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(完整word)等差数列(一)

等差数列（一)

［学习目标]　1.理解等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题。3。掌握等差中项的概念，深化认识并能运用．

知识点一　等差数列的概念
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示．
思考1　等差数列{an｝的概念可用符号表示为an＋1－an＝d(n∈N＊)．
思考2　等差数列｛an}的单调性与公差d的符号的关系．
等差数列{an｝中,若公差d>0，则数列{an｝为递增数列;若公差d<0，则数列{an｝为递减数列;若公差d＝0，则数列{an｝为常数列．
知识点二　等差中项的概念
若三个数a，A,b构成等差数列,则A叫做a与b的等差中项，并且A＝.
知识点三　等差数列的通项公式
若等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项an＝a1＋(n－1)d.
思考　教材上推导等差数列的通项公式采用了不完全归纳法,还有其它方法吗？如何操作？
答案　还可以用累加法，过程如下：
∵a2－a1＝d，
a3－a2＝d，
a4－a3＝d，
……
an－an－1＝d（n≥2），
将上述（n－1)个式子相加得
an－a1＝(n－1)d（n≥2），
∴an＝a1＋（n－1)d(n≥2），
当n＝1时,a1＝a1＋（1－1)d，符合上式,
∴an＝a1＋(n－1）d（n∈N*）．

题型一　等差数列的概念
例1　（1)下列数列中,递增的等差数列有(　　）
①1，3,5,7,9;②2，0，－2，0，－6，0，…；③，，,，…；④0,0，0，0，…；⑤－1，，＋1。
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
（2）已知a＝，b＝,则a与b的等差中项为(　　）
A. B. C。 D.
答案　（1)C　(2）A
解析　(1）等差数列有①③④⑤，其中递增的为①③⑤,共3个，④为常数列．
(2）a与b的等差中项为＝（＋)＝［（－）＋（＋)]＝。

跟踪训练1　（1）在数列{an}中,a1＝2，2an＋1＝2an＋1(n∈N*）,则数列｛an｝是（　　）
A．公差为1的等差数列
B．公差为的等差数列
C．公差为2的等差数列
D．不是等差数列
(2）已知m和2n的等差中项是8，2m和n的等差中项是10，则m和n的等差中项是________．
答案　(1)B　(2)6
解析　(1)∵an＋1＝an＋，
∴an＋1－an＝(n∈N*）,
∴数列｛an｝是以为公差的等差数列．
（2)由题意得。∴3（m＋n）＝20＋16＝36，∴m＋n＝12，∴＝6，
即m、n的等差中项为6.

题型二　等差数列的通项公式及应用
例2　（1）若｛an｝是等差数列,a15＝8，a60＝20，求a75。
（2)已知递减等差数列｛an}的前三项和为18,前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？
解　（1)设{an}的公差为d。
由题意知解得
所以a75＝a1＋74d＝＋74×＝24。
（2)依题意得
∴
解得或∵数列{an}是递减等差数列，
∴d<0。故取a1＝11，d＝－5.
∴an＝11＋（n－1)·（－5）＝－5n＋16。
即等差数列{an}的通项公式为an＝－5n＋16.
令an＝－34,即－5n＋16＝－34，得n＝10。
∴－34是数列{an｝的第10项．

跟踪训练2　已知{an}为等差数列，分别根据下列条件写出它的通项公式：
（1)a3＝5，a7＝13；
(2)前三项为a,2a－1，3－a.
解　(1） 设首项为a1，公差为d,则
解得
∴an＝a1＋（n－1）d＝1＋（n－1）×2＝2n－1。
（2）由等差中项公式得2×(2a－1)＝a＋(3－a)，a＝，
∴首项为a＝，公差为2a－1－a＝a－1＝－1＝,
∴an＝＋（n－1)×＝＋1.

题型三　等差数列的判定与证明
例3　 已知数列｛an}满足a1＝，且当n>1，n∈N*时，有＝，设bn＝，n∈N＊。
（1）求证：数列｛bn｝为等差数列；
(2）试问a1a2是不是数列｛an｝中的项？如果是，是第几项； 如果不是,请说明理由．
(1）证明　方法一　∵＝，
∴an－1（1－2an）＝an(2an－1＋1），
即an－1＝an(4an－1＋1)，∴an＝,
∴bn＝＝＝4＋，
∴bn－bn－1＝4＋－＝4，
∴数列｛bn}是等差数列．
方法二　当n>1，n∈N*时，＝⇔＝⇔－2＝2＋⇔－＝4⇔bn－bn－1＝4，且b1＝＝5.
∴{bn}是等差数列，且公差为4，首项为5。
(2)解　由（1)知bn＝b1＋(n－1)d＝5＋4(n－1)＝4n＋1。
∴an＝＝，n∈N＊.
∴a1＝,a2＝，∴a1a2＝。
令an＝＝,∴n＝11。
即a1a2＝a11，
∴a1a2是数列｛an}中的项，且是第11项．

