天津耀华中学2023届高一上数学期末复习检测模拟试题含解析.doc

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设函数（），，则方程在区间上的解的个数是
A. B.
C. D.
2．若直线与直线垂直，则()
A.1 B.2
C. D.
3．随着智能手机的普及，手机摄影越来越得到人们的喜爱，要得到美观的照片，构图是很重要的，用“黄金分割构图法”可以让照片感觉更自然、更舒适，“黄金九宫格”是黄金分割构图的一种形式，是指把画面横、竖各分三部分，以比例为分隔，4个交叉点即为黄金分割点.如图，分别用表示黄金分割点.若照片长、宽比例为，设，则（）

A. B.
C. D.
4．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式解集为
A. B.
C. D.
5．函数f（x）=2x+x-2的零点所在区间是（　　）
A. B.
C. D.
6．已知，，，则a，b，c的大小关系为()
A B.
C. D.
7．在正方体中，异面直线与所成的角为（）
A.30° B.45°
C.60° D.90°
8．如图，①②③④中不属于函数，，的一个是（）

A.① B.②
C.③ D.④
9．有一组实验数据如下

现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最佳的一个是（ ）
A. B.
C. D.
10．某几何体的三视图如图所示（图中小正方形网格的边长为），则该几何体的体积是

A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数是幂函数，且时，单调递减，则的值为___________.
12．已知甲、乙、丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概率分别是，且三人录取结果相互之间没有影响，则他们三人中恰有两人被录取的概率为___________.
13．___________，__________
14．已知是定义在上的奇函数，当时，，函数如果对，，使得，则实数m的取值范围为______
15．已知，是相互独立事件，且，，则______
16．如图，在正方体中，、分别是、上靠近点的三等分点，则异面直线与所成角的大小是______.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）函数，若存在，使得成立，求实数的取值范围；
（3）若函数，讨论函数的零点个数.
18．已知函数
（1）若，求的解集；
（2）若方程有两个实数根，，且，求的取值范围.
19．定义在上的函数（且）为奇函数
（1）求实数的值；
（2）若函数的图象经过点，求使方程在有解的实数的取值范围；
（3）不等式对于任意的恒成立，求实数的取值范围.
20．设函数是定义在上的奇函数，当时，
（1）确定实数的值并求函数在上的解析式；
（2）求满足方程的的值.
21．如图，正三棱柱的底面边长为3，侧棱，D是CB延长线上一点，且
求二面角的正切值；
求三棱锥的体积

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】由题意得，方程在区间上的解的个数即函数与函数的图像在区间上的交点个数
在同一坐标系内画出两个函数图像，注意当时，恒成立，易得交点个数为.选A

点睛：函数零点的求解与判断方法：
（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点
（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点
（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．但在应用图象解题时要注意两个函数图象在同一坐标系内的相对位置，要做到观察仔细，避免出错
2、B
【解析】分析直线方程可知，这两条直线垂直，斜率之积为－1.
【详解】由题意可知，即
故选：B.
3、B
【解析】依题意可得，即可得到，再利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得；
【详解】解：依题意，所以，所以

故选：B
4、B
【解析】，又函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，所以，解得.
考点：偶函数的性质.
【思路点睛】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性的性质进行转化是解决本题的关键.根据函数奇偶性可得，再根据函数的单调性，可得；然后再解不等式即可求出结果
5、C
【解析】根据函数零点的存在性定理可得函数零点所在的区间
【详解】解：函数，，
（1），
根据函数零点的存在性定理可得函数零点所在的区间为，
故选C
【点睛】本题主要考查函数的零点的存在性定理的应用,属于基础题
6、A
【解析】比较a，b，c的值与中间值0和1的大小即可﹒
【详解】
，
，
所以，
故选：A.
7、C
【解析】首先由可得是异面直线和所成角，再由为正三角形即可求解.
【详解】连接

因为为正方体，所以，
则是异面直线和所成角．又,
可得为等边三角形，则，所以异面直线与所成角为，
故选：C
【点睛】本题考查异面直线所成的角，利用平行构造三角形或平行四边形是关键，考查了空间想象能力和推理能力，属于中档题.
8、B
【解析】根据对数函数图象特征及与图象的关于轴对称即可求解.
【详解】解：由对数函数图象特征及与的图象关于轴对称，
可确定②不已知函数图象.
故选：B.
9、C
【解析】选代入四个选项的解析式中选取所得的最接近的解析式即可.
【详解】对于选项A：
当时，，与相差较多，
当时，，与相差较多，故选项A不正确；
对于选项B：
当时，，与相差较多，
当时，，与相差较多，故选项B不正确；
对于选项C：
当时，，
当时，，故选项C正确；
对于选项D：
当时，，与相差较多，
当时，，与相差较多，故选项D不正确；
故选：C.
10、A
【解析】利用已知条件，画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可
【详解】由题意可知几何体的直观图如图：是直四棱柱，底面是直角梯形，上底为：1，下底为2，高为2，棱柱的高为2，
几何体的体积为：V6
故选A

【点睛】本题考查几何体的直观图与三视图的关系，考查空间想象能力以及计算能力

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】根据幂函数定义求出m的值，根据函数的单调性确定m的值，再利用对数运算即可.
【详解】为幂函数，
，解得：或
当时，在上单调递增，不符合题意，舍去；
当时，在上单调递减，符合题意；
，
故答案为：
12、##0.15
【解析】利用相互独立事件概率乘法公式分别求出甲和乙被录取的概率、甲和丙被录取的概率、乙和丙被录取的概率，然后即可求出他们三人中恰有两人被录取的概率.
【详解】因为甲、乙、丙三人被该公司录取的概率分别是，且三人录取结果相互之间没有影响，甲和乙被录取的概率为，
甲和丙被录取的概率为，
乙和丙被录取的概率为
则他们三人中恰有两人被录取的概率为，
故答案为：.
13、 ①.##-0.5 ②.2
【解析】根据诱导公式计算即可求出；根据对数运算性质可得

