2022-2023学年内蒙古一机集团第一中学高一数学第一学期期末调研试题含解析.doc

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1．和函数是同一函数的是（　）
A. B.
C. D.
2．已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
3．已知命题：角为第二或第三象限角，命题：，命题是命题的（）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4．已知幂函数在上单调递减，则（）
A. B.5
C. D.1
5．下列函数中，在区间单调递增的是（）
A. B.
C. D.
6．设扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
7．已知，则的最小值为（）
A. B.2
C. D.4
8．已知函数与的图像关于对称，则（）
A.3 B.
C.1 D.
9．已知，若，则x的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
10．已知sin2α>0，且cosα<0，则角α的终边位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11．在空间直角坐标系中，一点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是______
答案】
12．已知偶函数是区间上单调递增，则满足的取值集合是__________
13．已知是R上的奇函数，且当时，，则的值为___________.
14．如图，已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于________

15．以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名.一些地方的市政检修井盖、方孔转机等都有应用勒洛三角形.如图，已知某勒洛三角形的一段弧的长度为，则该勒洛三角形的面积为___________.

三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内(以天计)，每件的销售价格(单位：元)与时间(单位：天)的函数关系近似满足(为常数，且)，日销售量(单位：件)与时间(单位：天)的部分数据如下表所示：

已知第天的日销售收入为元
（1）求的值；
（2）给出以下四个函数模型：
①；②；③；④
请你根据上表中数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式；
（3）设该工艺品的日销售收入为(单位：元)，求的最小值
17．已知函数，，
（1）求函数的值域；
（2）若对任意的，都有恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若对任意的，都存在四个不同的实数，，，，使得，其中，2，3，4，求实数a的取值范围
18．已知奇函数和偶函数满足
（1）求和的解析式；
（2）存在，，使得成立，求实数a的取值范围
19．已知函数（，）为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为
（1）当时，求的单调递减区间；
（2）将函数的图象沿轴方向向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，求函数的值域
20．环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速（不含）.经多次测试得到，该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的下列数据：

0
10
40
60

0
1325
4400
7200
为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：
，，.
（1）当时，请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；
（2）现有一辆同型号汽车从地驶到地，前一段是的国道，后一段是的高速路，若已知高速路上该汽车每小时耗电量（单位：）与速度的关系是：，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？
21．若函数是奇函数()，且，.
(1)求实数,,的值；
(2)判断函数在上的单调性，并利用函数单调性的定义证明.

参考答案

一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1、D
【解析】根据相同的函数定义域，对应法则，值域都相同可知ABC不符合要求，D满足.
【详解】的定义域为，值域为，
对于A，与的对应法则不同，故不是同一个函数；
对于B，的值域为，故不是同一个函数；
对于C，的定义域为，故不是同一个函数；
对于D, ，故与是同一个函数.
故选：D
2、B
【解析】原命题等价于恒成立，故即可，解出不等式即可.
【详解】因为命题“，使”是假命题，
所以恒成立，
所以，
解得，
故实数的取值范围是
故选：B
3、D
【解析】利用切化弦判断充分性，根据第四象限的角判断必要性.
【详解】当角为第二象限角时，，
所以，
当角为第三象限角时，，
所以，
所以命题是命题的不充分条件.
当时，显然，当角可以为第四象限角，命题是命题的不必要条件.
所以命题是命题的既不充分也不必要条件.
故选：D
4、C
【解析】根据幂函数的定义，求得或，再结合幂函数的性质，即可求解.
【详解】解：依题意，，故或；
而在上单调递减，在上单调递增，故，
故选：C.
5、B
【解析】根据单调性依次判断选项即可得到答案.
【详解】对选项A，区间有增有减，故A错误，
对选项B，，令，，则，
因为，在为增函数，在为增函数，
所以在为增函数，故B正确.
对选项C，，，解得，
所以，为减函数，，为增函数，
故C错误.
对选项D，在为减函数，故D错误.
故选：B
6、B
【解析】根据扇形的周长为，面积为，得到，解得l，r，代入公式求解.
【详解】因为扇形的周长为，面积为，
所以，
解得 ，
所以，
所以扇形的圆心角的弧度数是2
故选：B
7、C
【解析】根据给定条件利用均值不等式直接计算作答.
【详解】因为，则，当且仅当，即时取“=”，
所以的最小值为.
故选：C
8、B
【解析】根据同底的指数函数和对数函数互为反函数可解.
【详解】由题知是的反函数，所以，所以.
故选：B.
9、C
【解析】首先判断函数的单调性和定义域，再解抽象不等式.
【详解】函数的定义域需满足，解得：，
并且在区间上，函数单调递增，且，
所以，
即，解得：或.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题的关键是判断函数的单调性和定义域，尤其是容易忽略函数的定义域.
10、C
【解析】根据二倍角公式可得到，又因为cosα<0，故得到进而得到角所在象限.
【详解】已知sin2α>0，，又因为cosα<0，故得到，进而得到角是第三象限角.
故答案为C.
【点睛】本题考查象限角的定义，熟练掌握三角函数在各个象限中的符号是解决问题的关键，属于基础题