跟踪训练3　在数列{an}中，a1＝2,an＋1＝an＋2n＋1。
（1）求证：数列{an－2n}为等差数列；
(2)设数列｛bn}满足bn＝2log2(an＋1－n)，求{bn}的通项公式．
（1)证明　(an＋1－2n＋1)－(an－2n)＝an＋1－an－2n＝1(与n无关）,故数列｛an－2n}为等差数列，且公差d＝1。
(2)解　由（1)可知，an－2n＝（a1－2)＋（n－1)d＝n－1，
故an＝2n＋n－1，所以bn＝2log2（an＋1－n）＝2n。

对等差数列的定义理解不深刻

例4　若数列{an}的通项公式为an＝10＋lg 3n，求证:数列｛an｝为等差数列．
错解　因为an＝10＋lg 3n＝10＋nlg 3，
所以a1＝10＋lg 3，a2＝10＋2lg 3，a3＝10＋3lg 3，所以a2－a1＝lg 3，a3－a2＝lg 3，则a2－a1＝a3－a2，故数列｛an｝为等差数列．
错因分析　由数列的通项公式求出的a2－a1＝a3－a2仅能确保数列的前三项成等差数列,不能保证数列是等差数列．
正解　因为an＝10＋lg 3n＝10＋nlg 3,
所以an＋1＝10＋（n＋1)lg 3.
所以an＋1－an＝［10＋(n＋1）lg 3]－（10＋nlg 3)＝lg 3（n∈N*），所以数列｛an｝为等差数列．
误区警示　数列的前几项成等差数列与数列为等差数列不是等价的．若数列是等差数列，则数列的前三项成等差数列；而若数列的前三项成等差数列,则数列未必是等差数列;但若数列的前三项不是等差数列，则数列一定不是等差数列．因此利用非等价关系求出的结果未必满足题设条件，必须对求出的结果代入验证,以确保满足题设条件．

1．等差数列｛1－3n｝，公差d等于（　　)
A．1 B．3 C．－3 D．n
2．下列命题：①数列6，4,2，0是公差为2的等差数列；②数列a,a－1,a－2，a－3是公差为－1的等差数列；③等差数列的通项公式一定能写成an＝kn＋b的形式(k，b为常数)；④数列{2n＋1｝是等差数列．其中正确命题的序号是（　　)
A．①② B．①③
C．②③④ D．③④
3．在等差数列｛an}中，若a1＝84，a2＝80，则使an≥0，且an＋1〈0的n为（　　）
A．21 B．22 C．23 D．24
4．若{an}是等差数列，下列数列中仍为等差数列的有(　　)
①{｜an｜}；②{an＋1－an}；③｛pan＋q}(p，q为常数）；④｛2an＋n｝．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5．下列命题中正确的是(　　)
A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列
B．若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b,log2c成等差数列
C．若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2,c＋2成等差数列
D．若a，b，c成等差数列,则2a,2b，2c成等差数列

一、选择题
1．在等差数列｛an｝中,a2＝5，a6＝17，则a14等于（　　）
A．45 B．41 C．39 D．37
2．在等差数列｛an｝中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7等于(　　)
A．10 B．18 C．20 D．28
3．在数列｛an｝中，a1＝2，2an＋1－2an＝1，则a101的值为(　　）
A．49 B．50 C．51 D．52
4．已知数列{an}中，a3＝2,a5＝1，若{｝是等差数列，则a11等于(　　）
A．0 B。 C. D。
5．数列{an｝中，an＋1＝，a1＝2，则a4为（　　）
A。 B. C. D.
6．若lg 2，lg（2x－1)，lg（2x＋3)成等差数列，则x的值等于（　　）
A．0 B．log25 C．32 D．0或32
7．设函数f(x）＝（x－1)2＋n（x∈[－1，3］，n∈N*)的最小值为an,最大值为bn，记cn＝b－an·bn，则{cn}是（　　）
A．常数列 B．摆动数列
C．公差不为0的等差数列 D．递减数列
二、填空题
8．等差数列的前三项依次是x－1，x＋1,2x＋3，则其通项公式为________．
9．已知数列{an}满足a＝a＋4，且a1＝1，an〉0，则an＝________。
10．若关于x的方程x2－x＋m＝0和x2－x＋n＝0（m,n∈R，且m≠n）的四个根组成首项为的等差数列，则m＋n的值为________．
三、解答题
11．已知等差数列{an｝．
(1）若a12＝31,a32＝151，求a42的值;
（2)若a1＝5，d＝3,an＝2 009,求n.

12．若等差数列｛an}的公差d≠0且a1，a2是关于x的方程x2－a3x＋a4＝0的两根，求数列｛an｝的通项公式．

13．已知函数f(x)＝，数列｛xn｝的通项由xn＝f（xn－1）(n≥2，且n∈N＊)确定．
(1）求证是等差数列;
(2）当x1＝时，求x100.

