试卷、试题—--2013年中考二次函数试题专题汇编全集.doc

2013年中考二次函数试题专题汇编
2013河北省24,9分）某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计）这些薄板的形状均为正方形，边长（单位：cm）在5~50之间，每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm2）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例，在营销过程中得到了表格中的数据，
薄板的边长（cm）
20
30
出厂价（元/张）
50
70
（1）求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式；
（2）已知出厂一张边长为40cm的薄板，获得利润是26元（利润=出厂价-成本价）。
①求一张薄板的利润与边长这之间满足的函数关系式。
②当边长为多少时，出厂一张薄板获得的利润最大？最大利润是多少？

（2013山东省滨州中考，24,10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点．
（1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；
（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值．

（2013贵州遵义，27, 分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3，﹣）．
（1）求抛物线的函数解析式及点A的坐标；
（2）在抛物线上求点P，使S△POA=2S△AOB；
（3）在抛物线上是否存在点Q，使△AQO与△AOB相似？如果存在，请求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．

解析：
（1）根据函数经过原点，可得c=0，然后根据函数的对称轴，及函数图象经过点
（3，﹣）可得出函数解析式，根据二次函数的对称性可直接得出点A的坐标．
（2）根据题意可得点P到OA的距离是点B到OA距离的2倍，即点P的纵坐标为
2，代入函数解析式可得出点P的横坐标；
（3）先求出∠BOA的度数，然后可确定∠Q1OA=的度数，继而利用解直角三角形的
知识求出x，得出Q1的坐标，利用二次函数图象函数的对称性可得出Q2的坐标．
答案：
解：（1）由函数图象经过原点得，函数解析式为y=ax2+bx（a≠0），
又∵函数的顶点坐标为（3，﹣），
∴，
解得：，
故函数解析式为：y=x2﹣x，
由二次函数图象的对称性可得点A的坐标为（6，0）；
（2）∵S△POA=2S△AOB，
∴点P到OA的距离是点B到OA距离的2倍，即点P的纵坐标为2，
代入函数解析式得：2=x2﹣x，
解得：x1=3+，x2=3﹣，
即可得满足条件的有两个，P1（3+，2），P2（3﹣，2）．
（3）存在．

过点B作BP⊥OA，则tan∠BAP==，
故可得∠BOA=60°，
设Q1坐标为（x，x2﹣x），过点Q1作Q1F⊥x轴，
∵△OAB∽△OQ1A，
∴∠Q1OA=30°，
故可得OF=Q1F，即x=（x2﹣x），
解得：x=9或x=0（舍去），
即可得Q1坐标为（9，3），
根据函数的对称性可得Q2坐标为（﹣3，3）．
点评：
此题属于二次函数的综合题目，涉及了相似三角形的判定与性质，三角形的面积及
一元二次方程的解，综合性较强．
（2013呼和浩特，25，12分）（12分）如图，抛物线(a<0)与双曲线相交于点A、B，且抛物线经过坐标原点，点A的坐标为（–2，2），点B在第四象限内，过点B作直线BC∥x轴，点C为直线BC与抛物线的另一交点，已知直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴的距离的4倍，记抛物线顶点为E。
（1）求双曲线和抛物线的解析式；
（2）计算△ABC与△ABE的面积；
（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABE的面积的8倍。若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。

【解析】二次函数、反比例函数综合题
【答案】
解：（1）∵点A（–2，2）在双曲线上
∴k= –4
∴双曲线的解析式为
∵BC与x轴之间的距离是点B到y轴的距离的4倍
∴可设B点坐标为（m,–4m）（M>0）代入双曲线解析式得m=1
∴抛物线过点A（–2，2）、B（1，–4）、O（0，0）
∴ 解得
∴抛物线的解析式为y= –x2–3x
（2）∵抛物线的解析式为y= –x2–3x
∴顶点E，对称轴为x=
∵B（1，–4）
∴–x2–3x=–4 解得x1=1,x2= –4
∴C（–4，–4）
∴S△ABC=5×6×=15
由A、B两点坐标为（–2，2），（1，–4）可求得直线AB的解析式为：y= –2x–2
设抛物线对称轴与AB交于点F，则F点坐标为（–，1）
∴EF=
∴S△ABE=S△AEF+S△BEF=××3=
（3）∵S△ABE=
∴8 S△ABE=15
∴当点D与点C重合时，显然满足条件。
当点D与点C不重合时，过点C作AB的平行线CD，其对应的一次函数解析式为y= –2x–12
令–2x–12=–x2–3x
解得x1=3,x2= –4(舍)
当x=3时，y= –18
∴存在另一点D（3，–18）满足条件。

