CT断层图像重建算法研究应用.doc

CT断层图像重建算法研究专业：通信工程 姓名：刘明帅 指导老师：骆岩红摘 要CT技术是一个融合了射线光电子学、信息学、微电子学等学科新兴技术，因为其优异无损检测技术，所以被广泛地应用于医学、航天、生物等多个领域。伴随科技进步，图像重建技术开始应用于X射线中，这是数字图像处理一个重大进步。怎样能重建出高质量图像，取决于所采取重建算法。从图像重建角度来看，关键分为解析法和迭代法。解析法是利用解析、变换重建公式来构建重建图像。它含有轻易实现,速度较快,且能重建出高质量图像特点,不过对投影数据完备性要求高。迭代法是利用求解线性方程组来重建图像，它能够在投影数据信噪较低条件下，取得高质量图像。本文将从原理、应用、和优缺点角度来分析两种算法，关键对解析法中滤波反投影算法从平行束和扇束投影方法进行研究，最终经过Visual C+和MATLAB软件相结合方法对图像重建，并分析各参数对重建图像影响。关键字：CT技术 图像 重建算法 滤波反投影算法AbstractCT technology is a emerging technology that blend of the Ray optoelectronics, microelectronics and informatics subject. Because of its advanced nondestructive testing technology, it is widely used in medical, aerospace, biological and other fields. With the progress of science and technology, Image reconstruction technology is applied to the X ray, This is a major progress of digital image processing. How to rebuild the high quality images, depends on the reconstruction algorithm you adopt. From the perspective of image reconstruction,it mainly divided into the analytical method and iteration method. Analytical method use the analysis and transform formula to build image reconstruction.It has the characteristics of implementating easily and fast,and reconstructing out high quality images,but the demand of the projection data is high.Iterative method is used to solve the linear system of equations to reconstruction image, the projection data under the condition of low signal-to-noise, it can get high quality image.This article we will be from the point of view of the principle ,application,and the advantages and disadvantages to analysis the two kinds of algorithms,focusing on studying the analytical method of filter back projection algorithm from the parallel beam and fan beam projection methods , finally, combining the software of Visual c + + with MATLAB software to image reconstruction, and analyzes the