资源描述
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1．若一束光线从点射入，经直线反射到直线上的点，再经直线反射后经过点，则点的坐标为（）
A. B.
C. D.
2．已知函数，则函数的最小正周期为
A. B.
C. D.
3．已知函数为R上的偶函数，若对于时，都有，且当时，，则等于（）
A.1 B.-1
C. D.
4．下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是
A. B.
C. D.
5．我们知道，函数的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.据此，我们可以得到函数图象的对称中心为（）
A. B.
C. D.
6．若集合，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7．在一段时间内，若甲去参观市博物馆的概率为0.8，乙去参观市博物馆的概率为0.6，且甲乙两人各自行动．则在这段时间内，甲乙两人至少有一个去参观博物馆的概率是（ ）
A.0.48 B.0.32
C.0.92 D.0.84
8．三条直线，，相交于一点，则的值是
A.－2 B.－1
C.0 D.1
9．定义在上的奇函数以5为周期，若，则在内，的解的最少个数是
A.3 B.4
C.5 D.7
10．如图所示韦恩图中，若A={1，2，3，4，5}，B={3，4，5，6，7}，则阴影部分表示的集合是（ ）
A.2，3，4，5，6， B.2，3，4，
C.4，5，6， D.2，6，
11．已知函数对任意实数都满足，若，则
A.-1 B.0
C.1 D.2
12．生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），与死亡年数之间的函数关系式为（其中为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的，则可推断该文物属于（）
参考数据：
参考时间轴：
A.宋 B.唐
C.汉 D.战国
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13．已知函数在区间是单调递增函数，则实数的取值范围是______
14．当时x≠0时的最小值是____.
15．若，则_________.
16．设，，依次是方程，，的根，并且，则，，的大小关系是___
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点
（1）求值
（2）已知，求的值
18．在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，面，，，分别为，的中点
（Ⅰ）求证：面；
（Ⅱ）求点到面的距离
19．利用拉格朗日（法国数学家，1736-1813）插值公式，可以把二次函数表示成的形式.
（1）若，，，，，把的二次项系数表示成关于f的函数，并求的值域（此处视e为给定的常数，答案用e表示）；
（2）若，，，，求证：.
20．某城市地铁项目正在紧张建设中，通车后将给市民出行带来便利.已知某条线路通车后，地铁的发车时间间隔（单位：分钟）满足.经测算，地铁载客量与发车时间间隔相关，当时地铁为满载状态，载客量为人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为分钟时的载客量为人，记地铁载客量为.
（1）求的表达式，并求当发车时间间隔为分钟时，地铁的载客量；
（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？每分钟的最大净收益为多少？
21．某种放射性元素的原子数随时间的变化规律是，其中是正的常数，为自然对数的底数.
（1）判断函数是增函数还是减函数；
（2）把表示成原子数的函数.
22．已知函数的部分图象如图所示
（1）求函数的解析式：
（2）将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象
①当时，求函数的值域；
②若方程在上有三个不相等的实数根，求的值
参考答案
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1、C
【解析】由题可求A关于直线的对称点为及关于直线的对称点为，可得直线的方程，联立直线，即得.
【详解】设A关于直线的对称点为，
则，解得，即，
设关于直线的对称点为，
则，解得，即，
∴直线的方程为：代入，
可得，故.
故选：C.
2、C
【解析】去绝对值符号，写出函数的解析式，再判断函数的周期性
【详解】，其中，所以函数的最小正周期，
选择C
【点睛】本题考查三角函数最小正周期的判断方法，需要对三角函数的解析式整理后，根据函数性质求得
3、A
【解析】由已知确定函数的递推式，利用递推式与奇偶性计算即可
【详解】当时，，则，
所以当时，，所以
又是偶函数，，
所以
故选：A
4、A
【解析】选项是非奇非偶函数，选项是奇函数但在定义域的每个区间上是减函数，不能说是定义域上的减函数，故符合题意.
5、A
【解析】依题意设函数图象的对称中心为，则为奇函数，再根据奇函数的性质得到方程组，解得即可；
【详解】解：依题意设函数图象的对称中心为，由此可得为奇函数，由奇函数的性质可得，解得，则函数图象的对称中心为；
故选：A
6、C
【解析】利用元素与集合，集合与集合的关系判断.
【详解】因为集合是奇数集，
所以，，，àA，
故选：C
7、C
【解析】根据题意求得甲乙都不去参观博物馆的概率，结合对立事件的概率计算公式，即可求解.
【详解】由甲去参观市博物馆的概率为0.8，乙去参观市博物馆的概率为0.6，
可得甲乙都不去参观博物馆的概率为,
所以甲乙两人至少有一个去参观博物馆的概率是.
故选：C.
8、B
【解析】联立两条已知直线求得交点坐标，待定系数即可求得参数值.
【详解】联立与可得交点坐标为，
又其满足直线，故可得，解得.
故选：.
9、D
【解析】由函数的周期为5，可得f（x+5）=f（x），由于f（x）为奇函数，f（3）=0，若x∈（0，10），则可得出f（3）=f（-2）=-f（2）=0，即f（2）=0，∴f（8）=f（3）=0，∴f（7）=f（2）=0．在f（x+5）=f（x）中，令x=-2.5，可得f（2.5）=f（-2.5）=-f（2.5），∴f（2.5）=f（7.5）=0．再根据f（5）=f（0）=0，故在（0，10）上，y=f（x）的零点的个数是 2，2.5，3，5，7，7.5，8，共计7个.