【点评】（1）利用反比例函数求点的坐标，并求出抛物线的解析式。（2）中利用解析式求出各个点的坐标，再求三角形的面积。（3）利用同底等高的原理作出平行线，找出另一点并求坐标。

（2013湖北武汉，23，10分）如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED＝16米，AE＝8米，抛物线的顶点C到ED距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴y轴建立平面直角坐标系，
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离ｈ（单位：米）随时间ｔ（单位：时）的变化满足函数关系
　　　ｈ＝－　　（０≤ｔ≤40）
且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？
解析：1、根据题意可得A，B，C，三点坐标分别为（-8，8）（０，11）（8，8），利用待定系数法，设抛物线解析式为y=ax2+c,有,解方程组即可
2、水面到顶点C的距离不大于5米，即函数值不小大于11－5＝６，解方程－＝６即可
解：1、依题有顶点Ｃ的坐标为（０，11），点Ｂ的坐标为（8，8），设抛物线解析式为y=ax2+c
有,解得
∴抛物线解析式为y=－x2+11
2、令－＝11－5，解得t１＝35，t2=3
画出　ｈ＝－　　（０≤ｔ≤40）的图像，
由图像变化趋势可知，当3≤ｔ≤35时，
水面到顶点C的距离不大于5米，需禁止船只通行，
禁止船只通行时间为35－3＝32（时）
答：禁止船只通行时间为32小时。
点评：难度中等

（2013湖北武汉，25，12分）如图1、点A为抛物线C1：y =的顶点，点B的坐标为（1,0），直线AB交抛物线C1于另一点C，（1）求点C的坐标;
（2）如图1,平行于y轴的直线x＝3交直线AB于点D，交抛物线C于点E，平行于y轴的直线x＝a交直线AB于F，交抛物线C1于G，若FG：DE＝4：3,求a的值。
（3）如图2将抛物线C向下平移m（m>0）个单位得到抛物线C2且抛物线C2的顶点为点P交X轴负半轴于点M，交射线BC于点N，NQ⊥x轴于点Q，当NP平分∠MNQ时，求m的值。

