有理数的乘方.doc

(完整word)有理数的乘方
学科辅导讲义
授课对象
初一3-5人班
授课教师
杨老师
授课时间

授课题目
有理数的除法
课 型
预习课
使用教具
讲义、练习题
教学目标
1．理解有理数乘方的概念，掌握有理数乘方的运算；
2．培养观察、比较、分析、归纳、概括能力，以及探索精神；
3．分类讨论思想．
教学重点和难点
重点：有理数乘方的运算和正确运用科学记数法表示较大的数．
难点:有理数乘方运算的符号法则和正确掌握10的幂指数特征．
教学流程及授课详案
有理数的乘方
知识回顾：
（1） 叙述有理数的乘法法则;
（2） 叙述有理数的除法法则.
学习过程：
情景导入 棋盘上的学问:
古时候,在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，国王从此迷上了下棋，为了对聪明的大臣表示感谢，国王答应满足这个大臣的一个要求。大臣说:“就在这个棋盘上放一些米吧，第1格放1粒米，第2格放2粒米，第3格放4粒米,然后是8粒米，16粒米，32粒米……一直到第64格．”“你真傻!就要这么一点米粒？!”国王哈哈大笑．大臣说:“就怕你的国库里没有这么多米！”
你认为国王的国库里有这么多米吗？

（一）、从学生原有认知结构提出问题
在小学我们我们已经学习过，记作，读作的平方(或的二次方);记作，读作的立方（或的三次方)；那么，（n是正整数）呢？
在小学对于字母我们只能取正数，进入中学后，我们学习了有理数,那么还可以取哪些数呢?请举例说明.
(二）、讲授新课
重点1.有理数乘方
1． 求n个相同因数的积的运算叫做乘方.
2． 乘方的结果叫做幂，相同的因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数。
一般地，在中,取任意有理数，n取正整数。应当注意，乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果。当看作的n次方的结果时，也可以读作的n次幂.
3． 我们知道，乘方和加、减、乘、除一样,也是一种运算,就是表示n个相乘，所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数乘方的运算。
指数
底数
幂

例1 计算：（1)； （2）； (3）; （4）；
☆注:2就是，指数1通常不写。
观察、比较、分析这几组计算题中，底数、指数和幂之间有什么关系?
(1) 横向观察
正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，偶数幂是正数;零的任何次幂都是零.
（2） 纵向观察
互为相反数的两个数的奇次幂仍互为相反数,偶次幂相等。
（3） 任何一个数的偶次幂是什么数？
任何一个数的偶次幂都是非负数。
你能把上述的结论用数学符号语言表示吗?
当时，（n是正整数）;
当时，(n是正整数）.
（以上为有理数乘方运算的符号法则）

（n是正整数)；
（n是正整数)
（a是有理数，n是正整数)
例2 计算
(1）; （2）； （3);

（4）（n为正整数）。

例3 计算：
（1） , ，

（2）, , ；

(3）， , ， ；

(4）， ， ;

引导学生纵向观察第(1）题和第（2）题的形式和计算结果，让学生自己体会到，的底数是，表示n个相乘，是的相反数,这是和的区别。
引导学生横向观察第（3）题的形式和计算结果，让学生自己体会到，写分数的乘方时要加括号，不然就是另一种计算了。
课堂练习
计算:
(1）, , ；

(2) , ， ；

(3） （n为偶数） , ；

(4）， ；

例3．已知：，，,…，根据前面的各式规律，猜测…的结果（其中n为自然数）。

随堂练习
1.当时，求下列各代数式的值：
（1）； (2）;

(3）； （4）。

2．当a是负数时,判断下列各式是否成立。
(1)； (2）;

重点2.科学记数法
例 计算
， , ，
左边用10的n次幂表示简洁明了，且不易出错,右边有许多零,很容易发生写错的情况，读的时候也是左易右难，这就是我们想到用10的n次幂表示较大的数，比如一亿，一百亿等等。但是像太阳的半径大约是696 000千米，光速大约是300 000 000米每秒,中国人口大约13亿等等，我们如何能简单明了地表示它们呢？这就是本节课我们要学习的内容科学记数法。
1. 的特征
观察下题。
提问：中的n表示n个10相乘，它与运算结果中0的个数有什么关系？与运算结果的数位有什么关系？

练习(1）把下面各数写成10的幂的形式。
1000， 100000000， 100000000000.