课堂检测
1．答案　C
解析　∵an＝1－3n,∴a1＝－2,a2＝－5，
∴d＝a2－a1＝－3。
2．答案　C
解析　②③④正确,①中公差为－2。
3．答案　B
解析　公差d＝a2－a1＝－4,
∴an＝a1＋(n－1）d＝84＋（n－1)(－4)＝88－4n，
令即⇒21〈n≤22.
又∵n∈N*,∴n＝22。
4．答案　C
解析　设an＝kn＋b，
则an＋1－an＝k，故②为常数列，也是等差数列．
pan＋q＝p(kn＋b)＋q＝pkn＋（pb＋q)，
故③为等差数列，
2an＋n＝2(kn＋b）＋n＝(2k＋1)n＋2b，
故④为等差数列．
①未必，如an＝2n－4,则｛|an|｝的前4项为2，0，2，4，显然{|an|}不是等差数列．
5．答案　C
解析　∵a，b，c为等差数列，∴2b＝a＋c，
∴2(b＋2)＝（a＋2）＋(c＋2）,
∴a＋2，b＋2，c＋2成等差数列．

课时精练答案
一、选择题
1．答案　B
解析　设公差为d，则d＝＝＝3，
∴a1＝a2－d＝2，
∴a14＝a1＋13d＝2＋13×3＝41.
2．答案　C
解析　设公差为d，则
a3＋a8＝a1＋2d＋a1＋7d＝2a1＋9d＝10。
∴3a5＋a7＝3（a1＋4d)＋(a1＋6d)＝4a1＋18d＝20。
3．答案　D
解析　∵an＋1－an＝,
∴数列{an｝是首项为2，公差为的等差数列，
∴an＝a1＋(n－1)·＝2＋,
∴a101＝2＋＝52。
4．答案　A
解析　∵＝，＝，
∴＝，＝－×2＝，
∴＝＋(n－1）·，
∴＝＋＝＝1，
∴a11＝0.
5．答案　D
解析　方法一　a1＝2，a2＝＝,
a3＝＝，a4＝＝。
方法二　取倒数得＝＋3，
∴－＝3，
∴{}是以为首项，3为公差的等差数列．
∴＝＋(n－1）·3＝3n－＝，
∴an＝，∴a4＝.
6．答案　B
解析　依题意得2lg(2x－1）＝lg 2＋lg(2x＋3）,
∴(2x－1）2＝2(2x＋3），∴（2x）2－4·2x－5＝0，
∴(2x－5)(2x＋1）＝0，∴2x＝5或2x＝－1（舍），
∴x＝log25。
7．答案　C
解析　∵f(x）＝（x－1）2＋n（x∈[－1,3］)，
∴an＝n，bn＝n＋4，
∴cn＝b－an·bn＝bn（bn－an)
＝4（n＋4）＝4n＋16。
二、填空题
8．答案　an＝2n－3（n∈N＊)
解析　∵x－1，x＋1，2x＋3是等差数列的前三项，
∴2(x＋1）＝x－1＋2x＋3,解得x＝0。
∴a1＝x－1＝－1，a2＝1，a3＝3，∴d＝2,
∴an＝－1＋（n－1)·2＝2n－3。
9．答案　
解析　∵a－a＝4，
∴{a｝是等差数列,且首项a＝1，公差d＝4，
∴a＝1＋(n－1)·4＝4n－3。
又an〉0，∴an＝.
10．答案　
解　设x2－x＋m＝0，x2－x＋n＝0的根分别为x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＝x3＋x4＝1。
设数列的首项为x1,则根据等差数列的性质，数列的第4项为x2.由题意知x1＝，
∴x2＝，数列的公差d＝＝，
∴数列的中间两项分别为＋＝，＋＝.
∴x1·x2＝m＝.x3·x4＝n＝×＝。
∴m＋n＝＋＝.
三、解答题
11．解　（1)设首项为a1,公差为d,则
a12＝a1＋11d＝31，a32＝a1＋31d＝151，
∴
∴a42＝a1＋41d＝－35＋41×6＝211。
（2）an＝5＋(n－1)×3＝2 009，∴n＝669.
12．解　由题意知
∴
解得∴an＝2＋(n－1)×2＝2n。
故数列｛an}的通项公式为an＝2n.
13．(1)证明　由题意得xn＝f（xn－1)＝(n≥2,且n∈N*）,
所以＝＝＋（n≥2，且n∈N＊），
所以－＝(n≥2，且n∈N＊），
所以{｝是等差数列．
(2）解　由（1)知{｝的公差为，
因为x1＝，所以＝＋(n－1)·，
＝2＋（100－1）×＝35。
所以x100＝.

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