influence of various parameters on the reconstruction imageKey words: CT technology image reconstruction algorithm Filtered Backprojection Algorithm目录第一章 绪论- 5 -1.1 CT技术和图像重建概述- 6 -1.2 CT和重建技术发展及研究现实状况- 6 -1.3 研究目标和意义- 9 -第二章 CT成像原理和图像重建算法- 9 -2.1 CT成像原理和系统组成- 9 -2.2 CT成像系统扫描方法发展- 10 -2.3 CT断层图像原理- 12 -2.4图像重建算法概述- 13 -2.4.1解析类方法- 13 -2.4.2传统迭代类方法- 14 -第三章 CT图像重建算法实现原理研究- 14 -3.1图像重建系统中数学概念及变换- 14 -3.1.1 投影和反投影- 14 -3.1.2 Radon变换及其反变换- 15 -3.1.3傅里叶变换- 16 -3.1.4中心切片定理- 17 -3.2解析类重建算法- 18 -3.2.1直接傅里叶变换算法- 18 -3.2.2反投影重建算法- 19 -3.3 迭代类重建算法- 21 -3.3.1 代数迭代重建算法- 22 -(1) ART算法- 22 -(2)同时代数重建算法- 22 -3.3.2 影响代数迭代重建算法原因- 23 -3.3.3 ART重建算法和SART- 26 -3.3.4 统计迭代重建算法- 27 -（1）最小二乘图像重建算法- 27 -第四章 滤波反投影重建算法- 30 -4.1平行束滤波反投影重建算法- 31 -4.1.1卷积反投影重建算法- 31 -4.1.2滤波函数选择- 32 -4.2 扇形束滤波反投影算法- 34 -4.2.1等夹角扇形束滤波反投影算法- 35 -4.2.2等间距扇形滤波反投影算法- 36 -4.3滤波反投影重建算法软件实现- 37 -4.4滤波反投影算法和ART算法对比- 49 -第五章 总结和展望- 50 -5.1总结- 50 -5.2新兴迭代算法- 51 -5.3 展望- 52 -参考文件- 53 -第一章 绪论1.1 CT技术和图像重建概述所谓CT技术就是X射线计算机断层成像，它是一个新兴技术，发展于20世纪80年代，它将射线光电子学、信息科学、微电子学、计算机科学等学科结合在一起。我们知道，当X射线照射不一样物体时，每个物体对这种射线吸收和透射率不一样，而重建正是利用这种原理，射线照射后，利用探测器进行接收，这么我们就能够依据衰减数得到其分布图像，这就是CT成像技术基础。CT技术在对物体进行检测时，不用破坏物体内部结构,正是因为这种无损检测技术，所以被广泛应用于医学、生物、航天、航空等多个领域。图像重建是由物体截断面向该平面做投影，依据投影所得函数来重建截断面过程。伴随时间推移，人类在科学技术上也有了重大进步，尤其是计算机技术高速发展，也推进了图像重建发展，在医学领域应用最为显著，它大大丰富了对于人体内脏器官检验手段，为愈加正确地诊疗疾病提供了强有力依据。依据原始数据获取方法和重建原理不一样，可分为透射断层重建成像、发射断层重建成像、反射断层重建成像1。1.2 CT和重建技术发展及研究现实状况早在1895年，伦琴发觉了X射线，这就是CT技术发展早期萌芽。自此以后，大家也意识到CT技术在成像上有很好地发展前景。果如其然，不就以后大家就看到了诸如旋转阳极X射线管、影像增强管等东西。然而，图像重建技术应用于X放射线医学却是一个重大突破，对身体内脏疾病诊疗有着非凡意义。19，奥地利数学家J.Radon发表了图像投影理论，可是因为当初科学技术受限，所以没能将其实现。到了二十世纪六十年代，因为计算机技术迅猛发展，图像重建技术被不少学者用来发明性地探索研究，在这其间，英国物理学家Cormack提出了一个方案使得X射线投影在医学领域中应用变成可能。1967年，在英国EMI试验中心从事计算机和重建技术研究Hounsfield，她发觉X射线从不一样方向透过物体后，对这些衰减量做测试就能得到物体内部结构，经过不懈研究，最终在1971年，她研制出了世界上第一台临床使用计算机断层扫描装置，即CT机。1972年，这台CT成功为一名妇女诊疗。颅脑CT安装和使用，标志CT时代到来。图1-1和1-2分别表示CT扫描成像设备和临床图像。