二次函数及三角形周长-面积最值问题.doc

(完整版)二次函数及三角形周长,面积最值问题
二次函数与三角形周长,面积最值问题
知识点：1、二次函数线段，周长问题
2、二次函数线段和最小值线段差最大值问题
3、二次函数面积最大值问题

【新授课】
考点1:线段、周长问题
例1。(2018·宜宾)在平面直角坐标系中,已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4,1）,
如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点,直线l为y=﹣1．
（1）求抛物线的解析式;
（2）在l上是否存在一点P,使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
拓展：在l上是否存在一点P，使PB—PA取得最大值？若存在，求出点P的坐标。

练习
1、如图，已知二次函数的图象与坐标轴交于点A（—1， 0）和点B（0，—5)．
（1）求该二次函数的解析式；

（2)已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标．
x
O
A

B
y

2、如图,抛物线y=ax2—5ax+4（a＜0）经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC．
（1）求抛物线的解析式．
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点M,使｜MA—MB｜最大?若存在，求出点M的坐标;若不存在,请说明理由．

例2. (2018•莱芜）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0)，C（0,3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于E．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，求线段DE长度的最大值；

练习
1、如图,抛物线y=x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A(一1，0）．
⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
⑵判断△ABC的形状,证明你的结论；
⑶点M（m,0)是x轴上的一个动点,当CM+DM的值最小时，求m的值．
（4）过点F作FG垂直X轴，并与直线BC交于点H，求FH的最大值。

2、 如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点,点A在x轴上，点B的横坐标为-8．
（1）求该抛物线的解析式;
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C,交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E．设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值．

考点2：二次函数面积最大值

1。 （2018•泰安)如图,在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C(0，6)，在y轴上有一点E（0,﹣2)，连接AE．
（1）求二次函数的表达式;
（2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值;

2.(2018•东营)如图,抛物线y=a(x—1)(x-3）(a>0）与x轴交于A、B两点,抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．
（1)求线段OC的长度；
（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；
(3)在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P,使得四边形ABPC面积最大？若存在,请求出点P的坐标；若不存在,请说明理由．

练习
1.如图，抛物线经过A（—1，0),B(3，0）,C（0，3)三点．（1）求抛物线的解析式．
（2）点M是直线BC上方抛物线上的点（不与B，C重合），过点M作MN∥y轴交线段BC于点N,若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示MN的长．
（3)在(2）的条件下，连接MB,MC，是否存在点M,使四边形OBMC的面积最大?若存在，求出点M的坐标及四边形OBMC的最大面积；若不存在，请说明理由．

课后练习
1、（2017·衢州）定义:如图1，抛物线 与 轴交于A，B两点，点P在抛物线上（点P与A，B两点不重合），如果△ABP的三边满足 ，则称点P为抛物线 的勾股点.

(1）直接写出抛物线 的勾股点的坐标；
（2)如图2,已知抛物线C： 与 轴交于A，B两点,点P（1， )是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式；
（3)在(2)的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件 的点Q（异于点P）的坐标

2、如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（，0）、（0，4),抛物线经过B点，且顶点在直线上．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
(2）若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由;
（3）若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N．设点M的横坐标为t，MN的长度为l．求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时,点M的坐标．

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