一道解析几何模拟题的命制过程与反思.pdf

46中学数学研究2024 年第 3 期(下半月刊)一道解析几何模拟题的命制过程与反思*广州市第四中学(510170)刘运科摘要文章呈现了利用 GeoGebra 命制一道解析几何模拟题的过程,包括:来源、改编、加工、研讨、研制答案等,最后进行了试题评析与命题反思.关键词 解析几何;模拟题;试题命制;GeoGebra1 问题的来源在“2023 年广东省普通高中课程教学改革学科组长示范培训”活动的一次讲座上,华东师大鲍建生教授提到一个“骑自行车趣题”:一辆自行车的前、后轮在一个椭圆上,当自行车沿椭圆骑行一周时,前后轮与地面接触点的连线(假设长度为 a)所扫过的面积是多少?鲍建生教授对此问题的分析在此不表,笔者关注的是如何将此问题改编成高考模拟题.2 利用 GeoGebra 改编这个问题的数学情境,是椭圆的定长的动弦扫过的面积.利用 GeoGebra 作图,可以发现:当弦长较小时,动弦扫过的图形看上去像是一个椭圆环(下左图);当弦长较大时,动弦扫过的图形比较怪异(下右图).如果直接考查动弦扫过的面积,显然要求过高;可以降低要求,只考查动弦上的一个点(如,中点)的轨迹.由此,得到一个新的数学问题:求椭圆的定长动弦的中点的轨迹.3 加工笔者先研究了一般情况,求得椭圆x2a2+y2b2=1 的长度为 m 的动弦的中点的轨迹方程是:4(a4y2+b4x2)(a2y2+b2x2a2b2)+a2b2m2(a2y2+b2x2)=0.为了使得轨迹方程尽量简单,避免运算太过繁琐,笔者将a,b,m 设计为 a=2,b=1,m=2,这样,得到的是轨迹方程是 x4+6x2y2+8y4 4y2=0,曲线是一个漂亮的“8”字,题目初具雏形:求椭圆 E:x22+y2=1 的长度为 2 的动弦的中点的轨迹方程.干知识为支柱的知识网络,同时也要敢于打破不同知识领域知识的壁垒,敢于创新,互相融合.如在代数的复习中要融入图形与几何问题;在图形与几何的复习中加入函数、方程与不等式等代数推理方法,扩大知识与方法的联系点.中考备考时必须多角度、多方向地研究分析,而不是让学生去做大量模仿式、死记硬背的习题.3.3 备考培优指向素养,在精在变,在归纳在反思中考具备立德树人、服务选才、导向教学的功能,2023 年广东卷的命题充分显示了义务教育课程的教育目标,体现先进的教育理念与国家意志,培养社会主义建设者和接班人.因此今后中考培优备考在精在变,课堂以典型问题为载体,设置培优微专题引导学生进行回顾与反思,充分发挥问题的价值.从多角度启发学生进行解题联想,要重视一题多解,更要重视一题多问、一题多变;设置开放性问题、条件或结论探索问题,激发学生学习数学的兴趣.另外解题后要及时复盘,通过错题本收集错因与改正笔记,有针对性进行总结归纳,进行个性化的解题技巧、方法、模型的总结.教师更要培养学生阅读理解、获取信息、数学抽象、数学表达与推理等方面的能力,培养学生会用数学眼光观察现实世界,会用数学的思想思考现实世界,会用数学的语言表达现实世界.参考文献1 义务教育数学课程标准(2022 年版)M.北京:北京师范大学出版社,2022.2 史宁中,曹一鸣.义务教育数学课程标准(2022 年版)的解读 M.北京:北京师范大学出版社,2022.3 鄢坚,林经武,李霞.根植于基础,立足于能力,着眼于素养2022年福建省中考数学试卷评析与思考 J.数学之友,2022,36(12):88-90+93.4 普通高中数学课程标准(2017 年版)M.北京:人民教育出版社,2018.5 朱威.立足教材 关注积累 强化应用 提升素养2020 年浙江省湖州市数学中考试卷评析和教学启示 J.初中数学教与学,2021,No.455(11):1-4.*本文是广州市教育科学规划 2022 年度课题 信息技术赋能下的高中学科深度教学策略研究(202214289)阶段性研究成果.2024 年第 3 期(下半月刊)中学数学研究474 再加工如果仅仅求轨迹,考查的内容太少,对于能力弱的考生,又太难,对于能力强的考生,作为压轴题难度又不够,有必要前后各设计一个问题.