　　)
A．(2n－1)2　　　 B.2
C．4n－1　　　　　 D.
11．下列计算结果不正确的是(　　)
A．C－C＝C　　　 B．P＝P
C．0！＝1　　　 D．C＝
12．直线x＋y＋2015＝0的倾斜角为(　　)
A.　　　　　B. C.　　　　 D.
13．二次函数f(x)＝ax2＋4x－3的最大值为5，则f(3)＝(　　)
A．2　　　　 B．－2 C.　　　　　 D．－
14．已知sinα＝，且α∈(，π)，则tan(α＋)＝(　　)
A．－7　　　　B．7 C．－　　　　 D.
15．在△ABC中，若三角之比A∶B∶C＝1∶1∶4，则sinA∶sinB∶sinC＝(　　)
A．1∶1∶4　　　　　　　 B．1∶1∶
C．1∶1∶2　　　 D．1∶1∶3
16．已知(x－2)(x＋2)＋y2＝0，则3xy的最小值为(　　)
A．－2　　　　　　　　 B．2
C．－6　　　　　 D. －6
17．下列各点中与点M(－1，0)关于点H(2，3)中心对称的是(　　)
A．(0，1)　　　　　　　 B．(5，6)　
C．(－1，1)　　　 D．(－5，6)
18．焦点在x轴上，焦距为8的双曲线，其离心率e＝2.则双曲线的标准方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1　 D.－＝1
二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
19．不等式>7的解集为________．(用区间表示)
20．若tanα＝(a≠0)，则acos2α＋bsin2α＝________．
21．已知＝(0，－7)，则＝________．
22．当且仅当x∈________时，三个数4，x－1，9成等比数列．
23．在“剪刀、石头、布”游戏中，两个人分别出“石头”与“剪刀”的概率P＝________．
24．二项式(＋)12展开式的中间一项为________．
25．体对角线为3cm的正方体，其体积V＝________．
26．如图所示，在所给的直角坐标系中，半径为2，且与两坐标轴相切的圆的标准方程为________．

第26题图

三、解答题(本大题共8小题，共60分)
解答应写出文字说明及演算步骤
27．(本题满分7分)平面内，过点A(－1，n), B(n，6)的直线与直线x＋2y－1＝0垂直，求n的值．

28．(本题满分7分)已知函数f(x)＝，求值：
(1)f(－); (2分)
(2)f(2－0.5); (3分)
(3)f(t－1); (2分)

29.(本题满分7分)某班数学课外兴趣小组共有15人，9名男生，6名女生，其中1名为组长，现要选3人参加数学竞赛，分别求出满足下列各条件的不同选法数．
(1)要求组长必须参加； (2分)
(2)要求选出的3人中至少有1名女生； (2分)
(3)要求选出的3人中至少有1名女生和1名男生. (3分)

30．(本题满分9分)根据表中所给的数字填空格，要求每行的数成等差数列，每列的数成等比数列. 求：
(1)a, b, c 的值； (3分)
(2)按要求填满其余各空格中的数； (3分)
(3)表格中各数之和．(3分)

第30题图

31.(本题满分6分)已知f(x)＝3sin(ax－π)＋4cos(ax－3π)＋2(a≠0)的最小正周期为.
(1)求a的值； (4分)
(2)求f(x)的值域. (2分)

32．(本题满分7分)在△ABC中，若BC＝1，∠B＝，S△ABC＝，求角C.

33.(本题满分7分)如图所示，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面AD1C把正方体分成两部分. 求：
(1)直线C1B与平面AD1C所成的角； (2分)
(2)平面C1D与平面AD1C所成二面角的平面角的余弦值； (3分)
(3)两部分中体积大的部分的体积．(2分)

第33题图

34.(本题满分10分)已知抛物线x2＝4y，斜率为k的直线L, 过其焦点F且与抛物线相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)求直线L的一般式方程； (3分)
(2)求△AOB的面积S；(4分)
(3)由(2)判断，当直线斜率k 为何值时△AOB的面积S有最大值；当直线斜率k为何值时△AOB的面积S有最小值．(3分)