图1-1 CT扫描成像设备 图l-2 CT临床图像20世纪80年代，能够不间断采集投影数据螺旋式CT诞生和使用，能取得高质量三维图像。这期间，中国分别于1983年和1985年研制出了第一台颅脑扫描装置和第二代CT设备。1989年，中国又成功研制开发出了第一台全身常规CT-。1992年，中国生产出了第一台螺旋扫描设备。伴随人类研究探索，多层螺旋在单层基础上发展起来，它含有覆盖面积更广，扫描速度愈加快，得到更高质量三维图像，辐射低等特点。然而，被业界誉为CT技术一重大突破双能CT于11月诞生了，它能以较低剂量重建出含有很高时间分辨率图像。1.3 研究目标和意义图像重建是利用物体截断面投影来重建它本身图像，它不需要将物体解剖，而正是因为这种优异无损检测技术，所以被广泛地应用于检测和观察中。现实生活中，有些物体在构建其本身图像时不能破坏它物理性，所以图像重建尤其在医学领域中，它作为一个优异检测技术，能更正确地检测人体内部器官。图像重建其实能够看做是一类特殊图像复原技术。现实中，有多个重建算法，不一样重建算法得出不一样质量重建图像。现在，滤波反投影算法在CT断层图像重建中应用最为广泛，因为它含有很高精度，能够快速实现，且它基础算法轻易在软件和硬件上实现。第二章 CT成像原理和图像重建算法2.1 CT成像原理和系统组成 通常来说，CT成像过程大致可归纳为:用仪器扫描需要检测物体,由探测器接收透过物体X射线,经过模数转换后成为数字信号,即原始数据。然后经过射束硬化、解除零点漂移等预处理,方便取得更正确投影数据；再经过图像重建和处理后,可得到断层图像输出显示或存放至设备。简单地说，CT成像系统组成以下：(1)扫描设备，包含滑环和(平板)检测器，X射线管，模数信号转换系统等2；(2)原始数据处理和重建设备，即电子计算机系统；(3)图像存放设备和用来显示设备。 CT成像过程和其系统组成图2-1所表示。2-1 CT系统组成和成像过程2.2 CT成像系统扫描方法发展自1971年9月世界上第一台CT装置诞生以后，CT装置很快推广到其它领域，因为各领域不一样需要，系统扫描方法也发生很大改变。现在为止，通用扫描方法有四种：第一代CT扫描方法最简单，就是平行束扫描。它由单一射线管和在测试区相对应探测器。扫描中，射线源和探测器同时旋转和平移运动时，探测器统计X射线衰减情况，在不一样角度下，会产生不一样投影数据，但该光片不能得出被检测物体衰减分布情况，需要分度旋转和反复平移。图2-2所表示。 2-2 第一代CT系统扫描方法 2-3 第二代CT系统扫描方法第二代和第一代CT扫描方法不一样是平移次数降低了。该系统包含一个产生窄角扇束射线源和小型探测器阵列，因为扇束扇角比较小，所以需要将射线源和探测器旋转前进行一定笔束平移。图2-3所表示。第三代CT系统使用扇束扫描方法，它是使用产生大角度X射线源，且使用探测器数量较多阵列。这么，射线源和探测器组成扇形能够覆盖整个被检测物体，不需平移，只需旋转就能够。图2-4所表示。第四代CT系统一样也是扇形束扫描方法，探测器阵列使用固定环形探测器阵列，图2-5所表示。它仅仅是射线源进行旋转。被检测物体放在环形探测器中心，扇形束扇角大小能够依据检测区域来合适调整，射线源每次进行一定分度旋转，最终取得能够重建被检测物体内部图像投影数据。 2-4 第三代CT系统扫描方法 2-5 第四代CT系统扫描方法2.3 CT断层图像原理依据投影图像重建原理和方法，能够分为不一样类型。我们关键研究透射成像原理，即断层成像技术。断层摄影成像方法通常为发射接收，即用平行X光线从不一样方向对物体进行照射，然后统计每个方向透射场，图2-6所表示。 2-6断层图像获取示意图 2-7图像在角下投影示意图其中，X射线源产生平行X射线对物体照射，设入射光强度为 ，接收器阵列得到透射光度为。依次类推，X源和X射线接收器沿中心转一个角度到，这么就能够一组投影数据为，其中范围是到，每隔一定间隔给改变，这么我们能够得到投影向量。在数学上，图像投影能够描述以下。图2-7所表示，图像函数为，穿过该线一条线称为射线。假如将函数在某条射线上积分值化成一个集合，这个集合所表示含义就是投影值。从原点向射线作一条垂线，此垂线作为新坐标一个轴，并组成一个新坐标系，这么能够得出坐标系仅是坐标系旋转角结果，二者存在下列变换关系3：(2-1)所以射线积分表示为：=(2-2) 断层成像技术就是从不一样射线角度，不一样检测器位置很多投影值重建原始图像过程，反应了处密度。2.4图像重建算法概述图像重建在CT技术中发挥着关键作用。