提能拔高限时训练函数-数列的极限-函数的连续性.doc

提能拔高限时训练57 函数,数列的极限,函数的连续性
一、选择题
1.等于( )
A. B. C.1 D.2
解析：.
答案：B
2.把1+(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n展开成关于x的多项式，其各项系数和为an，则等于( )
A. B. C.1 D.2
解析：令x=1,得,
.
答案：D
3.等于( )
A.0 B.1 C. D.
解析：.
答案：D
4.等于( )
A. B.0 C. D.不存在
解析：
.
答案：A
5.若数列{an}是首项为1,公比为的无穷等比数列,且{an}各项的和为a,则a的值是( )
A.1 B.2 C. D.
解析：∵,
∴2a2-5a+2=0.
∴a=2或(舍去).
答案：B
6.若,则常数a,b的值为( )
A.-2,-4 B.2,-4 C.-2,4 D.2,4
解析：,当x=1时,ax+a-b=0,b=2a,代入,得,则a=-2,b=-4,故选A.
答案：A
7.设函数在点x=0处连续,则a的值为( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
解析：,,f(0)=a,要使f(x)在点x=0处连续,需,
∴a=1.
答案：C
8.若(1+5x2)n的展开式中各项系数之和是an,(2x3+5)n的展开式中各项的二项式系数之和为bn,则的值为( )
A. B. C. D.
解析：令x=1,得各项系数之和为an=6n,(2x3+5)n的展开式中各项二项式系数之和为bn=2n,
∴.
答案：D
9.记首项为1,公比为q(0＜|q|＜1)的无穷等比数列{an}的各项的和为S,Sn表示该数列的前n项和,且,则实数a的取值范围为( )
A. B.
C.{,且a≠1} D.{,且a≠1}
解析：由题意,得,
于是,
解得.
又0＜|q|＜1,则实数a的取值范围为{,且a≠1},故选C.
答案：C
10.已知p和q是两个不相等的正整数,且q≥2,则等于( )
A.0 B.1 C. D.
解析：
.
答案：C
二、填空题
11.已知数列的通项an=-5n+2,其前n项和为Sn,则___________________________.
解析：∵an=-5n+2,
∴.
∴.
答案：
12.若a＞0,则___________________________.
解析：当a＞1时,原式=1;当0＜a＜1时,原式=0;当a=1时,原式=.
答案：0,1或
13.已知函数在点x=0处连续,则a=_________________.
解析：因为在点x=0处连续,所以
.
答案：-1
14.有以下四个命题：
①在［0,1］上连续；
②若f(x)是(a,b)内的连续函数,则f(x)在(a,b)内有最大值和最小值；
③；
④若则.
其中正确命题的序号是________________.(请把你认为正确命题的序号都填上)
解析：①在x=0处无定义；
②根据定义,知②错误；③计算后，知③成立；
④,所以错误.
答案：③
三、解答题
15.已知数列{an}满足：a1=1且,an单调递增,
求.
解：由，有(an+1+an-1)2=4an·an+1.
∵an+1＞an≥a1=1,
∴an+1+an-1＞0.
∴,
即,从而,故是以1为首项,公差为1的等差数列.∴an=n2,
.
∴.
16.已知,且函数在［1,e］上存在反函数,求b的取值范围.
解：∵,
∴x=-2为x2+cx+2=0的根,解得c=3.
又,
∴a=-1.
∴,.
∵在［1,e］上存在反函数,
∴y′≥0或y′≤0在［1,e］上恒成立.
∵x2＞0,
∴2xlnx-b≥0或2xlnx-b≤0在［1,e］上恒成立,即b≥2xlnx或b≤2xlnx在［1,e］上恒成立.
∵g(x)=2xlnx在［1,e］上为增函数,
∴x=1时,g(x)取最小值0,x=e时,g(x)取最大值2e,
∴b≥2e或b≤0,
即b的取值范围是(-∞,0］∪［2e,+∞).
教学参考例题 志鸿优化系列丛书
【例1】已知(a,b为常数),试讨论a,b为何值时,f(x)在x=0处连续.
解：,
,
则
∴a=1,b=0.
【例2】设讨论复合函数f［g(x)］的连续性.
解：当x≥1时,g(x)=x3≥1,
∴f［g(x)］=f(x3)=2-x3;
当0＜x＜1时,g(x)=1-x,0＜1-x＜1,
∴f［g(x)］=f(1-x)=1-x+1=2-x;
当x≤0时,g(x)=1-x,1-x≥1,
∴f［g(x)］=f(1-x)=2-(1-x)=1+x.
∴
,
.
又f［g(1)］=1,
∴f［g(x)］在x=1处连续.
∵,
,
∴,
即不存在.
∴f［g(x)］在x=0处不连续.
∴f［g(x)］在(-∞,0),(0,+∞)上连续,在x=0处不连续.

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