故选D
点睛：本题是函数性质的综合应用，奇偶性周期性的结合，先从周期性入手，利用题目条件中的特殊点得出其它的零点，再结合奇偶性即可得出其它的零点.
10、D
【解析】根据图象确定阴影部分的集合元素特点，利用集合的交集和并集进行求解即可
【详解】阴影部分对应的集合为{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，
∵A∪B={1，2，3，4，5，6，7}，A∩B={3，4，5}，
∴阴影部分的集合为{1，2，6，7}，
故选D
【点睛】本题主要考查集合的运算，根据Venn图表示集合关系是解决本题的关键
11、A
【解析】由题意首先确定函数的周期性，然后结合所给的关系式确定的值即可.
【详解】由可得，
据此可得：，即函数是周期为2的函数，
且，据此可知.
本题选择A选项.
【点睛】本题主要考查函数的周期性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
12、D
【解析】根据给定条件可得函数关系，取即可计算得解.
【详解】依题意，当时，，而与死亡年数之间的函数关系式为，
则有，解得，于是得，
当时，，于是得：，解得，
由得，对应朝代为战国，
所以可推断该文物属于战国.
故选：D
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13、
【解析】求出二次函数的对称轴，即可得的单增区间，即可求解.
【详解】函数的对称轴是，开口向上，
若函数在区间是单调递增函数，
则，
故答案为：
14、
【解析】直接利用基本不等式的应用求出结果
【详解】解：由于，
所以（当且仅当时，等号成立）
故最小值为
故答案为：
15、##
【解析】依题意利用诱导公式及二倍角公式计算可得；
【详解】解：因为，所以
.
故答案为：.
16、
【解析】本题首先可以根据分别是方程的根得出，再根据即可得出，然后通过函数与函数的性质即可得出，最后得出结果
【详解】因为，，，
所以，
因为，，
所以，，
因为函数与函数都是单调递增函数，前者在后者的上方，
所以，
综上所述，
【点睛】本题考查方程的根的比较大小，通常可通过函数性质或者根的大致取值范围进行比较，考查函数思想，考查推理能力，是中档题
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17、（1）
（2）
【解析】（1）依题意，将原式利用诱导公式化简，分子分母同除，代入正切计算可求出结果.（2）由终边所过点以及二倍角公式可计算和的三角函数值，利用平方和为1求出，代入两角和的余弦可计算的值.
【小问1详解】
依题意，
原式
【小问2详解】
因为是第一象限角，且终边过点，
所以，，
所以，，
因为，且，所以，
所以
18、（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）
【解析】（1）取中点，连结，，∵，分别为，的中点，
∴可证得，，∴四边形是平行四边形，
∴，又∵平面，平面，
∴面
（2）∵，
∴
19、（1）；
（2）证明见解析
【解析】（1）根据已知写出二次项系数后可得；；
（2）注意到，因此可以在不等式两边同乘以分母后化简不等式，然后比较可得（可作差或凑配证明）
【小问1详解】
由题意又，所以
即的值域是；
【小问2详解】
因为，，，，所以，
因为，，，，所以，
所以，
所以，
因为，，，，所以，
所以，
所以，
综上，原不等式成立
20、（1），人（2）当发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大，每分钟的最大净收益为元
【解析】（1）由题意分别写出与时，的表达式，写成分段函数的形式，可得的表达式，可得的值；
（2）分别求出时，时，净收益为的表达式，并求出其最大值，进行比较可得净收益最大及收益最大时的时间.
【详解】解：当时，
当时，设
解得，所以，
所以
(人)
当时，
当时
当时，
当且仅当时，即时， 取到最大值.
答:的表达式为
当发车时间间隔为分钟时，地铁的载客量为人.
当发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大，每分钟的最大净收益为元.
【点睛】本题主要考查分段函数解析式的求解及函数模型的实际应用，及利用基本不等式求解函数的最值，综合性大，属于中档题.
21、 (1)减函数；(2)（其中）.
【解析】（1）即得是关于的减函数；
（2）利用指数式与对数式的互化，可以把t表示为原子数N的函数
试题解析：
（1）由已知可得
因为是正常数，，所以，即，
又是正常数，所以是关于的减函数
（2）因为，所以，所以，即（其中）.
点睛：本题利用指数函数的单调性即可容易得出函数的单调性，利用指数与对数的互化可得出函数的表达式.
22、（1）；
（2）①；②.
【解析】（1）由图象得A、B、，再代入点，求解可得函数的解析式；
（2）①由已知得，由求得，继而求得函数的值域；
②令，，做出函数的图象，设有三个不同的实数根，有，，继而得，由此可得答案.
【小问1详解】
解：由图示得：，
又，所以，所以，所以，
又因为过点，所以，即，
所以，解得，又，所以，
所以；
【小问2详解】
解①：由已知得，当时，，
所以，所以，所以，
所以函数的值域为；
②当时，，令，则，
令，则函数的图象如下图所示，且，，，
由图象得有三个不同的实数根，则，，
所以，即，
所以，所以，
故.
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