本质上说，它是根据采集后数据，利用电子计算机来求解图像矩阵中像素，然后重新构建图像过程。从CT图像重建角度看,关键分为两大类方法，即解析类方法和迭代类方法。2.4.1解析类方法解析类重建方法是利用解析、变换重建公式来构建重建图像。现在，常见解析类重建方法关键有:(1)滤波反投影算法(FBP)；(2)直接傅立叶变换算法(FBP)；(3)卷积反投影算法( CBP)。解析类算法因为其轻易实现,速度较快,且能重建出高质量图像特点,所以CT系统被较为广泛地应用起来，尤其是在医用CT系统中。然而滤波反投影算法应用最为广泛。不过，其最大不足之处于于对投影数据完备性要求偏高,假如能够在投影数据输入给解析法之前，把不利于投影数据正确性原因给和纠正，这么就能够得到满意重建图像。 2.4.2传统迭代类方法迭代方法于1970年第一次被引入图像重建领域,它是利用数学级数迭代原理来完成图像重建技术。迭代重建算法分别为代数迭代算法和统计迭代算法。代数迭代算法可分为:ART和SIRT型。统计迭代重建算法(SIR)是对投影数据进行正确性分析,经过精细统计估量,逐步提升重建图像质量。迭代图像重建技术最大优势,在于它能够在投影数据信噪比很低情况下，甚至不完全条件下，仍然能够取得较高质量重建图像。然而迭代算法是迫近原始图像，所以在实现时，运行时间相对较长且数据存放量大。第三章 CT图像重建算法实现原理研究3.1图像重建系统中数学概念及变换3.1.1 投影和反投影我们知道，射线穿过物体以后，因为物体吸收或散射作用，致使我们在检测时会发觉射线强度会发生衰减。通常我们用衰减系数表示衰减程度。设一物质是分均匀，一个面上衰减系数为，射线穿过该物质后，入射强度由变为,射线在面内路径以下图3-1。 3-1 射线衰减由Beer定律得出关系式： (3-1)在CT系统中，我们能够把看作是射线在空气中扫描时探测器测得数据，是射线经过物体后衰减后数据，因为它们全部是测量值，能够得： (3-2) 这么我们就把上面积分集合称之为投影数据。将其推广得出，假如射线从不一样方向照射时，它所对应路径上投影数据全部能得到，这么组成一个投影数据集合。图像重建就是利用投影数据集合来计算过程。 反投影定义取决于投影定义。但它不是投影运算逆运算。数学语言来说，反投影算子不是投影算子逆算子。3.1.2 Radon变换及其反变换19，Radon变换提出使CT逆问题得到了处理，它也是CT图像重建理论基础。图3-2所表示。 3-2 Radon变换示意图设直线L方程为： (3-3)其中为直线到源点距离，为轴正方向和直线垂线角度，则和平面上直线L相互对应。记为要重建图像函数。有变换式以下，(3-4) 称该式为Radon变换。其实这相当于一个算子，记为，它将空间中函数和空间中函数联络在一起。因为是沿积分，能够认为空间上一个点对应于空间上一条直线L，用向量记，或 (3-5) 经过变换，上式变为 (3-6) 这么，对应重建过程就是Radon反变换。3.1.3傅里叶变换一元连续函数傅里叶变换式定义为：(3-7) 其中，。若给定为连续函数，则反函数也存在，用傅里叶逆变换得到其原函数，即：(3-8) 上俩式组成傅里叶变换对。上述式子推广到二维中，设二元连续函数为，其傅里叶变换及其反变换定义式下： (3-9) (3-10) 对于傅里叶变换，有一个关键定理，以下： (3-11)以上式子就是我们常见卷积定理。3.1.4中心切片定理 中心切片定理是断层成像理论基础。二维图像中心切片定理指出：二维函数图像在视角为时投影一维傅里叶变换,二维傅里叶变换和探测器平行方向，而且过原点一个切片。是切片和轴所成夹角。原理以下图3-3所表示。3-3 二维中心切片原理图 若探测器绕物体旋转最少180度，物体二维傅里叶变换所对应探测器方向中心片段就能够将整个傅里叶空间进行覆盖4。3.2解析类重建算法解析类算法因其利用变换、重建公式，速度较快，实现轻易，所以被广泛应用。3.2.1直接傅里叶变换算法直接傅里叶变换算法是利用二维傅里叶变换来连接极变量函数和，它是直接利用投影定理。以下图3-4。3-4 投影参数说明图将极坐标形式Radon变换改写成直角坐标系下形式，即：(3-12)其中表示平行束投影。深入转化有：(3-13)使用该方法进行图像重建过程是，先采集投影，再傅里叶变换，将投影放在傅里叶空间上，处理完全部投影后，在进行二维傅里叶逆变换，最终得到最终止果。但该算法通常不用于重建，仅作为理论研究，因为它逆变换要得到星状分布变换插值为均匀网格形式，这是很困难，同时它计算量大，不能立即成像，且重建后图像质量比较差。