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(完整版)三角函数基本概念和表示
第三章 三角函数

第一节 三角函数及概念
复习要求:
1．任意角、弧度
了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化；
2．三角函数
（1）借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切）的定义；
（2）借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式。

知识点:
1。任意角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
A
O
B

一条射线由原来的位置，绕着它的端点按逆时针方向旋转到终止位置,就形成角。旋转开始时的射线叫做角的始边，叫终边，射线的端点叫做叫的顶点。
2.角的分类
为了区别起见,我们规定：
按逆时针方向旋转所形成的角叫正角, 按顺时针方向旋转所形成的角叫负角.
如果一条射线没有做任何旋转,我们称它为零角。
3.象限角
角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合。那么，角的终边(除端点外）落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
（1)第一象限角的集合：
（2）第二象限的集合: 。
(3）第三象限角的集合： 。
（4）第四象限角的集合:
4.轴线角
角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合。若角的终边落在坐标轴上,称这个角为轴线角。它不属于任何象限,也称为非象限角。

5。终边相同的角
所有与角终边相同的角连同角在内,构成的角的集合,称之为终边相同的角。记为:或。它们彼此相差,根据三角函数的定义知,终边相同的角的各种三角函数值都相等。

6.区间角
区间角是指介于两个角之间的所有角,如。

7，角度制与弧度制
角度制：规定周角的为1度的角，记作,它不会因圆的大小改变而改变，与无关
弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1或1弧度或1(单位可以省略不写）.
角有正负零角之分,它的弧度数也应该有正负零之分,如—π,-2π等等，一般地， 正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定。

8.角的度量
（1）角的度量制有:角度制,弧度制
（2）换算关系:角度制与弧度制的换算主要抓住。
,，，
（3）特殊角的弧度
度

弧度

9.弧度数计算公式
在半径为r的圆中，弧长所对的圆心角的弧度数为= .
10。弧长公式与扇形面积公式

角度制
弧度制
弧长公式

扇形面积

(是圆心角的弧度数）

11。三角函数定义

在直角坐标系中，设是一个任意角，在的终边上任取一点，它与原点的距离,则。过作轴的垂线,垂足为,则线段的长度为，线段的长度为。把：
比值叫做正弦，即；
比值叫做余弦,即；
比值叫做正切，即。

利用单位圆定义任意角的三角函数，设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,则：（1）叫做的正弦，记做，即；
（2)叫做的余弦，记做,即；
（3）叫做的正切,记做,即。

12．三角函数在各象限的符号:是根据三角函数的定义和各象限内坐标的符号推出的

口决:一全正，二正三切四余

13．三角函数线
以坐标原点为圆心,以单位长度1为半径画圆，这个圆就叫做单位圆（注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米）.设单位圆与角的终边的交点，过点作轴交轴于点,过单位圆与轴的非负半轴交点A作单位圆的切线与角的终边(或延长线）交于
点T。根据三角函数的定义：，，。

我们把有向线段，分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线。
三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法。利用三角函数线在解决比较三角函数值大小、解三角方程及三角不等式等问题时,十分方便.

补充： 特殊角的三角函数值：

0

sin
0

1
0
-1
cos
1

0
—1
0

0

1

不存在
0
不存在

不存在

1

0
不存在
0

经典例题
例1 写出终边在 轴上的角的集合
解： 终边在 轴上的角的集合是

例2 已知是第三象限角，则是第几象限角?
答案：第一，第三，第四象限
例3。（1）若则在第 象限。
(2）若是第二象限角,则中能确定为正值的有 个。

答案:（1)二、四象限
（2） 为第三第四象限，为第一，第三象限，所以为1个

例4 已知角的终边上一点P(—4m,3m），且m<0，求的四个三角函数值
答案：

例5 已知一扇形的中心角是，所在圆的半径为R，若,求扇形的弧长及该弧所在弓形面积
答案： 所以
面积:

基础练习题：
1,若角则角是第____象限角(）
A 1 B 2 C 3 D 4
2，是的（）
A 充分不必要 B必要不充分
C充分必要 D既不充分也不必要
3,已知角的终边经过点P（—1，2)，则 (）
A B C D

第二节 三角函数的基本公式

复习要求：
1，理解同角三角函数的关系
2，能正确运用同角三角函数的关系进行三角函数的化简求值
3,能正确运用三角函数的诱导公式化简三角函数式
4，理解二倍角的三角函数

知识点:
一、任意角的三角函数
在角的终边上任取一点，记：，
正弦： 余弦:
正切： 余切：
正割: 余割：
注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向线段、、分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线.

二、同角三角函数的基本关系式
倒数关系：,，.
商数关系:，。
平方关系：,，.

三、 诱导公式

⑴、、、、的三角函数值，等于的同名函数值,前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号。(口诀:函数名不变，符号看象限)
⑵、、、的三角函数值，等于的异名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名改变，符号看象限）

四、和角公式和差角公式

五、二倍角公式

…

二倍角的余弦公式有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角)

,，。
六、万能公式(可以理解为二倍角公式的另一种形式)
,，。
万能公式告诉我们，单角的三角函数都可以用半角的正切来表示.
七、和差化积公式
…⑴
…⑵
…⑶
…⑷
了解和差化积公式的推导，有助于我们理解并掌握好公式：

两式相加可得公式⑴,两式相减可得公式⑵。

两式相加可得公式⑶,两式相减可得公式⑷。
八、积化和差公式

我们可以把积化和差公式看成是和差化积公式的逆应用。
九、辅助角公式
（）
其中:角的终边所在的象限与点所在的象限相同,
,，。
经典例题：
例1 已知，是第三象限的角，求，
解：

例2 已知=3，求下列各式的值
（1) （2）
答案: ，
例3
解：

例4，已知
证明：

基础练习：
1，已知的值是（）
A B C D
2，如果是锐角，（）
A B C D
3，（）
A B C D
4，
A B C D
5，已知