碰撞、绳子绷直机械能损失错解例析.doc

(完整版)碰撞、绳子绷直机械能损失错解例析
主管单位：黑龙江省教育厅
主办单位:哈尔滨大学
《数理化解题研究》2009年第2期

碰撞、绳子绷直机械能损失错解例析
汪新亮
（丹江口市一中 湖北 丹江口 442700）
在涉及有碰撞、爆炸、打击、射击、绳绷紧等物理现象时，必须注意到这些过程一般都隐含有机械能与其他形式的能之间的转化.这一类问题由于作用时间都很短，学生在做题过程中往往忽略这一过程，导致解题错误。
图1
例1质量均为m的A、B两球，以轻弹簧连结后放在
光滑水平面上，A被一水平速度为v0、质量为m/4的
泥丸P击中并粘合，求弹簧具有的最大势能。
错解：如图1所示，当A和B速度都达到v时,
A、B距离最近此时弹簧有最大弹性势能EP
　　从图Ⅰ所示状态到图Ⅲ状态，由动量守恒得
得
从Ⅰ→Ⅲ，由机械能守恒是 　　解得 。
错解分析:上述解法没考虑泥丸P与A碰撞粘合过程中机械能损失.
正确解：从图Ⅰ至图Ⅱ状态的过程中,泥丸P与A碰撞粘合(B尚未参与作用)，是一个完全非弹性碰撞模型，部分机械能经由瞬间内力做功转达化为内能，所损失的机械能设为,则从图Ⅰ所示状态到图Ⅱ状态，由动量守恒得 ，

从图Ⅰ所示状态到图Ⅲ状态，由动量守恒得 得
　　从图Ⅱ所示状态到图Ⅲ状态,由机械能守恒得
H
A
B
v0
m
图2
得
拓展1：泥丸P与A碰撞粘合过程中机械能损失是多少？
例2 如图2所示，光滑水平面上有一小车B，右端固
定一个砂箱，砂箱左侧连着一水平轻弹簧，小车和砂
箱（包含沙的质量)的总质量为M,车上放有一物块A
质量也是M。物块A和小车以相同的速度v0向右匀速
运动。物块A与车面间摩擦不计。车匀速运动时,距砂面H高处有一质量为m（m = M）的泥球自由下落，恰好落在砂箱中。求：在以后的运动过程中,弹簧弹性势能的最大值。
错解：在m落在砂箱砂里到弹簧被压缩到最短的过程中，设整个系统的最后速度为v1，设最大弹性势能为Ep，由水平方向动量守恒和机械能守恒有：

又
由以上三式解得:
错解分析：上述解法没考虑物块A水平速度为0到与小车速度相等过程中有机械能损失。
正确解：过程1：泥球自由落体运动，满足机械能守恒定律或动能定律；过程2:泥球竖直方向速度迅速变为0；过程3：泥球水平方向加速，小车和砂箱做减速运动，直到水平方向速度相等，小车和砂箱及泥球系统动量守恒，机械能有损失；过程4：物块A压缩弹簧减速，小车和砂箱及泥球加速,最后速度相等，系统动量守恒和机械能守恒。
在m落在砂箱砂里的过程中,车及砂、泥球组成的系统的水平方向动量守恒，则有：
(1)
得:
此时物块A继续向右做匀速直线运动再与轻弹簧相碰，以物块A、弹簧、车系统为研究对象,系统动量守恒，当弹簧被压缩到最短，达最大弹性势能Ep时，整个系统的速度为v2，
则由动量守恒和机械能守恒有：
(2)
(3）
由(2）式解得：
由（3)式解得:
拓展2：从泥球自由下落到弹簧压缩到最短过程中损失机械能是多少？
E
O
L
A
C
图3
例3 如图3所示，长为L的绝缘细线,一端悬于O点，另
一端连接带电量为-q的金属小球A,置于水平向右的匀强
电场中，小球所受的电场力是其重力的倍，电场范围足
够大,现将细线向右水平拉直后从静止开始释放A球。
求A球到O点正下方的速度?（小球体积可忽略不计)
错解:根据动能定理：
图4
又则：
错解分析：上述解法没考虑绳子绷直瞬间有机械能损失
正确解：过程1:金属小球A沿合力方向匀加速运动；
过程2：绳子绷直过程，沿绳子方向速度变为0，只剩
下垂直绳子方向速度（物体做初速度为0的匀加速度
直线运动轨迹与以O为圆心以L为半径的圆交点就是
绳子绷直的地方）；过程3：从绷直点到最底点满足动
能定理.
如图4所示,金属球A由a到b过程做匀加速
直线运动，细绳与水平方向夹角为600时突然绷紧。
由题意 ，故电场力和重力的合力：,
由动能定理得 ， 求得：；
在b点细绳突然绷紧时，小球只剩下切向速度；
球A由b到c过程中，细绳的拉力对A球不做功，由动能定理得