3.2.2反投影重建算法反投影算法是最基础、最简单算法，它基础思想是断层内该点密度值就是经过该平面上一点射线投影和。我们将“取投影”“反投影重建”“重建后图像”看作一个系统，得出系统原理图以下图3-5所表示。 取投影反投影重建原理重建后图像 3-5 反投影系统原理图设一在坐标原点上点源为断层图像上唯一像点。当系统扫描方法为平移旋转时，即射线先平移，再旋转一定角度，知道累计转角为为止。其中，为原坐标系和旋转坐标系夹角，这么，投影位置可由来确定。以下图3-6所表示。 3-6 平移/旋转扫描方法所用系统为固定坐标，为旋转坐标系，为极坐标设为离散取值，当初，对应投影为：(3-14)若，对应投影为：(3-15)依据反投影公式定义，点图像在坐标系表示为： (3-16)式中，是投影数。上式反应物理意义是：把经过某点全部投影值做平均以后就是该点密度值。假如有限区间将射线扩增至无限条，这么就得到连续投影。这么我们能够得到投影表示式为：(3-17) 式中，积分区间为，因为忽略射线硬化条件下，它和内投影值等效。在输入图像为点源条件下，我们得(3-18)由式看出，反投影重建算法系统扩展函数不是函数，所以系统不完美，图像密度为零点，重建后不一定为零，可能致图像失真5。对于最为常见滤波反投影算法，我将着重在下一章介绍。3.3 迭代类重建算法因为计算机运算能力越来越强，使得迭代算法在应用中也越来越多地得到重视。现实中，迭代法重建图像效果好，空间分辨率高，尤其是当采集数据不完全时，这一点表现更为突出。然而因为它是逐步靠近原始图像，所以它在运算时间上会比较长，一样带来是数据存放量大。迭代法不是找到一个正确解析式，这是和解析法最大不一样，通常来说，迭代算法步骤是：先给断层图像赋一个初始估量值，依据此值算出理论投影值，将理论投影值和实际相比较，根据一定标准对原始图像进行修正以后和理论值比较，在修正，如此循环，直抵达成满意效果。其实概括地讲，就是假设，比较，修正。现在，迭代图像重建算法有两类，即代数迭代重建算法和统计迭代重建算法。代数迭代重建算法是以代数方程理论为基础，关键有通常ART算法和同时代数重建算法。而统计迭代重建算法是基于多种统计准则，关键有最小均方误差、最大似然估量等重建算法。3.3.1 代数迭代重建算法(1) ART算法ART算法有时也称为Kaczmarz算法，它关键思绪是让目前全部估算图像在每一次更新中满足一个方程，在迭代修正过程中，每次只考虑一个投影单元投影值。原理以下图3-7所表示。比较并计算修正量理论投影值实际投影值断层图像估量值迭代循环环环环修改计算3-7 迭代算法计算过程示意图最常见ART算法是基于交替投影法进行迭代修正，它图像更新式为：(3-19)为松弛参数。 (2)同时代数重建算法因为ART算法对图像值进行修正时只依靠一条投影带上数据，所以大家又提出了同时代数重建算法（SART算法），它是在校正像素单元图像值之前，计算出像素单元上全部投影估量值和实际值差异，并求出来，再利用平均值对图像进行修正。SART算法迭代公式以下：(3-20)这么，经过各条投影带上平均值，能够减小误差，避免对重建结果带来过大影响，同时它又抑制图像重建过程中噪声。3.3.2 影响代数迭代重建算法原因ART重建算法之所以不能广泛应用，是因为它是一个反复迭代和修正过程，计算量大。经过长久探索和研究，得到了影响ART算法很多原因。以下：(1)基函数选择；(2)松弛参数选择；(3)迭代次数最优设计；(4)数据访问方法。基函数选择直接影响重建算法计算量。假如基函数选择过于复杂，重建图像愈加迫近真实，不过计算量太庞大，假如选择很简单，即使计算量小，但重建图像质量不高。 ART重建算法就是解线性方程并伴随松弛参数迭代过程，这么选择合理松弛参数会很大程度地影响运算速度。现现在，松弛参数选择基础标准是。只有在这个区间迭代重建算法才能根据标准并确保它收敛性6。即使ART迭代重建是不停重建过程，不过它重建质量不和迭代次数成正比，而是在达成某个迭代次数后，质量就开始下降。所以选择最优迭代次数是必需，不仅节省时间又有高质量重建图像。下面我们用一个实例来说明这种情况。我们选择一个圆形工件，该圆形工件内部含有碳、气泡、铅等杂质，工件部分杂质参数7以下表3.1所表示 。 