资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．已知二次函数图象的一部分如图所示，给出以下结论：；当时，函数有最大值；方程的解是，；，其中结论错误的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
2．反比例函数与在同一坐标系的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
3．抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（1，3）
4．点P(6，-8)关于原点的对称点的坐标为( )
A．(-6，8) B．(–6，-8) C．(8，-6) D．(–8，-6)
5．二次函数中与的部分对应值如下表所示，则下列结论错误的是（ ）
-1
0
1
3
-1
3
5
3
A． B．当时，的值随值的增大而减小
C．当时， D．3是方程的一个根
6．在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处,能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”,“兵”所在位置的格点构成的三角形相似（ ）
A．①处 B．②处 C．③处 D．④处
7．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
8．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
9．一元二次方程x2﹣4x+5＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
10．已知反比例函数y＝2x﹣1，下列结论中，不正确的是（ ）
A．点（﹣2，﹣1）在它的图象上
B．y随x的增大而减小
C．图象在第一、三象限
D．若x＜0时，y随x的增大而减小
11．下列根式是最简二次根式的是
A． B． C． D．
12．若函数y＝(m2－3m＋2)x|m|－3是反比例函数，则m的值是( )
A．1 B．－2 C．±2 D．2
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，正方形网格中，5个阴影小正方形是一个正方体表面展开图的一部分．现从其余空白小正方形中任取一个涂上阴影，则图中六个阴影小正方形能构成这个正方体的表面展开图的概率是______ ．
14．已知点，都在反比例函数图象上，则____(填“”或“”或“”)．
15．如图，点在反比例函数的图象上，过点作AB⊥轴，AC⊥轴，垂足分别为点，若，，则的值为____．
16．方程的解是__________．
17．若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________.
18．抛物线开口向下，且经过原点，则________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，已知点A（a，3）是一次函数y1＝x+1与反比例函数y2＝的图象的交点．（1）求反比例函数的解析式；（2）在y轴的右侧，当y1＞y2时，直接写出x的取值范围；（3）求点A与两坐标轴围成的矩形OBAC的面积．
20．（8分）（1）解方程．
（2）计算：．
21．（8分）某网店打出促销广告：最潮新款服装30件，每件售价300元，若一次性购买不超过10件时，售价不变；若一次性购买超过10件时，每多买2件，所买的每件服装的售价均降低6元.已知该服装成本是每件200元.设顾客一次性购买服装x件时，该网店从中获利y元.
（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.
（2）顾客一次性购买多少件时，该网店从中获利最多，并求出获利的最大值？
22．（10分）已知：在平面直角坐标系中，抛物线（）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且对称轴为直线x=-2 .
（1）求该抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）若点P(0,t)是y轴上的一个动点，请进行如下探究：
探究一：如图1，设△PAD的面积为S，令W＝t·S，当0＜t＜4时，W是否有最大值？如果有，求出W的最大值和此时t的值；如果没有，说明理由；
探究二：如图2，是否存在以P、A、D为顶点的三角形与Rt△AOC相似？如果存在，求点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
23．（10分）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．线段AB的端点均在格点上，按下列要求画出图形．
（1）在图①中找到两个格点C，使∠BAC是锐角，且tan∠BAC＝；
（2）在图②中找到两个格点D，使∠ADB是锐角，且tan∠ADB＝1．
24．（10分）如图，已知△ABC的顶点A、B、C的坐标分别是A（﹣1，﹣1）、B（﹣4，﹣3）、C（﹣4，﹣1）．
（1）画出△ABC关于原点O中心对称的图形△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°后得到△AB2C2，画出△AB2C2并求线段AB扫过的面积．
25．（12分）如果某人滑雪时沿着一斜坡下滑了130米的同时，在铅垂方向上下降了50米，那么该斜坡的坡度是1∶_______
26．现有红色和蓝色两个布袋，红色布袋中有三个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字1，2，3，蓝色布袋中有也三个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字2，3，4小明先从红布袋中随机取出一个小球，用m表示取出的球上标有的数字，再从蓝布袋中随机取出一个小球，用n表示取出的球上标有的数字．
（1）用列表法或树状图表示出两次取得的小球上所标数字的所有可能结果；
（2）若把m、n分别作为点A的横坐标和纵坐标，求点A（m，n）在函数y＝的图象上的概率．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【解析】由抛物线开口方向得到a＜1，根据抛物线的对称轴为直线x==-1得b＜1，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞1，则abc＞1；观察函数图象得到x=-1时，函数有最大值；
利用抛物线的对称性可确定抛物线与x轴的另一个交点坐标为(-3，1)，则当x=1或x=-3时，函数y的值等于1；观察函数图象得到x=2时，y＜1，即4a+2b+c＜1．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴a<1，
∵抛物线的对称轴为直线x==-1，
∴b=2a<1，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c>1，
∴abc>1，所以①正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=-1，
∴当x=-1时，函数有最大值，所以②正确；
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为(1，1)，而对称轴为直线x=-1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(−3，1)，
∴当x=1或x=-3时，函数y的值都等于1，
∴方程ax2+bx+c=1的解是：x1=1，x2=-3，所以③正确；
∵x=2时，y<1，
∴4a+2b+c<1，所以④错误.