解析：1、求C点的坐标，可首先利用待定系数法求出直线AB的解析式，联立直线与抛物线得到方程组，求解方程组即可；
2、根据题意，DE的长度可求又FG：DE＝4：3,故可求FG=2即∣yF-yG∣=2,把x＝a代人两个函数解析式，用a表示F、G、纵坐标，得到关于a的方程即可；
3、解决本题关键在于抓住M、P之间的联系，可设点M坐标为（ t，0），根据待定系数法得抛物线C2解析式为y =，即P点坐标为（0，），又直线AB与抛物线C2的交点N坐标为（2-t，2-2t ），从而有∠NMO=450，进而MN与y轴交点为T（0，-t）,由特殊角三角函数和线段和差有NT=（2-t）,PT=-t+t2，又PN平分∠MNQ, NQ∥TP 故∠MNP=∠PNQ=∠TPN ，PT=NT,即-t+t2=(2-t)，从而求得t值，进而求得m.
解：（1）当x=0时，y=－２, ∴A(0，－２)
设直线AB的解析式为y=kx+b,有
，解得. ∴直线AB的 解析式为y=2x-2.
由C点为直线与抛物线y =的交点，则点C的横、纵坐标满足
解得 （舍） ∴点C的坐标为（4，6）
（2）直线x＝3分别交直线AB和交抛物线C1于D、E两点。
∴yD=4, yE=, ∴DE=
∵FG：DE＝4：3．FG＝２
∵直线分别交直线AB和抛物线C于F、G两点。
∴yF=2a-2, yG=a2-2, ∴FG=|2a-a2|=2
解得a1=2,a2=2+2,a3=2-2
（3）解法一：设直线MN交y轴于T，过点N作NH⊥y轴于点H。
设点M坐标为（ t，0），抛物线C2 的解析式为y =
∴0= ，∴ ∴y =
∴点P坐标为（0，），
∵点N是直线AB与抛物线y=x2-t2的交点，则点N的横，纵坐标满足
解得 (舍去) ∴点N坐标为（2-t，2-2t ）
NQ=2--2t ，MQ=NQ, ∴
∴△MOT, △NHT均为等腰直角三角形，∴MO=NO,HT=HN,
∴OT=t，NT=NH=（2-t）,PT=-t+t2
∵PN平分∠MNQ, NQ∥TP ∴∠MNP=∠PNQ=∠TPN ∴PT=NT,
∴-t+t2=(2-t), ∴t1=-2,t2=2(舍去)
-2-m=-t2=-(-2)2,∴m=2
解法二，设N坐标为（t,2t-2）,抛物线C2的解析式为y=x2-2-m, ∴2t-2=t2-2-m
∴点P坐标为（0，+2t-2）
同解法一可得∠MNQ=450，∴∠PNQ=∠MNQ=22.50，
过点P作PF⊥NQ于点F，在FN上截取FJ=FP，连线JP，∴NJ＝JP＝PF＝FJ
∴NF＝（＋１）PF，∴即（２t-2）-(-t2+2t-2)=( +1)t
∴t1=2+2,t2=0(舍去), ∴m=t2-2t=2 ∴m=2
点评：本题以二次函数为背景，考察了待定系数法，函数与方程组，抛物线与直线所截线段长度的计算，特殊角的三角函数，平行线、角平分线的性质等相关知识，以及数形结合的数学思想，1、2问难度不大，2问学生需注意分类讨论，也可以对线段的长度加绝对值达到分类讨论的效果；3问难度较大，学生不容易找到问题的突破口，学生可以先进行必要的计算，边算边找，只要找到∠NMQ=450，问题就较为明晰了。

（2013湖南衡阳市，27，10）如图，A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t（0＜t＜）秒．答案如下问题：
（1）当t为何值时，PQ∥BO？
（2）设△AQP的面积为S，
①求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；
②若我们规定：点P、Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则新坐标（x2﹣x1，y2﹣y1）称为“向量PQ”的坐标．当S取最大值时，求“向量PQ”的坐标．

解析：（1）如图①所示，当PQ∥BO时，利用平分线分线段成比例定理，列线段比例式，求出t的值；
（2）①求S关系式的要点是求得△AQP的高，如图②所示，过点P作过点P作PD⊥x轴于点D，构造平行线PD∥BO，由线段比例关系求得PD，从而S可求出．S与t之间的函数关系式是一个关于t的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出S的最大值；
②本问关键是求出点P、Q的坐标．当S取最大值时，可推出此时PD为△OAB的中位线，从而可求出点P的纵横坐标，又易求Q点坐标，从而求得点P、Q的坐标；求得P、Q的坐标之后，代入“向量PQ”坐标的定义（x2﹣x1，y2﹣y1），即可求解．
答案：解：（1）∵A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），则OB=6，OA=8，
∴AB===10．
如图①，当PQ∥BO时，AQ=2t，BP=3t，则AP=10﹣3t．
∵PQ∥BO，∴，即，解得t=，
∴当t=秒时，PQ∥BO．