名称半径(cm)圆心 坐标(x,y)吸收系数(1/cm) 铁 5.0(0.0, 0.0) 0.435 碳 2.0 (0.0, 2.5) 0.115 空气 0.5 (0.0, -1.0) 0.000 铅 1.0 (0.0, -3.0) 0.800表3.1 工件杂质参数表依据参数，我们到模型二维灰度分布图及y轴上一维分布图以下图3.8所表示。3-8 模型二维灰度分布图及y轴上一维分布图选择松弛因子为0.1,抽样间距为0.1cm，重建像素为00重建图像，得到二维灰度分布和y轴上一维分布图以下图3-9至3-13所表示。 3-8 迭代次数为1次 3-9 迭代次数为3次 3-10 迭代次数为5次 3-11 迭代次数为10次 3-12 迭代次数为15次 经过上述图片，我们能够看出第1到第3次迭代图像质量有显著改善，第5到第10次迭代图像质量缓慢变好，从第10次到第15次迭代图像质量显著下降。所以，并不是一味增加迭代次数就能够改善重建图像质量。3.3.3 ART重建算法和SARTART算法每次迭代时只有一条投影值，假如在这条射线在投影时引入了噪声，这么对重建图像也会带来误差。而SART重建算法每个像素校正值是全部射线误差累计和，这么它能有效地抑制测量数据中噪声。SART算法迭代速度比ART算法快很多，大约差一个数量级。ART在选择松弛因子方面范围较大，在(0,2)之间，而SART算法在(0,0.001)之间，选择性较窄。尽管SART算法抗噪性很好，不过因为在选择松弛因子方面比较小，一样使得重建图像很模糊，以下图3-13和3-14所表示，在高斯随机噪声为情况下，迭代次数为5次条件下，ART和SART算法重建图像。 3-13 松弛因子为0.1迭代次数为5次ART重建图像 3-14 松弛因子为0.0001迭代次数为5次SIRT重建图像从上图看出，即使SART算法重建图像比较光滑，不过图像比较模糊。3.3.4 统计迭代重建算法(1)OS-EM算法在OS-EM（分成有序子集来求期望值极大值）算法中，数据被分成不一样子集，根据给定次序走访不一样子集，每访问一个子集图，像就更新一次8。子集分割有很大自由度，能够依据需要进行调整，无须根据投影角度来划分。通常来说，若使用N个子集，收敛速度大约提升N倍。不过依据大家经验，通常让子集分割达成收敛速度提升10倍左右，在这么条件下噪声破坏不显著。第四章 滤波反投影重建算法滤波反投影算法（FBP）是CT图像重建中一个经典算法，因为它计算效率高，需求资源少，所以被广泛地应用在各个领域上，尤其是医学领域。反投影重建算法是直接对投影进行重建并得出图像，这种方法重建得出图像质量不高，轻易失真。和反投影重建算法不一样是，滤波反投影算法是先对投影数据进行滤波，再对数据进行反投影重建，这么得出图像愈加清楚正确。依据成像系统采集数据方法来分，又可分为平行束滤波反投影重建算法和扇形束滤波反投影算法9。FBP重建算法有两种计算方法，一个和中心切片定理有亲密关系，叫做卷积反投影重建算法。另一个是Radon反变换，我们常见第一个，下面关键对第一个做具体介绍。4.1平行束滤波反投影重建算法4.1.1卷积反投影重建算法卷积反投影算法是以中心切片定理为基础产生。由中心切片定理知，重建图像二维傅里叶变换可由在不一样视角下投影，FBP重建算法坐标示意图以下图4-1所表示。 4-1 FBP算法坐标系需要重建图像为：(4-1)图所表示，能够得到(4-2)经过上式变换可得到， (4-3)式中，,。实际上，图像重建过程能够看成是由一系列坐标变换得到。由上列推倒知，FBP算法是在一定视角下投影，然后进行滤波投影，再做反投影，把这些反投影值累加就能够得到重建图像。4.1.2滤波函数选择滤波函数选择在FBP算法中饰演一个关键角色。理想滤波函数能够使重建图像愈加正确清楚。上面式子中滤波函数是理想化，不是平方可积，所以滤波函数无法实现。合理地选择滤波函数是必需，常见关键有R-L和S-L两种滤波函数。(1) R-L滤波函数系统函数表示为：(4-4)其中，代表采样间隔，为最高不失真频率。系统冲激函数表为 (4-5)我们在对图像滤波时，常常见离散化函数，这么将带入上述式子，这么离散化冲激函数表示为：(4-6)函数连续空域特征以下图4-2所表示。 4-2 冲激函数空域特征经过上式，我们能够看到它形式简单，实用性强，用它来重建图像轮廓上清楚。不过也有缺点，有吉布斯效应，表现为显著振荡响应。另外，重建图像轻易受到噪声影响。(2) S-L滤波函数 此函数缓解了R-L滤波函数不足，选择了不一样窗函数,所对应滤波函数也不相同。该滤波函数所对应系统函数为：(4-7)这里和含义和R-L滤波器中一样。