故选A.
【点睛】
解此题的关键是能正确观察图形和灵活运用二次函数的性质，能根据图象确定a、b、c的符号，并能根据图象看出当x取特殊值时y的符号．
2、B
【分析】根据反比例函数和一次函数的性质逐个对选项进行分析即可．
【详解】A 根据反比例函数的图象可知，k>0,因此可得一次函数的图象应该递减，但是图象是递增的，所以A错误；B根据反比例函数的图象可知，k>0,，因此一次函数的图象应该递减，和图象吻合，所以B正确；C根据反比例函数的图象可知，k<0,因此一次函数的图象应该递增，并且过（0,1）点，但是根据图象，不过（0,1），所以C错误；D根据反比例函数的图象可知，k<0,因此一次函数的图象应该递增，但是根据图象一次函数的图象递减，所以D错误．故选B
【点睛】
本题主要考查反比例函数和一次函数的性质，关键点在于系数的正负判断，根据系数识别图象.
3、D
【分析】直接根据顶点式的特点求顶点坐标．
【详解】解：∵y＝﹣3（x﹣1）2+3是抛物线的顶点式，
∴顶点坐标为（1，3）．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x−h）2＋k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
4、A
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y），可以直接选出答案．
【详解】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点可得：点P（6，-8）关于原点过对称的点的坐标是（-6，8）．
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，关键是熟记关于原点对称的点的坐标的特点：它们的坐标符号相反．
5、C
【分析】根据表格中的数值计算出函数表达式，从而可判断A选项，利用对称轴公式可计算出对称轴，从而判断其增减性，再根据函数图象及表格中y=3时对应的x，可判断C选项，把对应参数值代入即可判断D选项.
【详解】把(－1，－1)，(0，3)，(1，5)代入得，解得，
∴，
A.，故本选项正确；
B.该函数对称轴为直线，且，函数图象开口向下，所以当时，y随x的增大而减小，故本选项正确；
C.由表格可知，当x=0或x=3时，y=3，且函数图象开口向下，所以当y<3时，x<0或x>3，故本选项错误；
D.方程为，把x=3代入得－9+6+3=0，所以本选项正确.
故选：C.
【点睛】
本题考查了二次函数表达式求法，二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质等知识， “待定系数法”是求函数表达式的常用方法，需熟练掌握.
6、B
【分析】确定“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长，然后利用相似三角形的对应边的比相等确定第三个顶点的位置即可．
【详解】帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为；
“车”、“炮”之间的距离为1，“炮”②之间的距离为，“车”②之间的距离为2 ，
∵
∴马应该落在②的位置，
故选B
【点睛】
本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是利用勾股定理求得三角形的各边的长，难度不大．
7、A
【分析】本题可先由二次函数y=ax2+bx+c图象得到字母系数的正负，再与一次函数y=ax+b的图象相比较看是否一致．
【详解】A、由抛物线可知，a＜0，x=﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；
B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误；
C、由抛物线可知，a＞0，x=﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；
D、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误．
故选A．
8、D
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念分别分析得出答案．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查轴对称图形与中心对称图形的概念,理解掌握两个定义是解答关键.
9、A
【解析】首先求出一元二次方程根的判别式，然后结合选项进行判断即可．
【详解】解：∵一元二次方程，
∴△＝，
即△＜0，
∴一元二次方程无实数根，
故选A．
【点睛】
本题主要考查了根的判别式的知识，解题关键是要掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
10、B
【分析】由反比例函数的关系式，可以判断出（-2，-1）在函数的图象上，图象位于一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，进而作出判断，得到答案．
【详解】A、把（﹣2，﹣1）代入y＝2x﹣1得：左边＝右边，故本选项正确，不符合题意；
B、k＝2＞0，在每个象限内，y随x的增大而减小，故本选项错误，符合题意；
C、k＝2＞0，图象在第一、三象限，故本选项正确，不符合题意；
D、若x＜0时，图象在第三象限内，y随x的增大而减小，故本选项正确，不符合题意；
不正确的只有选项B，
故选：B．
【点睛】
考查反比例函数的图象和性质，特别注意反比例函数的增减性，当k＞0，在每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0，在每个象限内，y随x的增大而增大．
11、D
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】解：A．，不符合题意；
B.，不符合题意；
C.，不符合题意；
D.是最简二次根式，符合题意；
故选D．
【点睛】
本题考查最简二次根式的定义根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
12、B
【解析】根据反比例函数的定义,列出方程求解即可．
【详解】解：由题意得，|m|-3=-1，
解得m=±1，
当m=1时，m1-3m+1=11-3×1+1=2，
当m=-1时，m1-3m+1=（-1）1-3×（-1）+1=4+6+1=11，
∴m的值是-1．
故选：B．
【点睛】
本题考查了反比例函数的定义，熟记一般式y=（k≠2）是解题的关键，要注意比例系数不等于2．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】首先确定所求的阴影小正方形可能的位置总数目，除以剩余空白部分的正方形的面积个数即为所求的概率．
【详解】解：从阴影下边的四个小正方形中任选一个，就可以构成正方体的表面展开图，
∴能构成这个正方体的表面展开图的概率是．
故答案为：．
【点睛】
本题将概率的求解设置于正方体的表面展开图中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比；“一，四，一”组合类型的6个正方形能组成正方体．
14、
【分析】先判断，则图像经过第一、三象限，根据反比例函数的性质，即可得到答案.
