北师大数学七年级下册第一章《整式的乘除》全章复习与巩固(提高).doc

《整式的乘除》全章复习与巩固（提高）
【学习目标】
1. 掌握幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；
2. 会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；
3. 掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算；
【知识网络】

【要点梳理】
要点一、幂的运算
1.同底数幂的乘法：(为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
2.幂的乘方： (为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘.
3.积的乘方： (为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.
4.同底数幂的除法：(≠0, 为正整数，并且).
同底数幂相除，底数不变，指数相减.
5.零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1.
6.负指数幂：（≠0，是正整数）.
要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.
要点二、整式的乘法和除法
1.单项式乘以单项式
单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
2.单项式乘以多项式
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式).
3.多项式乘以多项式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.
要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：.
4.单项式相除
把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.
5.多项式除以单项式
先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.
即：
要点三、乘法公式
1.平方差公式：
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.
2. 完全平方公式：；
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.

【典型例题】
类型一、幂的运算
1、（2015春•南长）已知，，求x+2y的值．
【思路点拨】根据原题所给的条件，列方程组求出x、y的值，然后代入求解．
【答案与解析】
解：根据，，
列方程得：，
解得：，
则x+2y=11．
【总结升华】本题考查了幂的乘方和积的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则．
2、（1）已知，比较的大小.
（2）比较大小。
【答案与解析】
解：（1），
所以；
（2），
所以
【总结升华】（1）转化为同指数不同底数的情况进行比较，指数转化为6；
（2）转化成比较同底数不同指数，底数转化为3.
类型二、整式的乘除法运算
3、要使的结果中不含的一次项，则等于( )
　　 A.0 　　 　B.1 　　　 C.2 　 　D.3
【答案】D；
【解析】先进行化简，得：，要使结果不含的一次项，则的一次项系数为0，即：＝0.所以.
【总结升华】代数式中不含某项，就是指这一项的系数为0.
举一反三：
【变式】若的乘积中不含的一次项，则等于______．
【答案】；
类型三、乘法公式
4、计算：(1)；(2)．
【思路点拨】（1）中可以将两因式变成与的和差.（2）中可将两因式变成与的和差.
【答案与解析】
解：(1)原式
．
(2)原式

.
【总结升华】(1)在乘法计算中，经常同时应用平方差公式和完全平方公式．(2)当两个因式中的项非常接近时，有时通过拆项用平方差公式会达到意想不到的效果．
举一反三：
【变式】（2015春•常州期中）计算：（x+2y+z）（x+2y﹣z）
【答案】

5、已知，求代数式的值.
【思路点拨】将原式配方，变成几个非负数的和为零的形式，这样就能解出.
【答案与解析】
解：

所以
所以.
【总结升华】一个方程，三个未知数，从理论上不可能解出方程，尝试将原式配方过后就能得出正确答案.
举一反三：
【变式】配方，求＝________.
【答案】
解：原式＝
所以，解得
所以.
6、求证：无论为何有理数，多项式的值恒为正数．
【答案与解析】
解：原式＝
所以多项式的值恒为正数.
【总结升华】通过配方，将原式变成非负数＋正数的形式，这样可以判断多项式的正负.
举一反三：
【变式】证明:不论为何值 , 多项式的值一定小于0.
【答案】
证明：
＝
＝
∵ ,
∴,
∴ 原式一定小于0.

【巩固练习】
一.选择题
1．若二项式加上一个单项式后构成的三项式是一个完全平方式，则这样的单项式的个数有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 对于任意的整数，能整除代数式的整数是( )
A.4 B.3 C.5 D.2
4．若，且，，那么必须满足条件( )．
A.都是正数 B. 异号，且正数的绝对值较大
C.都是负数 D. 异号，且负数的绝对值较大
5．化简的结果是（ ）
A． B．25 C． D．以上都不对
6．（2015•日照）观察下列各式及其展开式：

…
请你猜想的展开式第三项的系数是（　　）
A．36 B．45 C．55 D．66
7. 下列各式中正确的有（ ）个：
①；② ； ③；
④；⑤；⑥
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8．如图：矩形花园ABCD中，AB＝，AD＝，花园中建有一条矩形道路LMPQ及一条平行四边形道路RSTK．若LM＝RS＝，则花园中可绿化部分的面积为( )
A． B．
C． D．

二.填空题
9. 如果是一个完全平方式，则等于_______．
10.若，，则用含的代数式表示为______．　
11.已知，则＝ ．
12．若，化简＝_________．
13.（2015春•成都）已知A=（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y），B=﹣x2﹣xy﹣1，且3A+6B的值与x无关，则y=　　．
14. 设实数，满足，则＝_________，＝__________.
15.
16．如果，那么的值为____ __．
三.解答题
17．已知，求的值．
18. ，，求＝________.
19.计算：
20. （2015•内江）（1）填空：
=　 　；
=　 　；
=　 　．
（2）猜想：
=　 　（其中n为正整数，且n≥2）．
（3）利用（2）猜想的结论计算：
．
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】D；
【解析】可以是，，.
2. 【答案】C；
3. 【答案】C；
【解析】.
4. 【答案】B；
【解析】由题意，所以选B.
5. 【答案】B；
【解析】原式＝.
6. 【答案】B；
【解析】解：

第8个式子系数分别为：1，8，28，56，70，56，28，8，1；
第9个式子系数分别为：1，9，36，84，126，126，84，36，9，1；
第10个式子系数分别为：1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1，
则展开式第三项的系数为45．故选B．
7. 【答案】D；
【解析】②④⑤⑥正确.
8. 【答案】C；
【解析】可绿化面积为.
二.填空题
9. 【答案】；
【解析】.所以＝.
10.【答案】
【解析】∵，∴.
11.【答案】－3；
【解析】.
12.【答案】
【解析】因为，所以，原式＝.
13.【答案】2；
【解析】解：∵A=（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y）=2x2﹣2x+x﹣1﹣x+3xy=2x2﹣2x+3xy﹣1
B=﹣x2﹣xy﹣1，
∴3A+6B=6x2﹣6x+9xy﹣3﹣6x2﹣6xy﹣6=﹣6x+3xy﹣9=（﹣6+3y）x﹣9，
由结果与x无关，得到﹣6+3y=0，解得：y=2．故答案为：2．
14.【答案】2；4；
【解析】等式两边同乘以4，得：

∴∴ .
15.【答案】；
【解析】原式.
16.【答案】±4；
【解析】由题意得.
三.解答题
17.【解析】
解：

∵
∴
.
18.【解析】
解：
所以
因为，等式两边同除以，＝0.
19.【解析】
解：　
＝　
＝　　
＝　　
＝＝.
20.【解析】
解：（1）=；
=；
=．
（2）由（1）的规律可得：
原式=，
（3）