数学奥林匹克问题 (2).pdf

612023年第6 期数学奥林匹克问题本期问题高8 17求最小的实数几，使得对任意正整数n及任意非负实数x,x，均有Z(m-a.)ax,11其中对1n，m,和a;分别表示x,x2，x,的中位数和算术平均数，高8 18 已知二维欧氏平面R中有n个红点和n个蓝点（nEZ.).试证明这些点中产生的所有线段中，两端点同色的线段长度的代数和不大于两端点异色的线段长度的代数和.高8 19如图1,设0 0 与0 0,交于点P、Q,P O,O,的外接圆与OO,的第二个交点为A、与OO,的第二个交点为B.延长PQ,与交于点M，Q 在PAB的内部，点E在上，且满足PQ=QE，联结ME，交AB于点L.求证：ZQLA=ZMLA.E0AMB图1高8 2 0 已知1a，是等差数列，a,0,公差d0,且满足：(1)对任意的ijEZ,存在kEZ,使得a,=a;(2)对任意的kEZ,存在ijEZ,使得a,a;=ak.求证：对任意的nEZ+，a,与an+互素.上期问题解答高8 0 9设ABC的三边分别为、b、c，半周长为s.求证：11s-aA1-sin2其中，表示轮换对称和。证明由三角形中熟知的恒等式A(s-b)(s-c)sin2bc知式的左边1a2sin2A一a2bca2(s-b)(s-c)s-aZbc(s-a)2a(s-b)(s-c).在不等式中作代换：(s-a,s-b,s-c)(x,y,z),即得不等式等价于在x、y、z 为正实数下，有Z(x+y(x+2)2yz(y+2)Z+3xyzz(y+2).这是著名的三元Schur不等式，显然成立.故式左边不等式成立.元2 024sin2.024元中等数学62又易知Asin2sin AaB-Csin B+sin Cb+cCos2Aa则sin2b+c于是，欲证式右边不等式，即证a1S一aa一6+c6+ca2(s-a)Sa2a一一s-aSS一aZ(s-a)Z9.Ss一a此不等式可由柯西不等式证明。故式右边成立.（宿晓阳四川省成都市晨曦数学工作室,6 10 0 3 1)高8 10记S=1,2,2024.对于任意2024个和为1的一组非负实数，2，2 0 2 4（这组数用r表示），定义1元f(r)=maxe1012SkEA求f(r)的最小值.解下面证明最小值是对于一组非负实数，2024,定义元F(A)=012KEA一方面，对于任意一组非负实数T，T2，2 0 2 4,证明必存在集合A,满足1F(A)元2.024sin2024记A,=t,t+1,t+10111是以t开头的连续的10 12 个自然数（模2 0 2 4 意义下），这样的集合一共有2 0 2 4 个。t+1011k元1011k元则F(A)=012012eek+tk=tk=0这2 0 2 4 个集合的和是20242.0241011k元ZF(A)=1012+tet=1t=1k=020241011k元1012t=1k=01011k元2.0241.011k元1012Tk+t1012eek=0K=01元sin2024由平均值原理，知存在一个1F(A,)元2024sin2.024另一方面，给出构造：对于=1T2024证明此时2.0241maxiF(A)/=元2024sin2024因为S=1,2,2024的子集是有限个，所以必然存在最大值，不妨设集合A使得元1F(A)最大，记此时a=1012e2024KA首先证明对任意的t，在t,t+1012中.元有且仅有一个元素在A中.则e1012与1(+1012)元e1012中必有一个和的夹角的范围在(0,90，不妨设为t.这样，+1于是，kt且 pqkt,此时pq(p、q 均为奇数，考虑到t为奇数，不妨设t(2）若t1，由t不是素数知t为合数，又矛盾.f(2)=1,于是(2)f(1)=1,不符合题设条件，由题设可知f(1)=0,则1)若t=1且t不是素数.f(t)=2,假设存在正奇数t使得f(t试证明t必为素数，最大整数）.若正奇数t使得f(t+l)1:2+1（n E N+，L x l表示不超过实数x的kn高8 12N满足f(n)：若函数f:N311800)（徐节槟浙江省诸暨市海亮高级中学KAMVALKLM故ZNOP：又N是OL的中点，从而，OP/RL.