（2）由（1）知：OA=8，OB=6，AB=10．
①如图②所示，过点P作PD⊥x轴于点D，则PD∥BO，
∴，即，解得PD=6﹣t．
S=AQ•PD=•2t•（6﹣t）=6t﹣t2=﹣（t﹣）2+5，
∴S与t之间的函数关系式为：S=﹣（t﹣）2+5（0＜t＜），
当t=秒时，S取得最大值，最大值为5（平方单位）．
②如图②所示，当S取最大值时，t=，
∴PD=6﹣t=3，∴PD=BO，又PD∥BO，
∴此时PD为△OAB的中位线，则OD=OA=4，
∴P（4，3）．
又AQ=2t=，∴OQ=OA﹣AQ=，∴Q（，0）．
依题意，“向量PQ”的坐标为（﹣4，0﹣3），即（，﹣3）．
∴当S取最大值时，“向量PQ”的坐标为（，﹣3）．

点评：本题是典型的动点型问题，解题过程中，综合利用了平行线分线段成比例定理（或相似三角形的判定与性质）、勾股定理、二次函数求极值及三角形中位线性质等知识点．第（2）②问中，给出了“向量PQ”的坐标的新定义，为题目增添了新意，不过同学们无须为此迷惑，求解过程依然是利用自己所熟悉的数学知识．

（2013·湖南省张家界市·25题·12分）如同，抛物线与轴交于C、A两点，与y轴交于点B，OB=4点O关于直线AB的对称点为D，E为线段AB的中点.
（1） 分别求出点A、点B的坐标
（2） 求直线AB的解析式
（3） 若反比例函数的图像过点D，求值.
（4）两动点P、Q同时从点A出发，分别沿AB、AO方向向B、O移动，点P每秒移动1个单位，点Q每秒移动个单位，设△POQ的面积为S，移动时间为t,问：S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的t值，若不存在，请说明理由.
y
x
B
D
P
A
Q
O
C
2

【分析】（1）求抛物线与x轴的交点的横坐标，即求函数值为0时，x的值；（2）利用待定系数法可求；（3）求出D点的坐标，再代入反比例函数关系式即可求k值；（4）利用二次函数的最值求解.
【解答】解：（1）令y=0，即-x2+x+2=0，解答x1=-，x2=2.
∴C（-，0），A（2，0）
（2）令AB为直线为y=k1x+2，∵点A（2，0）在直线上，
∴0=K1·2+2，∴k1=-.
∴AB的解析式为y=-x+2.
（3）∵D点与O点关于AB对称，∴OD=OA=2.
∴D点的横坐标为，纵坐标为3，即D（，3）.
因为y=过点D，∴3=，∴k=3.
（3）∵AP=t，AQ=t，∴OQ=2-t.
点P到OQ的距离为t.
∴S△OPQ=·（2-t）·t=-（t-2）2+.
依题意，，得0＜t≤4，
∴当t=2时，S有最大值为.
【点评】本题是考查一次函数、反比例函数和二次函数，由函数及满足函数图象的点，求出相关点的坐标，然后用待定系数法，求出抛物线的解析式；再根据二次函数的最值求解问题．

( 2013年四川省巴中市,29,9)某种商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件；如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元.
(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围;
(2)每件商品的售价定为多少时每个月可获得最大利润?最大利润是多少?
【解析】①根据题意，y=（60-50+x）(200-10x),整理得，y=10x2+100x+2000(0<x≤12)；
②由① 得y=-10x2+100x+2000=－10（x-5）2＋2250，当x=5时，最大月利润y为2250元。
【答案】①y=-10x2+100x+2000(0<x≤12) ②当x=5时，最大月利润y=2250元
【点评】本题是二次函数的应用问题，“最大利润问题”，根据题意准确的确定函数关系式是解决问题的关键.

(2013山东日照，22，9分)如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm，AD=4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y（cm2）.
（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）求△PBQ的面积的最大值.