解之得:
拓展3： , 时求A球到O点正下方的速度？
（该过程物体做匀加速直线运动,没有绳子绷直过程）
V0
O1
R
O
θ
图5
例4 一质量为m的质点，系于长为R的轻绳的一端，绳的另一端固定在空间的O点，假定绳是不可伸长的、柔软且无弹性的.今把质点从O点的正上方离O点的距离为的O1点以水平的速度抛出，如图5所示. 试求：当质点到达O点的正下方时，绳对质点的拉力为多大？
错解：设质点到达O点的正下方时速度为V,根据能量守恒定律可得：
根据向心力公式得：，
解得：.
错解分析：上述解法是错误的,物理过程没有弄清楚,忽视了在绳被拉直瞬时过程中机械能的瞬时损失.
O
V0
V
Vy
V/
图6
正确解：第一过程：质点做平抛运动.设绳即将伸直时，绳与竖直方向的夹角为，如图5所示，则，
，其中
联立解得
第二过程：绳绷直过程.绳绷直时，绳刚好水平，如图6所示.由于绳不可伸长，故绳绷直时,V0损失，质点仅有速度，且
第三过程：小球在竖直平面内做圆周运动.设质点到达O点正下方时，速度为,根据机械能守恒守律有：

设此时绳对质点的拉力为T，则，联立解得：.
图7
巩固练习：
1 用轻弹簧相连的质量均为2 kg的A、B两物块都以v＝6 m／s
的速度在光滑的水平地面上运动，弹簧处于原长，质量4 kg的物
块C静止在前方,如图7所示。B与C碰撞后二者粘在一起运动.
求：在以后的运动中：
（1）当弹簧的弹性势能最大时,物体A的速度多大?
(2）弹性势能的最大值是多大?
2．如图8所示，长为L的轻绳一端系于固定点O，另一端系质量为m小球,将小球从O点正下方L/4处以一定初速度水平向右抛出，经一定时间绳被拉直,以后小球将以O点为支点在竖直面内摆动，已知绳刚被拉直时，绳与竖直线成600角，求：
(1）小球水平抛出时的初速度；
E
O
H
L
A
B
图10
图9
（2）小球到最低点时，绳子所受的拉力.
图8

3 在光滑的水平面上，有一质量为m1=20千克的小车，通过几乎不可伸长的轻绳与另一个质量m2 =25千克的足够长的拖车连接.质量m3 =15千克的物体在拖车的长平板上,与平板间的动摩擦因数μ=0.2 ，开始时，物体和拖车静止，绳未拉紧。如图9所示,小车以v0＝3米/秒的速度向前运动，求：
（1）三者以同一速度前进时速度大小.
（2）物体在平板车上移动的距离.
4 如图10所示，长为L的绝缘细线，一端悬于O点，另一端连接带电量为—q的金属小球A，置于水平向右的匀强电场中，小球所受的电场力是其重力的倍，电场范围足够大，在距点为L的正下方有另一个完全相同的不带电的金属小球B置于光滑绝缘水平桌面的最左端，桌面离地距离为H，现将细线向右水平拉直后从静止开始释放A球。
（1)求A球与B球碰撞前的速度？（小球体积可忽略不计）
（2）若（2 + ）L = 0.1m，H = 0.6m。则B球落地时的速度大小是多少？（不计碰撞过程中机械能损失及小球间库仑力的作用）
巩固练习答案
1 解析:（1)当A、B、C三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大.
由于A、B、C三者组成的系统动量守恒，
解得 vA′=3 m/s

（2）B、C碰撞时B、C系统动量守恒，设碰后瞬间B、C两者速度为v′,则
解得v′=2 m/s
设物A速度为vA′时弹簧的弹性势能最大为Ep，
根据能量守恒=12 J
2解析：（1）小球做平抛运动由A到B的过程中，竖直位移,水平位移为，由以上两式解得；
(2)在绳子拉直前的瞬间，竖直方向速度为，水平方向速度为，设合速度与水平方向夹角为，则，则，小球速度方向与绳子方向相同，小球在绳子拉直后瞬间速度为零。 小球以后做圆周运动到最低点过程中,机械能守恒 ，
小球在最低点受重力mg和绳的拉力T，由牛顿第二定律有 解得
3解析:（1）在从绳子开始拉紧到m1、m2、m3以共同速度运动m1、m2、m3组成的系统，动量守恒
代入数据解得
(2）在绳子拉紧得瞬间，m1、m2组成的系统动量守恒

图11
代入数据解得
由功能关系得

代入数据解得

4 解析：（1）如图11所示，金属球A由a到b过程做匀加速直线运动,细绳与水平方向夹角为600时突然绷紧。
由题意
故电场力和重力的合力:，
由动能定理得 ，
求得:；
在b点细绳突然绷紧时，小球只剩下切向速度;

球A由b到c过程中，细绳的拉力对A球不做功，
由动能定理得：
解之得：
（2）A球与B球碰撞动量守恒和机械能不损失有：

解得 = 1 m/s（即A、B球交换速度）;
A球与B球接触过程电荷量守恒有;
B球由碰后到落地过程中竖直方向做自由落体运动： =
水平方向匀加速直线运动，； 所以
则B球落地速度是
电话:[phone] 邮箱：djkwxl＠163。com

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