第34题图

2015年浙江省高等职业技术教育招生考试
数学试卷参考答案及评分标准
一、单项选择题(本大题共18小题，每小题2分，共36分)
　1.【答案】　D　【解析】　x2＋x＋3＝0，其中Δ＝1－4×1×3＝－11<0从而方程无解，即集合M为空集．∴答案选D.
　2.【答案】　C　【解析】　一方面，由a<b得a－b<0；另一方面，由a－b<0可得a<b，故甲是乙的充分且必要条件．∴答案选C.
　3.【答案】　A　【解析】　由得x≥3，答案选A.
　4.【答案】　C　【解析】　A，B为单调递增函数，D项中sinx为周期函数．∴答案选C.
　5.【答案】　C　【解析】　由题意β＝α－2×2π＝－4π＝－π，答案选C.
　6.【答案】　B　【解析】　圆心到直线的距离d＝＝3>＝半径，∴直线与圆相离，故选B.
　7.【答案】　D　【解析】　∵β∈(0，π)，∴sinβ∈(0，1]，当sinβ＝1时，得x2＋y2＝1它表示圆；当sinβ≠1时，由sinβ>0∴此时它表示的是椭圆．答案选D.
　8.【答案】　C　【解析】　②a，b有可能相交，④a有可能在α内，①③正确．答案选C.
　9.【答案】　A　【解析】　∵cos(－θ)cos(＋θ)＝(coscosθ＋sinsinθ)·(coscosθ－sinsinθ)＝cos2θ－sin2θ＝(cos2θ－sin2θ)＝cos2θ＝，∴cos2θ＝.故答案选A.
　10.【答案】　D　【解析】　∵a1＋a2＋…＋an＝＝2n－1，∴q＝2，a1＝1，又a＋a＋…＋a是以a＝1为首项，q2＝4为公比的等比数列，∴a＋a＋…＋a＝，故选D.
　11.【答案】　D　【解析】　C＝＝，∴答案选D.
　12.【答案】　C　【解析】　直线x＋y＋2015＝0转化为y＝－x－2015，k＝tanθ　＝－，∴θ＝.
　13.【答案】　C　【解析】　函数f(x)的最大值为＝5，解得a＝－，即f(x)＝－x2＋4x－3∴f(3)＝.答案选C.
　14.【答案】　D　【解析】　∵sinα＝，且α∈(，π)∴cosα＝－，tanα＝－，tan(α＋)＝＝.答案选D.
　15.【答案】　B　【解析】　∵三角之比A∶B∶C＝1∶1∶4，且A＋B＋C＝π，∴A＝B＝，C＝.故sinA∶sinB∶sinC＝1∶1∶.答案选B.
　16.【答案】　C　【解析】　∵4＝(x－2)(x＋2)＋y2＝x2＋y2≥2，即2≤4，3≤6，得3xy≤－6或3xy≥6，故3xy的最小值为－6，答案选C.
　17.【答案】　B　【解析】　设P(x，y)与点M(－1，0)关于点H(2，3)中心对称，则＝2，＝3.∴x＝5，y＝6.答案选B.
　18.【答案】　A　【解析】　∵双曲线的焦距为8，∴c＝4，又离心率为e＝＝2，∴a＝2，即得b2＝c2－a2＝12，故双曲线的标准方程为－＝1，答案选A.
二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
　19.【答案】　(－∞，0)∪(7，＋∞)　【解析】　∵>7∴2x－7>7或2x－7<－7，即x<0或x>7，故解集为(－∞，0)∪(7，＋∞)
　20.【答案】　a　【解析】　∵tanα＝，∴sinα＝，cosα＝，代入即可解得acos2α＋bsin2α＝a(cos2α－sin2α)＋2bsinαcosα＝a.
　21.【答案】　28　【解析】　∵＝－＝(0，7)，∴＝＝28.
　22.【答案】　　【解析】　∵三个数4，x－1，9成等比数列，∴有(x－1)2＝4×9＝36，解得x＝－5或x＝7.
　23.【答案】　　【解析】　两个人分别出“石头”与“剪刀”有两种可能，且各自出“石头”与“剪刀”的概率为，P＝2××＝.
　24.【答案】　26Cx－5　【解析】　∵展开式的中间一项为第7项，∴中间一项为26Cx－5.
　25.【答案】　3 cm3　【解析】　设正方体的边长为a，∵体对角线为3cm，∴(a)2＋a2＝32，得a＝，∴体积V＝3 cm3.
　26.【答案】　(x＋2)2＋(y＋2)2＝4　【解析】　因为圆与第三象限的x，y轴相切，所以圆心为(－2，－2)，半径为2，故圆的标准方程为(x＋2)2＋(y＋2)2＝4.
三、解答题(本大题共8小题，共60分)
　27.【解】因为直线x＋2y－1＝0的斜率K1＝－(1分)
　所以由题意得过点A、B的直线斜率为2(2分)
　由斜率公式得：2＝(2分)
　解得n＝ (2分)
　28.【解】(1)∵－<0，f(－)＝3－2×(－)＝4(2分)
　(2)∵2－0.5＝2－＝＝>0(1分)
　∴f(2－0.5)＝(2－0.5)2－1＝2－1－1＝－1＝－ (2分)
　(3)当t－1≥0时，即t≥1时，f(t－1)＝(t－1)2－1＝t2－2t (1分)
　当t－1<0时，即t<1时，f(t－1)＝3－2(t－1)＝5－2t (1分)
　29.【解】(1)组长必须参加，只要从剩下的14人中任取2人即可完成事件，选法总数为　C＝＝91种 (2分)
　(2)3人中至少有1名女生分为三类选法：1女2男，2女1男，3女0男，选法总数为：
　CC＋CC＋C＝216＋135＋20＝371种(2分)
　(3)3人中至少有1名女生和1名男生分为2类选法：1女2男，2女1男，选法总数为：CC＋CC＝216＋135＝351 种(3分)
　30.【解】(1)因为每列的数成等比数列，即 2，1，a 成等比数列，所以a ＝(1分)
　又因为每行的数成等差数列，即可求出第二列第五行的数字为，同理可求出第二列第四行的数字为，依次可求得b ＝ (1分)
　c ＝ (1分)
　(2)