解析：先运用三角形的面积公式求出y关于x的函数关系式，然后运用公式法或配方法把函数化成顶点式，再根据x的取值范围求所得函数的最大值，进而解决问题.
解：（1）∵S△PBQ=PB·BQ, PB=AB－AP=18－2x，BQ=x，
∴y=（18－2x）x，即y=－x2+9x（0<x≤4）;
（2）由（1）知：y=－x2+9x，∴y=－(x－）2 +,
∵当0<x≤时，y随x的增大而增大， 而0<x≤4，
∴当x=4时，y最大值=20，即△PBQ的最大面积是20cm2.
点评：本题考查了列函数关系式表示几何关系的能力以及二次函数的最值的求法，解题的关键是用x表示相关线段的长，然后关键三角形的面积公式求出y关于x的函数关系式，难点是求函数的最大值.
（2013广东肇庆，25，10） 已知二次函数图象的顶点横坐标是2，与轴交于A（，0）、B（，0），﹤0﹤，与轴交于点C，为坐标原点，．（1）求证：；
（2）求、的值；
（3）当﹥0且二次函数图象与直线仅有一个交点时，求二次函数的最大值．
【解析】①将2代入顶点横坐标易得： ②在三角形中结合正切函数及根与系数关系，通过讨论可求得、的值；③当﹥0且二次函数图象与直线仅有一个交点，即两个方程所组成的方程组有唯一解．即二次方程有两个相等的实数根．
【答案】（1）将2代入顶点横坐标得： （1分）
∴ （2分）
（2） ∵已知二次函数图象与轴交于A（，0）、B（，0），且由（1）知
∴， （3分）
∵ ﹤0﹤， ∴在Rt△ACO中，tan∠CAO=
在Rt△CBO中，tan∠CBO=
∵　，　　∴　　 （4分）　
∵ ﹤0﹤，∴ ∴ 即
∴　　　　　　∴　　　　 （5分）
①当时，，此时， （6分）
②当时，， 此时，　　　　 （7分）
（3）当时，二次函数的表达式为：　
∵二次函数图象与直线仅有一个交点　　∴方程组仅有一个解
∴一元二次方程　即有两个相等根　　（8分）
∴　　解得：　　　　 （9分）
此时二次函数的表达式为：
∵，∴有最大值　　　

(2013山东日照，23，10分)如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，且A点坐标为(-3,0），经过B点的直线交抛物线于点D（-2，-3）.
（1）求抛物线的解析式和直线BD解析式；
（2）过x轴上点E（a，0）（E点在B点的右侧）作直线EF∥BD,交抛物线于点F,是否存在实数a使四边形BDFE是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由.

解析：（1）由A（-3,0）,D(-2，-3)两点运用待定系数法可求；（2）先假设存在实数a使四边形BDFE是平行四边形，得到DF∥EB,由此用a表示F的坐标，代入二次函数解析式得关于a的一元二次方程，求解检验可得.
解： （1）将A（-3,0）,D(-2，-3)的坐标代入y=x2+bx+c得，
，
解得：，
∴y=x2+2x－3
由x2+2x－3=0，
得： x1=-3，x2=1，
∴B的坐标是（1,0），
设直线BD的解析式为y=kx+b,则
，
解得：
，
∴直线BD的解析式为y=x－1；
（2）∵直线BD的解析式是y=x－1，且EF∥BD,
∴直线EF的解析式为：y=x－a.
若四边形BDFE是平行四边形，
则DF∥x轴,
∴D、F两点的纵坐标相等，即点F的纵坐标为-3.
由，得
y2+（2a+1）y+a2+2a-3=0，
解得：y=.
令=－3，
解得：a1=1，a2=3.
当a=1时，E点的坐标（1，0），这与B点重合，舍去；
∴当a=3时，E点的坐标（3，0），符合题意.
∴存在实数a=3，使四边形BDFE是平行四边形.
点评：本题考查待定系数法、平行四边形的性质和一元二次方程的解法，解题的关键是用a表示F的坐标，数形结合是解决本题的重要思想思想.
（2013珠海，19，7分）如图，二次函数的图象与轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点.已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1,0）及点B.
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象，写出满足kx+b≥的的取值范围.