为此,增加第一问:已知椭圆的离心率为22,短轴长为 2,求椭圆的方程.最后一问考查什么好呢?笔者陷入了沉思.长度已经考查了,可以考虑考查面积;但是,求得的曲线不是常见的曲线,高中生无法求出曲线围成的面积.利用 GeoGebra 作图,观察发现曲线恰在两个圆的外部,就计出了第三问:证明曲线围成的面积大于4(两圆的面积之和恰为4).完整试题如下:例 1 已知椭圆 E 的焦点在 x 轴上,离心率为22,短轴长为 2.()求椭圆 E 的方程;()设 AB 是椭圆 E 的弦,且|AB|=2,当 AB 在椭圆E 上运动时,(i)求 AB 的中点 M 的轨迹方程;(ii)设点 M 的轨迹所围成的封闭图形的面积为 S,证明:S 4.5 制定前两问答案第()问答案为x22+y2=1,较简单,略.第()问的第(i)小问,消参有一定难度,参考答案如下:(i)设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0).1当直线 AB 的斜率不存在时,注意到弦长恰等于短轴长,显然点 M 的坐标为 M(0,0).2当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 方程:y=kx+m,由y=kx+mx22+y2=1得(2k2+1)x2+4kmx+2(m21)=0,点 M 是 AB 的中点,故 x0=x1+x22=2km2k2+1,y0=kx0+m=m2k2+1,两式相除,整理得 k=x02y0,k2=x204y20(y0=0).弦 AB 的长度为 2,即2=1+k2|x1 x2|=1+k28(2k2+1 m2)2k2+1.平方,整理得 1=2(1+k2)12k2+1(m2k2+1)2,将 k2=x204y20、m2k2+1=y0代入上式,得1=2(1+x204y20)(2y20 x20+2y20y20),整理得 x40+6x20y20+8y40 4y20=0(y0=0).由1,M(0,0)也符合上式.综上,点 M 的轨迹方程为 x4+6x2y2+8y4 4y2=0.6 研讨曲线的特征笔者把题目也同时发给了科组几位青年教师,请大家做一做此题,再进行交流,经过各自独立研究 30 分钟后,大家纷纷发表看法.老师 A:如果不借助电脑软件,基本上不可能作出方程 x4+6x2y2+8y44y2=0 所表示的曲线,更不可能求出其围成的封闭图形的面积.我一开始猜想图形可能是椭圆,用 GeoGebra 作图后,发现图形好像是两个椭圆.学生想不出图形,也不会椭圆的面积公式,这一问超出了高中的知识范围.老师 B:我们遇到一个陌生的曲线方程,有一些研究的基本策略.例如,能否考虑对称性?能否描几个特殊的点?能否求出横、纵坐标的取值范围?根据这三个策略,我们应该可以得到一些启示.对于方程 x4+6x2y2+8y4 4y2=0,发现用 x,y 替换 x,y,方程不变,故 M 的轨迹曲线既关于坐标轴对称,又关于原点对称,从而只需研究第一象限内的图形;容易描出三个特殊点:(0,0),(0,22),(0,22).将方程化为 x2(x2+6y2)=4y2(1 2y2),则 4y2(1 2y2)=x2(x2+6y2)0,得 y2612,故纵坐标取值范围是226 y 622.老师 A:GeoGebra 作图看上去像两个椭圆,一个椭圆的纵坐标满足 0 6 y 622,因此猜想 y=24时,x 取最值.老师 C:不对!图形并非是两个椭圆!令 F(x,y)=x4+6x2y2+8y44y2=0,若图形是椭圆,则:当 y 0 时,F(x,22 y)=F(x,y);但 F(x,22 y)=F(x,y)!所以,图形不是两个椭圆,并非 y=24时,x 取最值.老师 C:我们换个角度考虑问题.方程化为 8y4+(6x24)y2+x4=0,看成是关于 y2的一元二次方程,则判别式=4(x4 12x2+4)0,得 0 6 x26 6 42(另一种情况 x2 42+6,与曲线在已知椭圆内 x26 2 矛盾,舍去),故2 2 6 x 6 2 2.