由蝴蝶定理知N是PR的中点由WNLNP知N是EF的中点于点R.EF交KL设NP所在直线与OW交于E、F 两点，由引理知N是OL的中点，从而，O是AKM的垂心632023年第6 期1t元1a+e1012lal.2.024而两个都在A中和两个都不在A中是一样的，从而，1t,t+1012中有且仅有一个元素在A中.这说明1AI=1012.k元同时，对任意的kEA，必有10 12 和a夹角不是钝角，这意味着A必为连续的10 12个整数.这样就证明了1max/F(A)=元2 024sin2.024（朱世衡成都外国语学校，6 117 3 1)高8 11如图2，设锐角ABC的外接圆OO，过点A作OO的切线交直线BC于点D，BC的中点为M.取一点K，使得四边形ADMK为平行四边形.延长MO交AK于点N.设AKM的外心为W，过点N作WN的垂线交AM于点P.证明：ZNOP=ZNAP.ELR-KAWPBFMTCD图2证明引理（垂心的性质）如图3,H为A BC的垂心，延长AH交BC于点D,AH交ABC的外接圆于点E，则HD=DE.证明由ZBHD=ZACB=ZBED,ZBDE=ZBDH=90,BD=BDBH D BE D HD=DE.A0.HBCDE图3引理得证.如图2，延长MO，与W交于点L，联结KL.由OAIAD,AD/KM=OAIKM.由OMIBC,BC/AKOMIAK.证明反证法.1xt2xt(t-1)F(t)=P+122+1(t-1)+1类似地，中等数学641t+12(t+1)f(t+1)=7P+1+22+1+(-1)(+1)+?(t-1)2+17+1注意到t为奇数，故1(t+1)1xt+1.12+1P+1而由t2+1t(t+1)2(t+1)知(+1)=1.7+1对于f(t)与f(t+1)的表达式中的其他项，i+1it显然对2 t-1,有i2+1.22+12因此结合题设条件中的f(t+1)-f(t)=2可知对于2 t-1,必有it+17+17+1.2恒成立.事实上,(i)若p=q,由于1 p=qt=p,则(p-1)(p+1)pt=pp(p+1).从而，pt=p-1.2LP+1p(t+1)Pp+1)而此时=p，故2+12PP+1ptp(t+1)2+12Pp+1与式矛盾.(ii)若pq,由于 pgt,则(p-1)(g+1)qt=pgp(q+1).从而，qt=p-1.29+1又因为p(q+1)g(t+1)=g(pg+1)(p+1)(q+1),故qt=P，qtg(t+1)，也与式229+19q+1压综合(1)(2),可知假设不成立，故“若正奇数t使得f(t+1)-f(t)=2,则t必为素数 得证.（李明天津英才教育，3 0 0 0 4 0）稿约本刊是以报道中学数学课外活动和数学竞赛为中心内容的专业刊物。欢迎作者为数学活动课程讲座、命题与解题、数学拔尖创新人才培养、数学教学成果分享、高效率数学教学设计、赛题另解、学生习作、问题赏析、初等数学研究、课外训练、数学奥林匹克问题等栏目撰稿。来稿请注意：1.内容新颖，形式活泼，提倡短小精悍，讲清一、两个问题即可，不要“大而全”。稿件一般不超过3 0 0 0 字，长文不超过5 0 0 0 字。2.讲座稿应附有相应的练习题（5 7 个），并随练习题给出提示。3.文中例题最好选用近几年国内外的竞赛试题，并标出竞赛全称、届次和时间4.文章类稿件需提供2 0 0 字左右中文摘要、英文题目、3 5 个关键词、基金项目名称及第一作者简介5.凡为本刊课外训练和数学奥林匹克问题栏目提供的稿件，请注意：试题内容范围以中国数学会普及工作委员会制定的数学竞赛大纲为准；题目要有新意（不能用成题），并注明是自编或改编，改编题需注明原题出处。6.稿件排版格式规范，插图力求准确并随文绘出，外文字母的正斜体、大小写、上下角标清楚，准确无误。7.参考文献请用顺序编码制，在正文引用处注明。8.本刊已加人多个数据库并在网上发行，如作者不同意所著文章被数据库收录，请在来稿时声明。来稿三个月未收到录用通知可自行处理，恕不退稿。为联系方便，请注明联系电话、邮箱。收稿邮箱：