【解析】（1）把A（1,0）代入.解得m即可写出二次函数解析式,点C的坐标(0,4+m),再由点B、点C关于该抛物线的对称轴对称,可得点B的坐标,直线AB的解析式可求.
（2）由点B向x轴作垂线,如第19题图-1所示,当1≤x≤4时,直线AB上的对应点在抛物线的上方,即kx+b≥.

【答案】（1）由题意,得+m＝0, 解得m＝－1.
∴
当x＝0时, ＝3, ∴C(0,3).
∵点B与C关于直线x=2对称, ∴B(4,3)
于是有,解得
∴y＝x－1
（2）x的取值范围是1≤x≤4.
【点评】本题考查一次函数,二次函数,不等式综合应用,掌握用待定系数法和图象法是解题的关键.

（2013云南省，23 ，9分）（本小题9分）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点。抛物线的图像过点，并与直线相较于两点。
(1)求抛物线的解析式（关系式）；
(2)过点作交轴于点C ，求点C的坐标；
(3)除点外，在坐标轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由。
【解析】(1) 关键是求出点的坐标，利用待定系数法来求系数，抛物线的图像与直线相较于A、B两点。则有：
解之得：
代入：得： 即A、B两点的坐标分别为： ，P点的坐标为：
（两个系数需要两个点的坐标）抛物线的图像过点，两点得： 解之得：所以：
(2)因为，所以有则：即： 所以C点坐标为主要是要求出，这是关键；
(3)除点C外，在坐标轴上还存在点M，使得是直角三角形。关键是要考生考虑一个三角形是直角三角形有三种情况，题目给出一种，那么还有两种，然后分情况来做；
a、设M点的坐标为过B点作垂足为L（这是以点来做直角顶点）
所以就有：

所以M点的坐标为或
b、过点作交轴于点点，这个点的第三个点同样使得是直角三角形, （这是以点来做直角顶点）；那么有：
因为：则有： 所以点的坐标是：
综上所述得：除点外，在坐标轴上还存在点，使得是直角三角形。坐标分别是： 、、。

【答案】
解：(1) 抛物线的图
像与直线相较于A、B两点。
则有：
解之得：
代入：得：
即A、B两点的坐标分
别为： ，P点的坐标为：
抛物线的图像过点，两点得：
解之得：所以：
(2)因为，所以有则：即： 所以C点坐标为
(3)除点C外，在坐标轴上还存在点M，使得是直角三角形。
a、（以点来做直角顶点）设M点的坐标为过B点作垂足为L
所以就有：

所以M点的坐标为
或
b、（以点来做直角顶点）过点
作交轴于点点，这个点的第三个点同样使得是直角三角形, ；那么有：
因为：
则有：

所以点的坐标是：
综上所述得：除点C外，在坐标轴上还存在点M，使得是直角三角形。坐标分别是： 、、。
【点评】（1）本题考查考生两条线相交时，求点的坐标，其实轴上是相等的，进而可以得到一个方程，解出结果便是；还有对用待定系数法求抛物线的解析式的掌握程度；
（2）考查考生如何利用三角形相似来求点的坐标，同时还可以和高中数学起到衔接的作用；（3）考查直角坐标系中点与点之间的距离要用勾股定理来求得，和三角形相似的运用；还有一个三角形是直角三角形时，其直角可以是任意一个顶点上的角，所以考生要考虑三种情况，题目已经给出一种，其余两种必须由考生去解；还有一元二次方程公式法的解法应用，此题难度具有梯度，从中到难的跨度较大，但又步步紧扣；此题属于中考压轴题，具有拉开考生梯度的作用，使满分者与次之泾渭分明。

（2013，湖北孝感，25，12分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，三个交点坐标分别是A(-1，0)，B(3，0)，C(0，3)．
（1）求抛物线的解析式，及顶点D的坐标；（4分）
（2）若P为线段BD上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，求四边形PMAC面积的最大值和此时P点的坐标；（4分）
（3）若点P是抛物线在第一象限上的一个动点，过点P作PQ∥AC交x轴于点Q，当点P的坐标为________时，四边形PQAC是平行四边形；当P点的坐标为_________时，四边形PQAC是等腰梯形（直接写出结果，不写求解过程）．(4分)