老师 B:受到上述方法的启发,有另一种方法.将方程x4+6x2y2+8y4 4y2=0 视为关于 x2的一元二次方程,化为(x2+3y2)2=y4+4y2,则 x2=y4+4y2 3y2(另一种情况舍去).再换元,令 t=y2,对于函数 x2=f(t)=t2+4t3t(0 6 t 612),用导数方法求得:当 t=3222时,x2有最大值 6 42,故2 2 6 x 6 2 2.至此,我们探究得到了曲线的一些性质.对称性:曲线既关于坐标轴对称,又关于原点对称;与坐标轴有 3 个交点:(0,0),(0,22),(0,22);取值范围:226 y 622,48中学数学研究2024 年第 3 期(下半月刊)2 2 6 x 6 2 2;形状:四个象限都有图形,看上去像由两个椭圆组成的“8”字.7 研制第三问答案再分析目标.联想圆的面积:以(0,0),(0,22)为直径的圆面积为8,两圆面积为4,第三问实际上是要证明曲线在两个圆的外部.根据对称性,只需证明当 y 0 时,轨迹曲线在圆 x2+(y 24)2=(24)2外(除点(0,0),(0,22)外),即证:当 y 0 时,x2+(y 24)2(24)2,即证:当 y 0 时,x2+y222y.第三问答案如下.(ii)对于方程 x4+6x2y2+8y4 4y2=0,首先,显然M 的轨迹曲线既关于坐标轴对称,又关于原点对称.其次,易知点(0,0),(0,22),(0,22)均在轨迹曲线上.然后,可以证明 y2612:方程化为 x2(x2+6y2)=4y2(1 2y2),故4y2(1 2y2)=x2(x2+6y2)0,得 y2612.根据上述三步,结合目标,考虑证明:当 y 0 时,轨迹曲线在圆 x2+(y 24)2=(24)2外(除点(0,0),(0,22)外).即证:当 y 0 时,x2+(y 24)2(24)2,即证:当y 0 时,x2+y222y.下面用反证法来证明.如果当 y 0 时,x2+y222y,则(x2+2y2)(x2+4y2)(22y+y2)(22y+3y2)=(3y2+22y+12)y2.由于 0 6 y 622,故 3y2+22y+12632+2+12=4,(x2+2y2)(x2+4y2)(3y2+22y+12)y2 0 时,轨迹曲线在圆 x2+(y 24)2=(24)2外(除点(0,0),(0,22)外),而圆 x2+(y 24)2=(24)2的面积为8,结合对称性知,点 M 的轨迹所围成的封闭图形的面积 S 2 8=4.8.试题评析与反思根据课程标准的试题评价框架与水平划分1,本题的试题评析表如下:问题情境考查目标知识技能数学思想核心素养()求椭圆的方程;离心率、短轴长、椭圆的方程-数学运算()(i)求定长动弦中点轨迹方程;中点、弦长;联立韦达定理、参数法求轨迹方程;设参消参、代数运算特殊化思想、分类讨论思想、数形结合思想、方程思想直观想象、数学运算、逻辑推理(ii)证明曲线围成的面积大于4圆的方程、不等式;分析法、反证法;分析方程特征,猜想轨迹图形;联想圆的方程,合理转化化归特殊化思想、数形结合思想、转化与化归思想直观想象、数学运算、逻辑推理从问题情境来看,本题以“数学情境”为命题载体,有“源于现实,暗合课本”的特点.问题源于“现实情境”骑自行车问题,改编后与教材遥相呼应:求动点的轨迹方程是教材中很典型的问题;探究不熟悉的曲线的性质,教材也给出了一般研究策略.在人教 A 版选择性必修第一册的“3.1.2 椭圆的简单几何性质”2这一节中,教材指出,“通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论,可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置”.第三问的参考答案,正是按教材给出的研究策略得出的.从考查目标来看,本题前两问主要考查了从代数角度研究几何问题的基本方法“坐标法”,这也是解析几何的基本方法.