二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11、
【解析】设出该点的坐标，根据题意列方程组，从而求得该点到原点的距离
【详解】设该点的坐标是（x，y，z），
∵该点到三个坐标轴的距离都是1，
∴x2+y2＝1，
x2+z2＝1，
y2+z2＝1，
∴x2+y2+z2，
∴该点到原点的距离是
故答案为
【点睛】本题考查了空间中点的坐标与应用问题，是基础题
12、
【解析】因为为偶函数，所以等价于，
又是区间上单调递增，所以.
解得.
答案为：.
点睛：本题属于对函数单调性应用的考查，若函数在区间上单调递增，则时，有，事实上，若,则，这与矛盾，类似地，若在区间上单调递减，则当时有；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.本题中可以利用对称性数形结合即可.
13、
【解析】由已知函数解析式可求，然后结合奇函数定义可求.
【详解】因为是R上的奇函数，且当时，，
所以，所以
故答案为：
14、2
【解析】证明平面得到，故与以为直径的圆相切，计算半径得到答案.
详解】PA⊥平面ABCD，平面ABCD，故，PQ⊥QD，，
故平面，平面，故，
在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，即与以为直径的圆相切，
，故间的距离为半径，即为1，故.
故答案为：2
15、
【解析】计算出等边的边长，计算出由弧与所围成的弓形的面积，进而可求得勒洛三角形的面积.
【详解】设等边三角形的边长为，则，解得，
所以，由弧与所围成的弓形的面积为，
所以该勒洛三角形的面积.
故答案为：.

三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16、（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）根据第10天的日销售收入，得到，即可求解；
（2）由数据知先增后减，选择②，由对称性求得实数的值，再利用进而列出方程组，求得的值，从而求得函数的解析式；
（3）根据（2）求得的解析式，然后利用基本不等式和函数的单调性分别求得各段的最小值，比较得到结论.
【详解】（1）因为第10天的日销售收入为505元，
所以，即，解得.
（2）由表格中的数据知，当时间变换时，先增后减，
函数模型：①；③；④都是单调函数，
所以选择模型②：，
由，可得，解得，
由，解得，
所以日销售量与时间的变化的关系式为.
（3）由（2）知，
所以，
即，
当时，
由基本不等式，可得，
当且仅当时，即时等号成立，
当时，为减函数，
所以函数的最小值为，
综上可得，当时，函数取得最小值
【点睛】求解所给函数模型解决实际问题的关注点：
1、认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数；
2、根据已知利用待定系数法，列出方程，确定函数模型中的待定系数；
3、结合函数的基本形式，利用函数模型求解实际问题，
17、（1）；
（2）；
（3）
【解析】（1）利用基本函数的单调性即得；
（2）由题可得恒成立，再利用基本不等式即求；
（3）由题意可知对任意一个实数，方程有四个根，利用二次函数的图像及性质可得，即求.
【小问1详解】
∵函数，，
所以函数在上单调递增，
∴函数的值域为；
【小问2详解】
∵对任意的，都有恒成立，
∴，即，
即有，
故有，
∵，，
∴，当且仅当，即取等号，
∴，即，
∴实数a的取值范围为；
【小问3详解】
∵函数的值域为，
由题意可知对任意一个实数，方程有四个根，
又，则必有，

令，，
故有，
故有，可解得，
∴实数a的取值范围为.
18、（1），
（2）
【解析】（1）利用奇偶性得到方程组，求解和的解析式；（2）在第一问的基础上，问题转化为在上有解，分类讨论，结合对勾函数单调性求解出的最值，进而求出实数a的取值范围.
【小问1详解】
因为奇函数和偶函数满足①，所以②；联立①②得：，；
【小问2详解】
变形为，因为，所以，所以，
当时，在上有解，符合要求；
令，由对勾函数可知，当时，在上单调递减，在上单调递增，，要想上有解，只需，解得：，所以；
若且，在上单调递增，要想上有解，只需，解得：，所以；综上：实数a的取值范围为
19、（1），]（2）值域为[，]
【解析】（1）利用三角恒等变换化简的解析式，根据条件，可求出周期和，结合奇函数性质，求出，再用整体代入法求出内的递减区间；
（2）利用函数的图象变换规律，求出的解析式，再利用正弦函数定义域，即可求出时的值域.
【详解】解：（1）由题意得，
因相邻两对称轴之间距离为，所以，
又因为函数为奇函数，所以，∴，
因为，所以
故函数
令.得.
令得，
因为，所以函数的单调递减区间为，]
（2）由题意可得，
因为，所以
所以，.
即函数的值域为[，]
【点睛】本题主要考查正弦函数在给定区间内的单调性和值域，包括周期性，奇偶性，单调性和最值，还涉及三角函数图像的平移伸缩和三角恒等变换中的辅助角公式.
20、（1）选择，；（2）当这辆车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时，该车从地到地的总耗电量最少，最少为.
【解析】（1）根据当时，无意义，以及是个减函数，可判断选择，然后利用待定系数法列方程求解即可；
（2）利用二次函数的性质可判断在国道上的行驶速度为耗电最少，利用对勾函数的性质可判断在高速路上的行驶速度为时耗电最少，从而可得答案.
【详解】（1）对于，当时，它无意义，所以不合题意；
对于，它显然是个减函数，这与矛盾；
故选择.
根据提供的数据，有
，解得，
当时，.
（2）国道路段长为，所用时间为，
所耗电量
，
因为，当时，；
高速路段长为，所用时间为，
所耗电量为
，
由对勾函数的性质可知，在上单调递增，
所以；
故当这辆车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时，该车从地到地的总耗电量最少，最少为.
【点睛】方法点睛：与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.
21、 (1),,；(2)在上为增函数,证明见解析.
【解析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得，进而可得，解可得、、的值，即可得答案；
（2）利用定义法证明函数的单调性，按照：设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可
【详解】解：(1)根据题意，函数是奇函数（），且，
则，又由，
则有，且，解得，，.
(2)由(1)可得：，函数在上为增函数
证明：设任意的，
，
又由，则且，，
则有，
故函数在上为增函数
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是求出、、的值，属于基础题