【解析】（1）已知了抛物线图象上的三点坐标，可用待定系数法求出该抛物线的解析式，进而可用配方法或公式法求得顶点D的坐标．
（2）设出P点坐标，将四边形PMAC的面积分为割一个直角三角形和一个直角梯形，在图形中找到等量关系S四边形PMAC=S△AOC +S梯形COMP，代入三角形面积公式、梯形面积公式，即可根据函数的性质求出四边形PMAC的最大值．
（3）．
【答案】解：（1）因为抛物线y=ax2+bx+c过C(0，3)，∴当x=0时，c=3．
又∵抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1，0)，B(3，0)，
∴，解得：．
∴抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3．
又y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，∴顶点D的坐标是（1，4）．
（2）设直线BD的解析式为y=kx+n(k≠0)．
∵直线y=kx+n过点B(3，0)，D(1，4)
∴，解得：，
∴直线BD的解析式为y=-2x+6．
∵P点在线段BD上，因此，设P点的坐标为（m，-2m+6）,
又∵PM⊥x轴于点M，∴PM=-2m+6，OM=m．
又∵A(-1，0)，C(0，3)，∴OA=1，OC=3，设四边形PMAC的面积为S，则
S=OA·OC+(PM+OC)·OM=×1×3+(-2m+6+3)·m=
∵，∴当时，四边形PMAC的最大面积为．
此时P点的坐标为．
（3）(2，3)，
【点评】此题是二次函数的综合题，主要考查二次函数解析式的确定、一次函数解析式的确定、图形面积的求法、二次函数的最值等知识．能够将图形面积问题转换为二次函数的最值问题是解决（2）题的关键．

（2013贵州省毕节市，25，12分）某商品的进价为每件20元，售价为每件30，每个月可买出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨元（为整数），每个月的销售利润为的取值范围为元。
（1）求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
（2）每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？
(3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？
解析：（1）销售利润=每件商品的利润×（180-10×上涨的钱数），根据每件售价不能高于35元，可得自变量的取值；
（2）利用公式法结合（1）得到的函数解析式可得二次函数的最值，结合实际意义，求得整数解即可；
（3）让（1）中的y=1920求得合适的x的解即可．
解答：解：（1）y=（30-20+x）（180-10x）=-10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）；
（2）当x=时，y最大=1960元；∴每件商品的售价为34元．
答：每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，为1960元；
（3））1920=-10x2+80x+1800 ， x2-8x+12=0， 即 （x-2）（x-6）=0，
解得x=2或x=6， ∵0≤x≤5， ∴x=2，
∴售价为32元时，利润为1920元．
点评：考查二次函数的应用；得到月销售量是解决本题的突破点；注意结合自变量的取值求得相应的售价．

（2013山东省青岛市，22，10）（10分）在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构.根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的对应关系如图所示：
⑴试判断y与x 之间的函数关系，并求出函数关系式；
⑵若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数关系式；
⑶若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大的利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润.

【解析】（1）根据图象可观察得y与x成一次函数关系，利用一次函数解析来解答.
（2）利用“利润=销售量×每吨的利润”列函数关系式
（3）先利用“成本≤900元” 求得自变量的取值，然后根据函数性质求最值．
【答案】解：⑴y是x的一次函数，设y=kx+b图象过点（10,300），（12,240），
解得 y=-30x+600
当x=14时，y=180；当x=16时，y=120,
即点（14,180），（16,120）均在函数y=-30x+600的图象上.∴y与x之间的函数关系式为y=-30x+600.
⑵w=（x-6）(-30x+600)=-30x2+780x-3600
即w与x之间的函数关系式为w=-30x2+780x-3600.
⑶由题意得6(-30x+600)≤900，解得x≥15.
w=-30x2+780x-3600图象对称轴为x=-=13，∵a=-30<0,
∴抛物线开口向下，当x≥15时，w随x增大而减小，∴当x=15时，w最大=1350.
即以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350元.
【点评】本题是主要考查了一次函数、二次函数模型的选择与应用．运用函数性质求二次函数的最值常用配方法或公式法．（1）问中，要注意将其余各点代入验证，这一点容易忽视.