它冲激响应函数为：(4-8)同上述R-L滤波函数一样，可得到冲激函数离散化形式为： (4-9) 函数空域特征以下图4-3所表示。 4-3 函数空域特征利用S-L滤波函数来重建图像优点是，振荡响应小，而且在投影数据有噪声条件下，它重建质量也较R-L好，不过在低频段上， R-L滤波函数重建质量相对较高10。4.2 扇形束滤波反投影算法因为扇形束CT系统探测器阵列方法有圆弧形和直线型，这么扇形射线就分为等角型和等间距型。对应重建算法就有等夹角型和等间距型扇形束滤波反投影算法。以下图所表示4-4和4-5所表示。 4-4 等夹角型FBP算法 4-5 等间距型FBP算法下面将对两种方法分别讨论。4.2.1等夹角扇形束滤波反投影算法等夹角扇形束参数关系图以下图4-6所表示。 4-6 等夹角扇形束参数关系图 其中，表示为扇形区域内部物体，为射线源，弧线为探测器所在位置， 为射线源到中心距离，为中心射线，扇形位置由和夹角决定，任一条射线由决定，因为坐标系固定，所以射线位置就取决于。设投影函数为，经过投影函数重建图像。扇形束FBP重建算法可由平行束FBP重建算法推导出来。首先，将公式变换得到：(4-10)其中，,为物体断层内任一点极坐标。经过上式能够看出，扇形束FBP重建算法是对平行束FBP重建算法加权和修正。4.2.2等间距扇形滤波反投影算法 等间距扇形束参数关系图图4-7所表示。 4-7 等间距扇形束参数关系图一样，是扇形区域内部物体，线段为探测器所在位置，为任意射线，为射线源和中心距离，因为坐标系固定，这么由确定。一样是虚拟探测器。设投影函数为，现利用关系求重建图像。相同夹角扇束FBP重建表示式推导过程一样，因为平行束数据和扇形束数据不一样，只需将部分变量修改，经过变换，最终得到等间距扇束FBP重建算法表示式为：(4-11)其中，是等效投影，为断层内任一点极坐标。4.3滤波反投影重建算法软件实现这里，我们选择MATLAB和Visual C+相结合方法对图像进行重建。我们知道，Visual C+软件更重视类创建，而且经过在每个类中编写对应类程序能愈加深入地了解图像重建过程，然而对于MATLAB软件来说，因为它本身含有对应函数，所以利用它能简练地分析参数对重建图像影响。首先我们选择经典shepp-logan头部模型来研究，该模型是由11个不一样密度椭圆叠加而成，这种模型被用来进行图像仿真和评定算法性能。在Visual C+软件中，依据面向对象思想，在photostar平台中创建CCTEmulate类来实现仿真。试验中，读入图像为灰度图像即可，在CCTEmulate类中设置模型函数菜单消息，要确定像素在哪个椭圆中。Shepp-logan函数思绪是：检测图像每个像素是否依次在某一个椭圆中，若在椭圆旋转角度外，置为背景色，若在某个椭圆内，置为其灰度值。这些操作全部在归一化坐标系中完成。在对应类中，编写程序以下。BOOL CCTEmulate:SheepLogan()ASSERT(m_pimageproject != NULL); int nWidth = pImageObject-GetWidth(); int nHeight = pImageObject-GetHeight();int nNumBits = pImageObject-GetNumBits();int nWidthBytes; char *pBuffer = (char *) pImageObject-GetDIBPointer( &nWidthBytes );if( pBuffer = NULL ) return(FALSE);BITMAPFILEHEADER *pBFH; BITMAPINFOHEADER *pBIH; RGBQUAD *pRGBPalette; unsigned char *pBits; int nNumColors = pImageObject-GetNumColors();pBFH = (BITMAPFILEHEADER *) pBuffer;pBIH = (BITMAPINFOHEADER *) &pBuffersizeof(BITMAPFILEHEADER); pRGBPalette = (RGBQUAD *) &pBuffersizeof(BITMAPFILEHEADER)+sizeof(BITMAPINFOHEADER);pBits = (unsigned char *) &pBuffersizeof(B