特殊值法解数学题.doc

(完整word)特殊值法解数学题
用特殊值法解题

湖北省公安县斑竹当中学 雷学池

特殊值法是用满足条件的特殊值（式）代入题目去验证、计算，从而得到正确结论的一种方法．特殊值法在解题中有下列应用．
1．解选择题：
例1 若a＞b＞c＞0,m＞n＞0．(m、n为数），则下列各式中成立的是 ［ ］
A．ambn＞bncm＞cnam B．ambn＞cnam＞bncm
C．cnam＞ambn＞bncm D．bncm＞cnam＞ambn
解 ∵a＞b＞c＞0．m＞n＞0（m、n为整数)取特殊值，a=3，b=2，c=1,m=2，n=1得
ambn=32×21=18
bncm=21×12=2
cnam=11×32＝9
∴ ambn＞cnam＞bncm
故选B．
2．确定多项式的系数
例2 已知当x是任何实数时，x2—2x+5＝a（x+1）2＋b（x＋1)＋c都成立，求a、b、c的值．
解 用特殊值法．
当x=—1时,原式为8=c ①
当x=0时，原式为5=a＋b＋c ②
当x=1时，原式为4=4a+2b＋c ③
由①、②、③可知a=1，b=—4，c=8．
3．判断命题的真假
例3 判断命题“式子a2＋(a＋1）2＋a2（a＋1)2=（a2＋a—1)2是恒等式”的真假．
解 取特殊值，当a=1时,原式左边为9，右边为1，因为9≠1,故原命题是假命题．
4．解证定值问题
例4 若a、b为定值，且无论k取何值时，关于x的一次方程

由①、②可得a=3，b=—2．
练习 用特殊值法解下列各题：

2．命题“式子x3＋9=（x＋2）3-6（x＋2）2+12（x+2）是恒等式”是真命题，对吗?

值，求a、b应满足的关系式．并求出这个定值．
4．已知 a＋ b＋ c≠ 0，求证：不论a、b、c取何实数时,三

答案

2．取x=0，左边为9，右边为8,9≠8．故不对．

式得

质证明．
巧取特殊值解选择题

山东省茌平县傅平镇中学初三·一班 鲁傅

我在解某些选择题时,采用了取特殊值法，使问题简捷，迅速地获得解决，如下面几例．
例1 已知a、b、c都是实数,且a＞b＞c，那么下列式子中正确的是 [ ］

（98年全国初中数学联赛）
解:∵a＞b＞c，
∴可取a=1,b=0，c=—1代入各选择支,只有a+b=1＞b＋c=—1成立．故选(B）．
例2 设a、b、c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc，y=b2-ca，z=c2—ab，则x、y、z [ ］
A．都不小于0 B．都不大于0
C．至少有一个小于0 D．至少有一个大于0
(94年全国初中数学联赛题）
解：若令a=0，b=1，c=-1，则x=y=z=1，故可排除（B）、(C）；
再令a=0，b=c=1，则x=-1，y=z=1，又可排除（A)．故选（D）．

（94年全国初中数学联赛题）

则 ［ ]
A．M＜Q＜P＜N B．M＜P＜Q＜N
C．Q＜N＜P＜M D．N＜Q＜P＜M
(第六届全国部分省市初中数学通讯赛试题）
解：∵ x＜y＜0，
∴可取x=—2,y=-1并代入上式，则

例5 如果a、b均为有理数，且b＜0,则a、a-b，a＋b的大小关系是 ［ ］
A．a＜a+b＜a—b B．a＜a—b＜a+b
C．a＋b＜a＜a—b D．a—b＜a＋b＜a
（95年“希望杯"全国数学邀请赛初一试题)
解：∵a、b均为有理数，且b＜0，
∴可取a=1,b=-1并代入上式，得
a-b＝1-（—1）＝2，a＋b=1＋（—1）=0．∵0＜1＜2，∴a+b＜a＜a—b．故选（C)．
例6 二次函数y=ax2＋bx＋c的图象经过点（—2，1)和（2,3），且与y轴的交点为P，若P点的纵坐标是小于1的正数，则a的取值范围是 [ ］

(94年山东省初中数学竞赛题）