【详解】解：∵，
∴反比例函数的图象在第一、三象限，且在每个象限内y随x增大而减小，
∵，
∴，
故答案为：.
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握时，反比例函数经过第一、三象限，且在每个象限内y随x增大而减小.
15、
【分析】求出点A坐标，即可求出k的值.
【详解】解：根据题意，设点A的坐标为（x，y），
∵，，AB⊥轴，AC⊥轴，
∴点A的横坐标为：；点A的纵坐标为：；
∵点A在反比例函数的图象上，
∴；
故答案为：.
【点睛】
本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征．
16、
【分析】先通过移项将等号右边多项式移到左边，再利用提公因式法因式分解，即可得出方程的根.
【详解】解：
移项得：
提公因式得：
解得：；
故答案为：.
【点睛】
本题考查一元二次方程因式分解的解法.在解一元二次方程的时候，一定要先观察方程的形式，如果遇到了相同的因式，先将他们移到方程等号的一侧，看能否利用提公因式解方程，观察以及积累是快速解题的关键.
17、
【分析】由题意关于x的方程有两个不相等的实数根，即判别式△=b2-4ac＞2．即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围．
【详解】解：∵b2-4ac=22-4×2×a=4-4a＞2，
解得：a＜2．
∴a的取值范围是a＜2．
故答案为：a＜2．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞2⇔方程有两个不相等的实数根；△=2⇔方程有两个相等的实数根；△＜2⇔方程没有实数根．
18、
【解析】把原点（0，0）代入y=（k+1）x2+k2﹣9，可求k，再根据开口方向的要求检验．
【详解】把原点（0，0）代入y=（k+1）x2+k2﹣9中，得：k2﹣9=0
解得：k=±1．
又因为开口向下，即k+1＜0，k＜﹣1，所以k=﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】
主要考查了二次函数图象上的点与二次函数解析式的关系．要求掌握二次函数图象的性质，并会利用性质得出系数之间的数量关系进行解题．
三、解答题（共78分）
19、（1）y2＝；（2）x＞2；（3）点A与两坐标轴围成的矩形OBAC的面积是1．
【解析】（1）将点A的坐标代入一次函数的解析式，求得a值后代入反比例函数求得b的值后即可确定反比例函数的解析式；
（2）y1＞y2时y1的图象位于y2的图象的上方，据此求解．
（3）根据反比例函数k值的几何意义即可求解．
【详解】解：（1）将A（a，3）代入一次函数y1＝x+1得a+1＝3，
解得a＝2，
∴A（2，3），
将A（2，3）代入反比例函数得，解得k＝1，
∴
（2）∵A（2，3），y1＝x+1，
∴在y轴的右侧，当y1＞y2时，x的取值范围是x＞2；
（3）∵k＝1，
∴点A与两坐标轴围成的矩形OBAC的面积是1．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，能正确的确定点A的坐标是解答本题的关键，难度不大．
20、（1），；（2）．
【分析】（1）根据题意直接运用公式法解一元二次方程即可；
（2）根据题意运用幂的运算以及特殊锐角三角函数进行计算即可.
【详解】解：（1）由题意可知，
，.
（2）
．
【点睛】
本题考查解一元二次方程以及实数的运算，熟练掌握实数运算法则以及解一元二次方程的解法是解本题的关键．
21、（1）y=100x（的整数） y=x(的整数);（2）购买22件时，该网站获利最多,最多为1408元.
【分析】（1）根据题意可得出销售量乘以每台利润进而得出总利润；
（2）根据一次函数和二次函数的性质求得最大利润.
