人教版八年级上册数学第15章《分式》小结与复习.doc

知识梳理
1．形如(A、B是 ，且B中含有 ，B≠0)的式子，叫做分式．
2．分式有、无意义的条件：当分母 时，分式有意义；当分母 时，分式无意义．
3．分式值为零的条件：当分式的分子 ，分母 时，分式的值为零．
4．分式的基本性质是：分式的分子与分母都 （或 ）同一个 的整式，分式的值 ．
5．分式的乘除法：分式乘分式，用分子的积作为积的 ，分母的积作为积的 ；分式除以分式，把除式的分子、分母 后，与被除式 ．
6．分式的乘方：分式乘方，把分子、分母 ．
7．同分母分式的加减法法则：同分母的分式相加减，分母 ，把分子 ；异分母分式的加减法法则：异分母的分式相加减，先 ，变为同分母的分式，然后再 ．
8．分母中含有 的方程叫做分式方程．
9．解分式方程的步骤：
（1）分式方程两边都乘以各分式的最简公分母，约去分母，转化为 方程；
（2）解这个 方程；
（3）检验，把 方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值 ，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，它是原方程的增根，应当舍去．
10．我们规定：任何不等于零的数的零次幂都等于 ，即= （a≠0）．
11．一般地，当n是正整数时，= （a≠0）．即任何不等于零的数的（n是正整数）次幂，等于这个数的n次幂的 ．
12．一般地，绝对值小于1的数可以表示成的形式，其中，即a是整数位数只有 位的数；n是一个 整数．

考点呈现
考点1 分式值为0的条件
例1 （2013年温州）若分式的值为0，则x的值是（ ）
A．x=3 B．x=0 C．x=－3 D．x=－4
解析：因为分式的值为0，所以x－3=0，x+4≠0，所以x=3．故选A．
点评：分式的值为0的条件是分子为0，分母不为0，这两个条件缺一不可.
考点2 分式的基本性质
例2 （2013年淄博）下列运算中错误的是（ ）
A.=1 B.=-1 C. D.
解析：=1，A选项正确；=-1，B选项正确；，C选项正确；，D选项错误.故选D.
点评：解“判断下列运算（或说法）错误（或正确）”类型的选择题，除了采用逐一验证四个选项进行求解之外，还可以利用排除法选出符合题意的答案.
考点3 分式的运算
例3 （2013年凉山州）化简：的结果为 ．
解析：===.故填m.
例4 （2013年泰安）化简分式的结果是（ ）
A．2 B． C． D．－2
解析：=
===2．故选A．
点评：分式的混合运算，要注意运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的；最后结果要化成最简分式或整式．
考点4 分式的化简求值
例5 （2013年重庆）先化简，再求值：，其中x是不等式的负整数解．
解：
=
=
==.
由，解得．
又为负整数，所以.
当时，原式=．
点评：分式的化简求值，要根据所给式子的特点，按照分式化简的步骤化简，最后代值计算．
考点5 科学记数法
例6（2013年茂名）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5 μm（0.000 002 5 m）的颗粒物，含有大量有毒、有害物质，也称可入肺颗粒物．将0.000 002 5用科学记数法表示为（ ）
A．25×10－7 B．2.5×10－6 C．0.25×10－5 D．2.5×106
解析：0.000 002 5=2.5×10－6.故选B.
点评：把一个数写成a×10的形式（其中1≤＜10，n为整数），称为科学记数法.
当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位数上的0）.
考点6 解分式方程
例7（2013年资阳）解方程＋＝.
解：方程两边乘（x＋2）（x－2），得x＋2（x－2）＝x＋2.
解得x＝3.
检验：当x＝3时，（x＋2）（x－2）≠0.
所以，原分式方程的解为x＝3．
点评：解分式方程的基本思想是“化分式方程为整式方程”，解分式方程后一定要注意检验．
考点7 根据方程的解确定字母的值或取值范围
例8 （2013年扬州）已知关于x的方程的解是负数，则n的取值范围为 ．
解析：化简方程，得x=n－2.
根据题意，得x<0且2x+1≠0，所以n－2<0且2（n－2）+1≠0，解得且.
点评：解含有字母系数的分式方程时，通常先化为整式方程，把未知数用其他字母表示，进而求解．要注意分式方程增根的存在.
考点8 列分式方程解应用题
例9 （2013年湘西）吉首城区某中学组织学生到距学校20 km的德夯苗寨参加社会实践活动，一部分学生沿“谷韵绿道”骑自行车先走，半小时后，其余学生沿319国道乘汽车前往，结果他们同时到达（两条道路路程相同），已知汽车速度是自行车速度的2倍，求骑自行车学生的速度．

解：设骑自行车学生的速度为x km/h，则汽车的速度为2x km/h.
根据题意，得．
解得x=20．
经检验，x=20是原方程的解，且符合题意．
答：骑自行车学生的速度为20 km/h．
点评：分析题意，弄清楚已知量与未知量之间的关系，得到等量关系式，进而引进未知数，列方程解决问题.