（2013四川宜宾，21，8分）某市政府为落市“保障性住房建设”这一惠民政策，2011年已投入3亿元资金用于保障性住房建设，并规划投入资金逐年增加，到2013年底，将累计投入10.5亿元资金用于保障性住房建设。
（1） 求到2013年底，这两年中投入资金的平均增长率（只列出方程）；
（2） 设（1）中方程的两根分别为x，x，且mx-4mxx+mx的值为12，求m的值。
【解析】（1）等量关系为：2011年某市用于保障房建设资金×（1+增长率）2=2013年用于保障房建设资金，把相关数值代入求得合适的解即可．
（2）由上题得到的一元二次方程，根据根与系数的关系求得m的值即可．
【答案】解：（1）设到2013年底，这两年中投入资金的平均年增长率为x，根据题意得：
3+3（x+1）+3（x+1）=10.5
（2）由（1）得，x+3x-0.5=0
由根与系数的关系得，x+x=-3，xx=-0.5，
又∵mx-4mxx+mx=12
∴m﹝（x+x）-2 xx﹞-4m xx=12
M﹝9+1﹞-4m·（-0.5）=12
∴m+5m-6=0
解得m=-6或m=1
【点评】考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．

（2013四川宜宾，22，10分）如图，抛物线y=x-2x+c的顶点A在直线l：y=x-5.
（1） 求抛物线顶点A的坐标；
（2） 设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；
（3） 在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由。

【解析】（1）先根据抛物线的解析式得出其对称轴方程，由此得到顶点A的横坐标，然后代入直线l的解析式中即可求出点A的坐标．
（2）由A点坐标可确定抛物线的解析式，进而可得到点B的坐标．则AB、AD、BD三边的长可得，然后根据边长确定三角形的形状．
（3）若以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形，应分①AB为对角线、②AD为对角线两种情况讨论，即①ADPB、②ABPD，然后结合勾股定理以及边长的等量关系列方程求出P点的坐标．
【答案】解：（1）∵顶点A的横坐标为x==1，且顶点A在y=x-5上，
∴当x=1时，y=1-5=-4
∴A（1，-4）
（2）△ABD是直角三角形。
将A（1，-4）代入y=x-2x+c，可得，1-2+c=-4，∴c=-3
∴y= x-2x-3，∴B（0，-3）
当y=0时，x-2x-3=0，∴x=-1，x=3
∴C（-1,0）,（3,0）
BD+OB+OD=18，AB=（4-3）+1=2，AD=（3-1）+4=20
∴BD+AB=AD
∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形。
（3）存在。
由题意知：直线y=x-5交y轴于点E（0，-5），交x轴于点F（5,0）
∴OE=OF=5，又∵OB=OD=3
∴△OEF与△OBD都是等腰直角三角形。
∴BD∥l，即PA∥BD
则构成平行四边形只能是PADB或PABD,如图，过点P作y轴的垂线，过点A作x轴的垂线并交于点G.
设P（x，x-5），则G（1，x-5）
则PG=∣1- x∣,AG=∣5- x-4∣=∣1- x∣
PA=BD=3
由勾股定理得：
（1- x）＋（1- x）=18，x-2 x-8=0，x=-2或4
∴P（-2，-7）或（4，-1）
∴存在点P（-2，-7）或P（4，-1）使以点A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形。

【点评】题目考查了二次函数解析式的确定、勾股定理、平行四边形的判定等基础知识，综合性较强；（3）题应注意分类讨论，以免漏解．

(2013广安中考试题第26题，10分)如图12，在平面直角坐标系xOy中，AB⊥x轴于点B，AB=3，tan∠AOB=3/4。将△OAB绕着原点O逆时针旋转90o，得到△OA1B1；再将△OA1B1绕着线段OB1的中点旋转180o，得到△OA2B1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过