【详解】（1）当的整数时，
y与x的关系式为y=100x；
当的整数时，
，
y= (的整数),
∴y与x的关系式为：
y=100x（的整数）, y=x(的整数)
（2）当（的整数），y=100x,
当x=10时，利润有最大值y=1000元；
当10˂x≤30时，y=,
∵a=-3<0,抛物线开口向下，
∴y有最大值，
当x=时，y取最大值，
因为x为整数，根据对称性得：当x=22时，y有最大值=1408元˃1000元，所以顾客一次性购买22件时，该网站获利最多.
【点睛】
本题考查分段函数及一次函数和二次函数的性质，利用函数性质求最值是解答此题的重要途径，自变量x的取值范围及取值要求是解答此题的关键之处.
22、（1）， D（-2，4）．
（2）①当t=3时，W有最大值，W最大值=1．②存在．只存在一点P（0，2）使Rt△ADP与Rt△AOC相似．
【解析】（1）由抛物线的对称轴求出a，就得到抛物线的表达式了；
（2）①下面探究问题一，由抛物线表达式找出A，B，C三点的坐标，作DM⊥y轴于M，再由面积关系：SPAD=S梯形OADM-SAOP-SDMP得到t的表达式，从而W用t表示出来，转化为求最值问题．
②难度较大，运用分类讨论思想，可以分三种情况：
（1）当∠P1DA=90°时；（2）当∠P2AD=90°时；（3）当AP3D=90°时。
【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2-x+3（a≠0）的对称轴为直线x=-2．
∴D（-2，4）．
（2）探究一：当0＜t＜4时，W有最大值．
∵抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，
∴A（-6，0），B（2，0），C（0，3），
∴OA=6，OC=3．
当0＜t＜4时，作DM⊥y轴于M，
则DM=2，OM=4．
∵P（0，t），
∴OP=t，MP=OM-OP=4-t．
∵S三角形PAD=S梯形OADM-S三角形AOP-S三角形DMP
=12-2t
∴W=t（12-2t）=-2（t-3）2+1
∴当t=3时，W有最大值，W最大值=1．
探究二：
存在．分三种情况：
①当∠P1DA=90°时，作DE⊥x轴于E，则OE=2，DE=4，∠DEA=90°，
∴AE=OA-OE=6-2=4=DE．
∴∠DAE=∠ADE=45°，
∴∠P1DE=∠P1DA-∠ADE=90°-45°=45度．
∵DM⊥y轴，OA⊥y轴，
∴DM∥OA，
∴∠MDE=∠DEA=90°，
∴∠MDP1=∠MDE-∠P1DE=90°-45°=45度．
∴P1M=DM=2，
此时
又因为∠AOC=∠P1DA=90°，
∴Rt△ADP1∽Rt△AOC，
∴OP1=OM-P1M=4-2=2，
∴P1（0，2）．
∴当∠P1DA=90°时，存在点P1，使Rt△ADP1∽Rt△AOC，
此时P1点的坐标为（0，2）
②当∠P2AD=90°时，则∠P2AO=45°，
∴△P2AD与△AOC不相似，此时点P2不存在．
③当∠AP3D=90°时，以AD为直径作⊙O1，则⊙O1的半径
圆心O1到y轴的距离d=4．
∵d＞r，
∴⊙O1与y轴相离．
不存在点P3，使∠AP3D=90度．
∴综上所述，只存在一点P（0，2）使Rt△ADP与Rt△AOC相似．
23、（1）如图①点C即为所求作的点；见解析；（2）如图②，点D即为所求作的点，见解析．
【分析】（1）在图①中找到两个格点C，使∠BAC是锐角，且tan∠BAC=；
（2）在图②中找到两个格点D，使∠ADB是锐角，且tan∠ADB＝1.
【详解】解：（1）如图①点C即为所求作的点；
（2）如图②，点D即为所求作的点．
【点睛】
本题考查了作图——应用与设计作图，解直角三角形. 解决本题的关键是准确画图.
24、（1）见解析；（2）
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）分别作出B，C的对应点B2，C2即可，再利用扇形的面积公式计算即可．
【详解】解（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△AB2C2即为所求．线段AB扫过的面积＝＝
【点睛】
本题考查作图旋转变换，扇形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
25、2.4.
【解析】试题解析：
如图所示：AC=130米，BC=50米，
则米，
则坡比
故答案为：
26、（1）见解析；（2）．
【分析】（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果；
（2）利用，的值确定满足的个数，根据概率公式求出该事件的概率．
【详解】解：（1）所有可能情况如下表，且它们的可能性相
n
m
2
3
4
1
（1，2）
（1，3）
（1，4）
2
（2，2）
（2，3）
（2，4）
3
（3，2）
（3，3）
（3，4）
由列表知，（m，n）有9种可能；
（2）由（1）知，所有可能情况有9种，其中满足y＝的有（2，3）和（3，2）两种，
∴点A（m，n）在函数y＝的图象上的概率为．
【点睛】
本题考查了列表法求概率，反比例函数图象上点的坐标特点．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
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