深圳中学2023届高一上数学期末考试试题含解析.doc

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1．函数y=的单调递减区间是(　　)
A.(-∞,1) B.［1,+∞)
C.(-∞,-1) D.(-1,+∞)
2．函数f(x)=tan的单调递增区间是（）
A.(k∈Z) B.(k∈Z)
C.(k∈Z) D.(k∈Z)
3．直线与圆x2＋y2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
4．设且则（ ）
A. B.
C. D.
5．若a>0，且a≠1，x∈R，y∈R，且xy>0，则下列各式不恒成立的是（）
①logax2＝2logax；②logax2＝2loga|x|；③loga(xy)＝logax＋logay；④loga(xy)＝loga|x|＋loga|y|.
A.②④ B.①③
C.①④ D.②③
6．一个几何体的三视图如图所示，则几何体的体积是（　　）

A. B.
C. D.2
7．对于任意实数，给定下列命题正确的是（）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
8．设长方体的长、宽、高分别为，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为
A.3a2 B.6a2
C.12a2 D.24a2
9．已知正数、满足，则的最小值为
A. B.
C. D.
10．已知与分别是函数与的零点，则的值为　　
A. B.
C.4 D.5
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11．已知函数若，则实数的值等于________
12．函数的定义域为_____________________
13．若函数是定义在上的偶函数，当时，．则当时，______，若，则实数的取值范围是_______.
14．计算：=_______________.
15．若直线：与直线：互相垂直，则实数的值为__________
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．如图，在平行四边形中，分别是上的点，且满，记，，试以为平面向量的一组基底.利用向量的有关知识解决下列问题；

（1）用来表示向量；
（2）若，且，求；
17．如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：

（1）B，C，H，G四点共面；
（2）平面EFA1∥平面BCHG.
18．已知函数
（1）求函数导数；
（2）求函数的单调区间和极值点.
19．计算求值：
（1）
（2）
20．设函数，其中.
（1）当时，求函数的零点；
（2）若，求函数的最大值.
21．如图，四棱锥的底面为正方形，底面，分别是的中点.

（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面.

参考答案

一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1、A
【解析】令t＝-x2+2x﹣1，则y，故本题即求函数t的增区间，再结合二次函数的性质可得函数
t的增区间
【详解】令t＝-x2+2x﹣1，则y，故本题即求函数t的增区间，
由二次函数的性质可得函数t的增区间为（-∞，1），
所以函数的单调递减区间为(-∞,1).
故答案为A
【点睛】本题主要考查指数函数和二次函数的单调性，考查复合函数的单调性，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
2、B
【解析】运用整体代入法，结合正切函数的单调区间可得选项.
【详解】由kπ-<2x-<kπ+(k∈Z)，得<x<(k∈Z)，所以函数f(x)=tan的单调递增区间为(k∈Z).
故选:B.
【点睛】本题考查正切函数的单调性，属于基础题.
3、D
【解析】如图所示：
当直线过（1,0）时，将（1,0）代入直线方程得：m=；
当直线与圆相切时，圆心到切线的距离d=r，即，
解得：m=舍去负值.
则直线与圆在第一象限内有两个不同的交点时，m的范围为.
故选D
4、C
【解析】试题分析：由已知得，，去分母得，，所以
，又因为，
，所以，即，选
考点：同角间的三角函数关系，两角和与差的正弦公式
5、B
【解析】对于①中，若x<0，则不成立；③中，若x<0，y<0也不成立，②④根据运算性质可得均正确.
【详解】∵xy>0，∴①中，若x<0，则不成立；③中，若x<0，y<0也不成立，
②logax2＝2loga|x|，④loga(xy)＝loga|x|＋loga|y|，根据对数运算性质得两个都正确；
故选：B.
6、B
【解析】由三视图可知此几何体是由一个长为2，宽为，高为的长方体过三个顶点切去一角的空间多面体，如图所示，则其体积为.故正确答案选B.