c

b

a

1

1

2

3
　(答全对得3分，每行或每列答对得0.5分)
　(3)由(1)(2)可得：
　第一行各数和为：＋＋＋＋＝＝，
　第二行各数和为：＋＋＋＋＝，
　同样的方法可分别求得第三行各数之和为，第四行各数之和为5，第五行各数之和为10. 所以各数之和为 10＋5＋＋＋＝ (3分)
　31.【解】(1)f(x)＝3sin(ax－π)＋4cos(ax－3π)＋2
　＝－3sinax－4cosax＋2
　＝5sin(ax＋β)＋2 (2分)
　由题意有＝ (1分)
　解得：a＝±3π(1分)
　(2)因为sin(ax＋β)∈[－1，1](1分)
　所以f(x)的值域为：f(x)∈[－3，7](1分)
　32.【解】∵ S△ABC＝BC×AB×sinB⇒AB＝2(1分)
　由余弦定理：AC2＝AB2＋BC2－2BC×AB×cosB(1分)
　∴ AC＝ (1分)
　∵BC2＋AC2＝AB2(1分)
　∴△ABC是直角三角形 (1分)
　∴ ∠C＝90°(2分)
　33.【解】(1)因为直线C1B∥AD1，
　且AD1⊂平面AD1C，推知直线C1B∥平面AD1C(1分)
　所以直线C1B与平面AD1C所成的角为0°(1分)
　(2)连接C1D，交C1D于E, 连接AE, 因为E是对角线交点，三角形ACD1是等边三角形，所以DE⊥CD1，AE⊥CD1，
　所以∠AED是平面C1D与平面AD1C所成二面角的平面角(1分)
　在三角形ADE中，DE＝a，AE＝a，
　所以 cos∠AED＝＝＝. (2分)
　(3)设两部分中体积大的部分体积为V1, 体积小的部分的体积为V2, 正方体体积为V，则有V＝a3，V2＝VA－D1DC＝(1分)
　所以所求部分的体积V1＝V－V2＝a3－＝a3(1分)

第33题图
　　34.【解】(1)由题意抛物线x2＝4y的焦点F(0，1)，因为直线L的斜率为k, 所以直线L的方程为y－1＝kx化为一般式即为：kx－y＋1＝0(3分)
　(2)联立方程得：， 将②代入①得：x2－4kx－4＝0，
　x1＋x2＝4k，　x1x2＝－4,
　＝＝
　　 ＝＝
　 ＝4(1＋k2) (2分)
　又因为原点(0，0) 到直线kx－y＋1＝0的距离为：d＝(1分)
　所以△AOB的面积S＝d＝××4(1＋k2)＝2(1分)
　(3)由(2)得x2－4kx－4＝0, Δ＝16k2＋16>0，　∴k∈R(1分)
　因为S＝2，所以无论k取何值，面积S无最大值(1分)
　k＝0时，S＝2为最小值 (1分)