【详解】由题意知，
；

故答案为：
14、
【解析】先求出时，，，然后解不等式，即可求解，得到答案
【详解】由题意，可知时，为增函数，所以，
又是上的奇函数，所以时，，
又由在上的最大值为，
所以，，使得，
所以.
故答案为
【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的判定与应用，以及函数的最值的应用，其中解答中转化为是解答的关键，着重考查了转化思想，推理与运算能力，属于基础题.
15、
【解析】由相互独立事件的性质和定义求解即可
【详解】因为，是相互独立事件，所以，也是相互独立事件，
因为，，
所以，
故答案为：
16、
【解析】连接，可得出，证明出四边形为平行四边形，可得，可得出异面直线与所成角为或其补角，分析的形状，即可得出的大小，即可得出答案.
【详解】连接、、，，，
在正方体中，，，，
所以，四边形为平行四边形，，
所以，异面直线与所成的角为.
易知为等边三角形，.

故答案为：.
【点睛】本题考查异面直线所成角的计算，一般利用平移直线法，选择合适的三角形求解，考查计算能力，属于中等题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
（3）答案见解析
【解析】（1）根据题意条件，分别求解的定义域和解对数不等式即可完成求解；
（2）通过题意条件，找到和两函数值域的关系，分别求解出对应的值域，通过分类讨论即可完成求解；
（3）通过题意条件，通过讨论的值，分别作出对应的函数图像，借助换元，观察函数图像的交点状况，从而完成求解.
【小问1详解】
函数，由，可得，即的定义域为；
不等式，所以
，即为，
解得，
则原不等式的解为；
【小问2详解】
函数，
若存在，使得成立，
则和在上的值域的交集不为空集；
由（1）可知：时，
显然单调递减，所以其值域为；
若，则在上单调递减，所以的值域为，
此时只需，即，所以；
若，则在递增，可得的值域为，
此时与的交集显然为空集，不满足题意；
综上，实数的范围是；
小问3详解】
由，
得，令，则，
画出的图象，

当，只有一个，对应3个零点，
当时，，
此时，
由，
得在，三个分别对应一个零点，共3个，
在时，，三个分别对应1个，1个，3个零点，共5个，
综上所述：当时，只有1个零点，
当或时，有3个零点，
当时，有5个零点.
【点睛】方法点睛：对于“存在，使得成立”，需要将其转化成两函数值域的关系，即两个函数的值域有交集，需根据函数的具体范围进行适时的分类讨论即可.
18、（1）
（2）或.
【解析】（1）根据题意，解不等式即可得答案；
（2）由题知，再结合韦达定理解即可得答案.
【小问1详解】
解：当时，，
所以，解得，
所以的解集为.
【小问2详解】
解：因为方程有两个实数根，，
所以，解得或.
所以，
所以，解得或.
综上，的取值范围为或.
19、（1）1（2）
（3）答案见解析
【解析】（1）根据题意可得，即可得解；
（2）根据函数的图象经过点，可得函数经过点，从而可求得，在求出函数在时的值域，即可得出答案；
（3）原不等式成立即为，令，则，分和两种情况讨论，从而可得出答案.
【小问1详解】
解：因为函数是定义在上的奇函数，
所以，解得，
当时，，
此时，
故当时，函数为奇函数，
所以；
【小问2详解】
解：因为函数的图象经过点，
所以函数经过点，
故，
即，
当时，函数为增函数，故，
为使方程有解，则，
所以；
【小问3详解】
解：原不等式成立即为，
当时，函数单调递增，故只要即可，
令，则，
∵，∴，
∴对恒成立，
由得；由得
∴；
同理，当时，函数单调递减，
故只要即可，
∴对恒成立，解得；
综上可知，当时，；
当时，
20、（1），（2）或或
【解析】（1）利用奇函数定义即可得到的值及函数在上的解析式；
（2）分成两类，解指数型方程即可得到结果.
【详解】（1）是定义在上的奇函数
当时，
，
当时，
设，则

（2）当时，，
令，得
得
解得

是定义在上的奇函数
所以当x<0时的根为：
所以方程的根为：
【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值
(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围
21、（1）2（2）
【解析】取BC中点O，中点E，连结OE，OA，以O为原点，OD为x轴，OE为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的正切值
三棱锥的体积，由此能求出结果
【详解】取BC中点O，中点E，连结OE，OA，
由正三棱柱的底面边长为3，侧棱，D是CB延长线上一点，且
以O为原点，OD为x轴，OE为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，
则3，，0，，0，，0，，
所以0，，3，，
其中平面ABD的法向量1，，
设平面的法向量y，，则，
取，得1，，
设二面角的平面角为，则，则，
则，所以二面角的正切值为2
由（1）可得平面，所以是三棱锥的高，且,
所以三棱锥的体积：

【点睛】本题主要考查了二面角的求解，及空间几何体的体积的计算，其中解答中根据几何体的结构特征，建立适当的空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解二面角问题是求解空间角的常用方法，同时注意“等体积法”在求解三棱锥体积中的应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题

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