误区点拨
易错点1 分式的基本性质理解不深
例1 若A，B为不等于0的整式，则下列各式成立的是（ ）
A.（E为整式） B.（E为整式）
C. D.
错解：选A或D.
剖析：分式的基本性质是分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分
式的值不变.所以B选项明显不正确；A选项和D选项中E和均可能为零，所以A，D选项错误；C选项中，C选项正确.
正解：选C.
易错点2 忽视分母不为0的条件
例2 若方程，则 .
错解：填±4.
剖析：若分式的值为0，则分子为0且分母不为0，所以，且，
则.错解未考虑分式的分母不为0.
正解：填-4.
易错点3 轻易约分
例3 取何值时，分式有意义？
错解：原式.由，得.所以当时，分式有
意义.
剖析：错解约去分母中的，但无法确定不为零，使得未知数x的取值范围
扩大，导致漏解.
正解：由（x+2）（x+3）.所以当时，分式
有意义.
易错点4 分式的运算顺序错误
例4 计算.
错解：原式=.
剖析：分式的乘除运算是同一级运算，应按照从左向右的顺序依次计算，不可因为计
算简便而颠倒顺序，导致结果出现错误.
正解：原式=.
易错点5 分式的增根认识不清
例5 若关于x的方程有增根，则a的值为________.
错解：原方程两边乘（x-1），得ax+1-（x-1）=0.解得x=.
因为原分式方程有增根，所以x-1≠0，即x≠1.
所以，解得a≠-1.
剖析：分式方程的增根应是最简公分母分母为0的x值，即x=1而不是x≠1.
正解：原方程两边乘（x-1），得ax+1-（x-1）=0.解得x=.
因为原分式方程有增根，所以x-1=0，即x=1.
所以，解得a=-1.
跟踪训练
1.（2013年攀枝花）若分式的值为0，则实数x的值为______.
2.（2013年永州）钓鱼岛列岛是我国固有领土，共由8个岛屿组成，其中最大的岛是钓鱼岛，面积约为4.3平方公里，最小的岛是飞濑岛，面积约为0.000 8平方公里，请用科学记数法表示飞濑岛的面积约为　　　　平方公里．
3.（2013年大连）化简：x＋1－＝___________．
4.（2013年德阳）已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围是__________.
5.（2013年盘锦）小成每周末要到距离家5千米的体育馆打球，他骑自行车前往体育馆比乘汽车多用10分钟，乘汽车的速度是骑自行车速度的2倍．设骑自行车的速度为
x千米/时，根据题意列方程为____________.
6.（2013年宁夏回族自治区）解方程.

7.（2013年普洱）先化简，再求值：，其中a=2013.

8.（2013年三明）兴发服装店老板用4500元购进一批某款式T恤衫，由于深受顾客喜爱，很快售完.老板又用4950元购进第二批该款式T恤衫，所购数量与第一批相同，但每件进价比第一批多了9元．
（1）第一批该款式T恤衫每件进价是多少元？
（2）老板以每件120元的价格销售该款式T恤衫，当第二批T恤衫售出时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使第二批的销售利润不低于650元，剩余的T恤衫每件售价至少要多少元？（利润＝售价－进价）

分式小结与复习
知识梳理：略.
跟踪训练：1. 1 2. 3. 4. m>﹣6且m≠﹣4 5.
6. 解：方程两边乘（x－2）（x+3），得.
解得x=.
检验：当x=时，（x－2）（x+3）≠0.
所以，原分式方程的解为x=.
7. 解：==
==.
当a=2013时，原式==.
8. 解：（1）设第一批T恤衫每件进价x元．
根据题意，得.
解得．
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：第一批T恤衫每件进价是90元．
（2）由（1）知，第二批购进T恤衫（件）．
设剩余的T恤衫每件售价y元，根据题意，得
．
解得y≥80.
答：剩余的T恤衫每件售价至少要80元．