本题第三问,命题视角聚焦在方程、曲线、不等式等知识的交汇点上,需要通过“分析猜想联想转化反证”的策略来求解.本题考查了数形结合、特殊化、分类讨论、方程、转化与化归等数学思想;考查了直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养.反思:(1)素养导向,技术助力,颇具新意.本题形式常规而内涵丰富,探究味道浓厚,体现了素养导向.本题文字平实,易于理解,前半部分考查了解析几何的基本方法和思想,后半部分要经历层层递进的探究,解法看似在意料之外,实则在情理之中,体现了素养导向的试题特点.另外,利用 GeoGebra 动态演示问题,获得猜想,从而命制出本题,GeoGebra 是一个重要的数学探究工具3.这样的角存在吗?北京中学(100018)谭明潇摘要高中三角函数学习中,利用两角和与差的三角函数公式,有一道“流行的”“经典”错题,频繁出现在教辅书及互联网上.实际上:这样的角不存在.本文期望能“正本清源”,以正视听.抛砖引玉,期待更多的研究命题中的存在性问题.关键词 三角函数;角;存在性1 问题呈现某出版物1上有一习题:例 1 已知 cos(4)=45,(2,),求 cos.解法 1 由已知可得 cos(4)=45,又2 ,故4 434,所以 sin(4)=35(35舍),故cos=cos(4)+4=22cos(4)sin(4)=22(4535)=7210.解法 2由已知可得12(cos+sin)=45,所以 sin+cos=452,故 sin=452 cos,又sin2+cos2=1,即 50cos2+402cos+7=0,所以cos=7210或 210.解法 3由已知可得12(cos+sin)=45,所以 cos+sin=452,故 cos=452 sin,又sin2+cos2=1,即 50sin2+402sin+7=0,所以sin=7210或 210.又2 0,故无解.同一个题目,为何会因解法的不同,而出现无解、一解、两解的情况呢?三种解法看似均无“破绽”,均无“疏漏之处”,均符合题意.实际上,符合已知条件的角并不存在!这是一道错题!2 错误原因因为2 ,所以4 434,所以22 cos(4)22,而 45/(22,22),所以符合已知条件的角不存在.命制此类题目时,不能仅考虑勾股数及 所在的范围,还要考虑 与已知特殊角(如:6,4,3等)运算后,带来三角函数取值范围的变化.命制此类题目时,务必考虑存在性问题.比如:由于当 (2,)时,cos(4)的已知值务必在(22,22)内.例 2 已知 cos(4)=513,(2,),求 cos.就是一道正确的题目,用上述 3 种方法均可得答案为 17226.3 相关链接若将例 1 中的条件“(2,)”削弱为“R”,就成为下面:例 3已知 cos(4)=45,求 cos.则也是一道正确的题目,且有两解.简解 由已知可得 cos(4)=45,sin(4)=35,cos=cos(4)+4=22cos(4)sin(4)=22(4535),(2)难度偏大,未经检验,有待打磨.虽然本题是压轴题,但难度偏大.主要是两个方面较难:一是求轨迹方程的代数运算较为复杂,消参的难度较大;其次是第三问的思维过于跳跃、发散,证明方法单一,如果改为证明曲线的纵、横坐标的取值范围,则可以使得考查目标更为聚焦,方法也会更加多样.另外,本题暂未在考试中使用,没有通过实践的检验,本题尚需进一步打磨完善.参考文献1 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(2017 年版 2020年修订)M.北京:人民教育出版社,2020.2 人民教育出版社课程教材研究所,中学数学课程教材研究开发中心.普通高中教科书数学选择性必修第一册 M.北京:人民教育出版社,2020.3 刘运科.利用 GeoGebra 培养高中学生数学核心素养的探索 J.中学数学研究(华南师范大学版),2022(05):27-30.