数学建模实验题目解答.doc

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数学建模实验题目解答
题目一：慢跑者与狗
一个慢跑者在平面上沿椭圆以恒定的常速v=1跑步，设椭圆方程为： x=10+20cost， y=20+5sint. 突然有一只狗攻击他. 这只狗从原点出发,以恒定速率w跑向慢跑者.狗的运动方向始终指向慢跑者.分别求出w=20,w=5时狗的运动轨迹，并分析狗是攻击到慢跑者。
一,建立模型。
设时刻t慢跑者的坐标为（X（t）,Y（t)）,狗的坐标为(x(t），y(t)）,
又X=10+20cost， Y=20+15sint。
由于狗的运动方向始终指向慢跑者，
故此时狗与人的坐标连线就是此时狗的轨迹曲线弧处的切线,
即dy/dx=(Y-y）/（X—x)， y’=(dy/dt）/(dx/dt） 又运动时间相同:
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=
=
-
+
-
+
+
-
+
=
-
+
-
+
+
-
+
=
0
)
0
(

,
0
)
0
(
)
sin
15
20
(
)
sin
15
20
(
)
cos
20
10
(
)
cos
20
10
(
)
sin
15
20
(
)
cos
20
10
(
2
2
2
2
y
x
y
t
y
t
x
t
w
dt
dy
x
t
y
t
x
t
w
dt
dx
，解得可得参数方程为:

二，求解模型
w=20时，建立m—文件xy1.m如下：
function dy=xy1 (t，y)
dy=zeros（2,1）;
dy（1）=20＊(10+20*cos(t）—y（1))/sqrt
（（10+20＊cos(t)-y（1)）^2+(20+15*sin（t）-y(2）)^2);
dy（2）=20＊(20+15＊sin（t）—y(2))/sqrt
（(10+20*cos(t)—y(1）)^2+(20+15＊sin（t)-y(2）)^2)；
取t0=0,tf=6.0，建立主程序fangcheng1。m如下：
t0=0;tf=6.0；
［t，y]=ode45('eq3’,[t0 tf］，[0 0］);
T=0：0.1:2＊pi；
X=10+20*cos（T）;
Y=20+15*sin(T）；
plot（X,Y，’-'）
hold on
plot（y（:，1)，y(：，2），'*’)
轨迹线如下图:
发现狗没有攻击到慢跑者，

于是,从4。0开始,不断的更改tf的值，发现当tf=3。15时, 刚好追上慢跑者.其轨迹线如下图所示:

W=5时， 建立m-文件xy2.m如下：
function dy=xy2（t,y)
dy=zeros（2，1）;
dy(1)=5*（10+20＊cos（t）-y（1）)/sqrt
((10+20＊cos（t)—y(1)）^2+(20+15＊sin（t)-y(2))^2);
dy(2）=5*(20+15＊sin(t)—y（2))/sqrt
(（10+20*cos（t）- y(1)）^2+(20+15*sin（t）-y(2）)^2);
取t0=0，tf=30立主程序fangcheng2。m如下:
t0=0;tf=30
［t，y］=ode45（'eq4’,[t0 tf］，[0 0])；
T=0：0.1:2＊pi;
X=10+20＊cos（T);
Y=20+15＊sin（T)；
plot(X,Y,’-'）
hold on
plot(y(:,1)，y(：,2），'＊’）
轨迹线如下图:
发现狗没有攻击到慢跑者，

当tf=50， 轨迹线如下图:

在fangcheng2.m不断修改tf的值，分别取tf=60。70…1000….
可以看出,狗永远追不上慢跑者。