练习(2）指出下列各数是几位数。
， ， ， 。
2．科学记数法
(1)任何一个数都可以表示成整数数位是一位数的数乘以10的n次幂的形式。如：
,,。
第一个等号是我们在小学里就学习过的关于小数点移动的知识，我们现在要做的就是把100，1000，变成10的n次幂的形式就行了.
(2）科学记数法定义
根据上面的例子，我们把大于10的数记成的形式，其中a是正数数位只有一位的数，你是自然数，这种计数法叫做科学记数法。现在我们只学习绝对值大于10的数的科学记数法，以后我们还要学习其他一些数的科学记数法。说它科学,因为它简单明了，易读易记易判断大小，在自然科学中经常运用。
用字母N表示数，则，这就是科学记数法。
例1． 用科学记数法表示下列各数：
(1）1 000 000； （2)57 000 000； （3）696 000;

（4）300 000 000; （5）—78 000； (6）12 000 000 000。

解：
（1）1 000 000=；
(2）57 000 000=；
（3）696 000=;
（4）300 000 000=；
（5）-78 000=；
（6）12 000 000 000=.

如果每次都按解的步骤去做又显得有点繁，那么利用n与数位的关系去做,试一试：
（1）1 000 000是7位数,所以n=6，即。
（2）57 000 000是8位数,n=7,所以57 000 000=。
（3）696 000是6位数,n=5，所以696 000=。
（4)300 000 000是9位数，n=8，所以300 000 000=.

随堂练习
1． 用科学记数法记出下列各数：
8000000； 5600000； 740000000

2． 用科学记数法记出下列各数：
（1）7 000 000; （2)92 000; （3）63 000 000； (4)304 000；

（5)8 700 000; (6)500 900 000；（7）374.2 （8）7000.5

例2．下列用科学记数法记出的数，原来各是什么数？
（1）; （2） ; （3） ； (4） ;

(5） （6） ; （7) ; (8） .

3.巧算:首同末和10
（1)已知：可写成
可写成
可写成
则可写成 ，可写成 。
（2）请归纳猜想得： 。
（3)根据上面的归纳猜想，计算出 。
4．给出依次排列的一列数：-1，2，—4,8，-16，32……
（1）写出32后面的三项数 .
（2）按照此规律，第n个数为 .
例。 比较和的大小.
为了解决这个问题，我们先把它抽象成数学问题，写出它的一般形式，即比较和大小(n为正整数），然后我们从分析n=1,2,3…，这些简单情形入手，从中发现规律。如(1) ; ； ; ； 。
猜想（2）和的大小关系是 。
结论（3) 。
小结
让学生回忆,做出小结：
1． 乘方的有关概念、乘方的符号法则和括号的作用.
2． 强调什么是科学记数法，以及为什么学习科学记数法.
3． 突出科学记数法中字母a的规定及10的幂指数与原整数位数的关系。

课后作业
A。 基础演练
1．填空
（1）平方得的数是 ，立方得的数是 ;(2) ， ；
(3）的底数是 ，它表示 ；（4） ， ， ；
(5）已知=0,则 ；（6）若，则 0;
（7）若，则a= ；（8）在中，最大的数是 ；
(9)瑞士中学教师巴尔末成功从光谱数据…中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门,请你按照这种规律写出第七个数据是 ；
（10）…那么的个位数字是 。
2．选择题
(1）已知，则m+n的值为( ）
A.—1 B.-3 C。3 D.不确定
(2）一个数的平方是4，这个数的立方是( ）
A．8 B.-8 C.8或-8 D。4或—4
(3）若a,b为有理数，下列判断:①总是正数；②总是正数;③的最小值为9；④的最大值是0，其中错误的有（ ）
A．1 B.2 C.3 D.4
3．计算:
（1)； （2）; （3）;

（4); （5); (6)；

（7）; (8).

B. 综合测试
1.用科学记数法记出下列各数：
(1）地球离太阳约有一亿五千万千米;

（2）地球上煤的储量估计为15万亿吨以上；

（3)月球的质量约为7 340 000 000 000 000万吨;

（4)银河系中的恒星数约为160 000 000 000个;

(5)地球绕太阳公转的轨道半径约是149 000 000千米;

(6）的空气中约有25 000 000 000 000 000 000个分子。

2。一天有秒,一年如果按365天计算,一年有多少秒?（用科学记数法表示）

3．地球绕太阳转动（即地球的公转）每小时约通过千米,声音在空气中传播，每小时约通过千米。地球公转的速度与声音的速度哪个大?

4.10m长的绳子,第一次剪去一半,第二次减去剩下的一半，如此剪下去,第5次后剩下的绳子有多长?

5。已知:a、b互为相反数,c、d互为倒数，x的绝对值等于2,试求的值。

C。 探究升级
1.回答下列问题：
（1)看一看，下面两组算式:与,与，每组两个算式的计算结果是否相等？

（2）想一想，等于什么？

（3)猜一猜，当n为正整数时， 等于什么?试证明结论的正确性。

2．你喜欢吃拉面吗?拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸,在捏合，在拉伸，反复几次,就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，这样捏合到第 次后可拉出128根面条。

3． 平方得9的数有几个？是什么？有没有平方得-9的有理数?为什么?

4． 若,求的值.

家长签名：
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