考点：1.三视图；2.简单组合体体积.
7、C
【解析】利用特殊值判断A、B、D，根据不等式的性质证明C；
【详解】解：对于A：当时，若则，故A错误；
对于B：若，，，，满足，则，，不成立，故B错误；
对于C：若，则，所以，故C正确；
对于D：若，满足，但是，故D错误；
故选：C
8、B
【解析】方体的长、宽、高分别为,其顶点都在一个球面上,长方体的对角线的
长就是外接球的直径，所以球直径为：，
所以球的半径为，所以球的表面积是，故选B
9、B
【解析】由得，再将代数式与相乘，利用基本不等式可求出
的最小值
【详解】，所以，，
则，
所以，，
当且仅当，即当时，等号成立，
因此，的最小值为，
故选
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行合理配凑，是解决本题的关键，属于中等题
10、D
【解析】设，，由，互为反函数，其图象关于直线对称，作直线，分别交，的图象为A，B两点，点为A，B的中点，
联立方程得，由中点坐标公式得：，又，故得解
【详解】解：由，化简得，
设，，
由，互为反函数，其图象关于直线对称，
作直线，分别交，的图象为A，B两点，点为A，B的中点，

联立得；，
由中点坐标公式得：，
所以，
故选D
【点睛】本题考查了反函数、中点坐标公式及函数的零点等知识，属于难题.

二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11、-3
【解析】先求，再根据自变量范围分类讨论，根据对应解析式列方程解得结果.
【详解】
当a>0时，2a=-2解得a=-1，不成立
当a≤0时，a+1=-2,解得a=-3
【点睛】求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.
12、
【解析】，区间为.
考点：函数的定义域
13、 ①. ②.
【解析】根据给定条件利用偶函数的定义即可求出时解析式；再借助函数在单调性即可求解作答.
【详解】因函数是定义在上的偶函数，且当时，，
则当时，，，
所以当时，；
依题意，在上单调递增，
则，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：；
14、
【解析】
考点：两角和正切公式
点评：本题主要考查两角和的正切公式变形的运用，抓住和角是特殊角，是解题的关键.
15、-2
【解析】由于两条直线垂直，故.

三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16、（1）；（2）.
【解析】（1）由平面向量的线性运算法则结合图形即可得解；
（2）由平面向量数量积的运算律可得，进而可得，再由运算即可得解.
【详解】（1）∵在平行四边形中，，
∴；
（2）由（1）可知：，
∴，
∵且，
∴，∴，
又，
∴，
∴，
∴.
【点睛】本题考查了平面向量线性运算及数量积运算的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
17、（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）证明，再由，由平行公理证明，证得四点共面；
（2）证明，证得面，再证得，证得面，从而证得平面EFA1∥平面BCHG.
【详解】（1）∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.
又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面
（2）∵E，F分别是AB，AC的中点，∴EF∥BC.
∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.
∵A1GEB且，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.
∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.
∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.
【点睛】本题考查了四点共面的证明，面面平行的判定，考查对基本定理的掌握与应用，空间想象能力，要注意线线平行、线面平行、面面平行之间的相互转化，属于中档题.
18、（1）；
（2）函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.函数的极大值点为，极小值点为.
【解析】（1）直接利用导数求导得解；
（2）令，求出方程的根，再列表得解.
【小问1详解】
解：由题得.
【小问2详解】
解：，
令或.
当变化时，的变化情况如下表，

正
0
负
0
正

单调递增
极大值点
单调递减
极小值点
单调递增
所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.函数的极大值点为，极小值点为.
19、（1）
（2）1
【解析】（1）以实数指数幂运算规则解之即可；
（2）以对数运算规则解之即可.
【小问1详解】

【小问2详解】

20、（1）1和
（2）答案见解析
【解析】（1）分段函数，在每一段上分别求解后检验
（2）根据对称轴与区间关系，分类讨论求解
【小问1详解】
当时，
当时，由得；
当时，由得（舍去）
当时，函数的零点为1和
【小问2详解】
①当时，，，
由二次函数的单调性可知在上单调递减

②当即时，，，
由二次函数的单调性可知在上单调递增

③当时，
在上递增，在上的最大值为
当时在递增，在上递减，
在上的最大值为
，当时
当时在上递增，
在上的最大值为
，当时
综上所述：
当时，
当时，
当时，
当时，
21、（1）证明见解析；
（2）证明见解析.
【解析】（1）连接BD，根据线面平行的判定定理只需证明EF∥PD即可；
（2）利用线面垂直的判定定理可得面，再利用面面垂直的判定定理即证
【小问1详解】
如图，连结，则是的中点，又是的中点，

∴，
又∵平面，面，
∴平面；
【小问2详解】
∵底面是正方形，
∴，
∵平面，平面，
∴，又，
∴面，又平面，
故平面平面.